方程的根與函數的零點第1頁，共25頁，2023年，2月20日，星期五問題探究

方程3x+3=0的根與函數y=3x+3的圖象有什么關系？/amwnsrbywz3/第2頁，共25頁，2023年，2月20日，星期五-112-2問題探究/amwnsrbywz4/第3頁，共25頁，2023年，2月20日，星期五

我們如何對方程f(x)=0的根與函數y=f(x)的圖象的關系作進一步闡述？問題探究/amwnsrylpt5/第4頁，共25頁，2023年，2月20日，星期五

方程的根

和

函數的零點/amwnsrxsyl6/第5頁，共25頁，2023年，2月20日，星期五

我們知道，令一個一元二次函數y=ax2+bx+c（a≠0）的函數值y＝0，則得到一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）。思考一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根與二次函數y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象有什么關系？思考討論/amwnsramdc8/第6頁，共25頁，2023年，2月20日，星期五以a＞0為例方程x2-2x-3=0x2-2x+1=0x2-2x+3=0方程的根函數y=x2-2x-3y=x2-2x+1y=x2-2x+3函數y=ax2+bx+c(a>0)的圖象函數的圖象與x軸的交點結論：一元二次方程的實數根就是 相應二次函數圖象與x軸交點的橫坐標．歸納：x1=-1，x2=3x1=x2=1無實數根2-2-43-112Oy423-112xOxy423-112Oxy兩個交點(-1,0)，(3,0)一個交點(1,0)沒有交點判別式ΔΔ>0Δ=0Δ<0方程ax2+bx+c=0(a>0)的根兩個不相等的實數根x1、x2有兩個相等的實數根x1=x2沒有實數根x1x2x1(x1,0)，(x2,0)(x1,0)問題:其他函數與方程之間也有同樣結論嗎？請舉例!/amwnsrdbwz7/第7頁，共25頁，2023年，2月20日，星期五函數零點的定義：

對于函數y=f(x)我們把使f(x)=0的實數x叫做函數y=f(x)的零點（zeropoint)。注意：零點指的是一個實數。零點是點嗎？/amwnsrsxzb9/第8頁，共25頁，2023年，2月20日，星期五互動交流2、區別：1、聯系：①數值上相等：求函數零點就是求方程的根.②存在性相同：函數y=f(x)有零點 方程f(x)=0有實數根 函數y=f(x)的圖象與x軸有交點①零點對于函數而言，根對于方程而言．②數目不一定相等問題4:函數的零點與方程的根有什么聯系和區別？要解方程2-x=x，即2-x-x=0，只要求函數f(x)=2-x-x的零點!/amwnsrzryl10/第9頁，共25頁，2023年，2月20日，星期五數學建構方程f(x)=0有實數根函數y=f(x)有零點．

函數y=f(x)的圖象與x軸有交點辨析練習：判斷下列說法的正誤：1.函數y=x+1有零點x=-1；2.函數y=x2-2x-3的零點是(-1,0),(3,0)；3.函數y=x2-2x-3的零點是-1和3；4..函數沒有零點.xyO/amwnsrbjl11/第10頁，共25頁，2023年，2月20日，星期五△>0△=0判別式△=b2－4ac方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根函數y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象函數的零點個數△<0兩個沒有實根沒有兩個不相等的實數根x1、x2有兩個相等的實數根x1=x2一個探究以a＞0為例3、零點的求法圖像法代數法/amwnsrcpyx12/第11頁，共25頁，2023年，2月20日，星期五求下列函數的零點65)(2+-=xxxf12)(-=xxf（1）（2）2和30例1求函數f（x）=lg(x-1)的零點求函數零點的步驟：

(1)令f(x)=0;(2)解方程f(x)=0；

(3)寫出零點學以致用/amwnsrdzyx13/第12頁，共25頁，2023年，2月20日，星期五甲原來在河的北岸,現在在河的南岸,能斷定甲過河了嗎?過了幾趟?乙原來在河的北岸現在還在河的北岸,乙有沒有過河?過了幾趟?問題

甲甲乙乙觀察與探究

甲

甲甲

甲/amwnsrtyss14/第13頁，共25頁，2023年，2月20日，星期五觀察函數的圖象并填空:①在區間(a,b)上f(a)·f(b)_____0(“＜”或“＞”)．在區間(a,b)上______(有/無)零點；②在區間(b,c)上f(b)·f(c)_____

0(“＜”或“＞”)．在區間(b,c)上______(有/無)零點；③在區間(c,d)上f(c)·f(d)_____

0(“＜”或”＞”)．在區間(c,d)上______(有/無)零點；有<有<有<xyOabcd零點存在性的探究：問題5:在怎樣的條件下，函數y＝f(x)在區間[a,b]上存在零點？

