利用導數證明不等式之構造函數法題型一：移項作差構造函數1、解題思路第一步：判斷所證明不等式是否符合移項作差構造函數的特點將證明不等式/(x)>g(x) f(3g(x)的問題轉化為證明f("g(x)>0f(x)-g(x)<0，進而構造函數人(x)=f(x)-g(x)。第二步：符合后構造函數，利用導數研究函數的單調性；第三步：函數問題轉化回不等式問題，得出結論。［點撥］構造的函數前提是要可導，求導過程較容易，多是整式且最多利用二次求導研究其單調性問題。比如：不等式七1<四里證明時，直接移項作差構造的函數f(x)=3-四lnx 2 lnx2求導過于復雜且無法利用導數快速研究其單調性；2、經典例題例1：2019春-蘇州期末)已知函數f(x)=ln(x+1)-x，求證：當x>-1時，恒有1--<ln(x+1)<x.x+1［思路分析］第一步：判斷不等式特點，右邊不等式移項作差直接可以利用已知函數證明，左邊不等式移項作差構造函數g(x)=ln(x+1)+--1，可直接求導研究函數單調性，都符合移x+1項作差構造函數特點；第二步：分別利用導數求解函數y=f(x)和y=g(x)的單調性和最值；第三步：轉化回不等式問題，得出結論.［解析］證明：.?7(x)=--1=--(x>-1)x+1x+1.?當-1<x<0時，f(x)>0，即f(x)在xG(-1,0)上為增函數當x>0時，f(x)<0，即f(x)在xG(0,+8)上為減函數，故函數f(x)的單調遞增區間為(-1,0)，單調遞減區間(0,+8)，于是函數f(x)在(-1,+8)上的最大值為f(x)maxf(0)=0，因此,當x>-1時,f(x)<f(0)=0,即ln(x+1)-x<0,」?ln(x+1)<x(右邊得證)，

現證左邊，令g(%)=ln(%+1)+--1,則g，(%)='―=X+1 X+1(尤+1)2 (尤+1)2當XG(-1,0)時，g，(X)<0；當XG(0,+8)時，g，(X)>0，即g(X)在XG(-1,0)上為減函數，在xG(0,+8)上為增函數，故函數g(X)在(-1,+8)上的最小值為g(x)m,ng(0)=0，?'?當X>—1時，g(x)>g(0)=0，即ln(x+1)+--—-1>0x+1???ln(X+1)>1-——，綜上可知，當x>-1時，有」--1<ln(x+1)<x。x+1 x+1［點撥］雙邊不等式要分成左右兩邊分別證明，多數情況其中一邊可利用已知條件易證。3、舉一反三練1：(2018春-無錫期中)已知函數f(x)=2x2+(1-a)x-alnx.設a>0，證明：當0<x<a時，f(a+x)<f(a-x).［思路分析］第一步：判斷不等式特點，移項作差構造函數g(x)=f(a+x)-f(a-x)，可直接求導研究其單調性，滿足移項作差構造函數特點；第二步：研究函數y=g(x)單調性，證明其函數值恒小于0；第三步：轉化回不等式問題，得出結論.［解析］證明：令g(X)=f(a+X)-f(a-x)，則g(xg(x)=~(a+x)2+(1-a)(a+x)-aln(a+x)-2一(a-x)+(1-a)(a-x)-aln(a-x)2=2x-aln(a+x)+aln(ax)-2x2，a2-x-2x2，a2-x2a+xa-x當0<X<a時，g，(x)<0，所以且⑷在(0,a)上是減函數，而g(0)=0，所以g(x)<g(0)=0，故當0<x<a時，f(a+x)<f(a-x).［點撥］自變量只有一個時要構造同一函數，不要和之前恒成立中兩個變量題型混淆。練2：(2018春-紹興期中)已知函數f(X)=lnx+ax2+(2a+1)x.(1)討論f(X)的單調性；3(2)當a<0時，證