/amwnsrtytz15/第14頁，共25頁，2023年，2月20日，星期五觀察下面函數圖象思考:雖然函數f(x)滿足了f(-1)f(1)<0,但它在區間(-1,1)上卻沒有零點,為什么?觀察與探究/amwnsrdzyy16/第15頁，共25頁，2023年，2月20日，星期五

如果函數y=f(x)在區間[a,b]上的圖象是連續不斷的一條曲線，并且有f(a)·f(b)<0，那么，函數y=f(x)在區間(a,b)內有零點，即存在c∈(a,b)，使得f(c)=0，這個c也就是方程f(x)=0的根。函數零點存在性定理：xyOxyObaabcc/amwnsrmgdzyy17/第16頁，共25頁，2023年，2月20日，星期五例2判斷正誤，若不正確，請使用函數圖象舉出反例（1）已知函數y=f(x)在區間[a,b]上連續，且f(a)·f(b)<0，則f(x)在區間(a,b)內有且僅有一個零點. （）（2）已知函數y=f(x)在區間[a,b]上連續，且f(a)·f(b)>0，則f(x)在區間(a,b)內沒有零點. （）（3）已知函數y=f(x)在區間[a,b]上連續，且在區間(a,b)內存在零點，則有f(a)·f(b)<0

（）（4）已知函數y=f(x)在區間[a,b]滿足f(a)·f(b)<0，則f(x)在區間(a,b)內存在零點. （）abOxyabOxyabOxy畫圖象舉反例：函數零點存在定理的三個注意點：

1函數是連續的。

2定理不可逆。

3至少存在一個零點，不排除更多。/amwnsrmgdz18/第17頁，共25頁，2023年，2月20日，星期五例3.求證:函數f(x)=x3+x2+1在區間(-2，-1)上存在零點.

證明:因為f(-2)=(-2)3+(-2)2+1=-3<0

f(-1)=(-1)3+(-1)2+1=1>0且函數f(x)的圖象在區間[-2,-1]上是不間斷的,所以函數f(x)在區間(-2,-1)上存在零點小結論思考：能否確定函數y＝f(x)在區間(-2，-1)內存在幾個零點？

幾何畫板

f(-2)

f(-1)<0/amwnsrbbindzyx20/第18頁，共25頁，2023年，2月20日，星期五函數y=f(x)在區間[a,b]上圖像連續且是單調函數且f(a)·f(b)<0問該函數在區間（a，b）內有幾個零點？ab嘗試畫出滿足條件的圖形進行觀察研討新知只有一個/amwnsragdzyx21/第19頁，共25頁，2023年，2月20日，星期五解法1：利用計算機作出函數的圖像，然后判斷與X軸交點的個數例4

求函數f(x)=lnx+2x－6的零點的個數，并確定零點所在的區間[n，n+1](n∈Z)零點存在性定理的應用：幾何畫板/amwnsrptdzyy25/第20頁，共25頁，2023年，2月20日，星期五由表可知f(2)<0，f(3)>0，從而f(2)·f(3)<0，又f(x)在區間[2,3]上連續

∴函數f(x)在區間(2,3)內有零點．由于函數f(x)在定義域(0,+∞)內是增函數，所以它僅有一個零點．用計算器或計算機列出x、f(x)的對應值表：例4

求函數f(x)=lnx+2x－6的零點的個數，并確定零點所在的區間[n，n+1](n∈Z)

解法2零點存在性定理的應用：問題6:如何說明零點的唯一性？

108642-2-4512346xyOx123456789f(x)-4-1.31.13.45.67.810.012.114.2f(x)=lnx+2x－6/amwnsrptdz22/第21頁，共25頁，2023年，2月20日，星期五解法3：y=－2x+6y=lnx例4

求函數f(x)=lnx+2x－6的零點的個數，并確定零點所在的區間[n，n+1](n∈Z)

零點存在性定理的應用：6Ox1234y數形結合lnx+2x－6=0的根lnx=-2x+6的根可看成y=lnx與y=-2x+6圖像交點的橫坐標幾何畫板/amwnsrbbindz23/第22頁，共25頁，2023年，2月20日，星期五學以致用求f(x)=+3x-7零點的個數x2∴

f(1)·f(2)<0又f(x)在區間[1,2]上連續∴函數f(x)在區間(1,2)內有零點方法一：∵f(1)<0f(2)>0∴函數f(x)僅有一個零點∵函數f(x)在定義域(-∞,+∞)內是增函數幾何畫板/am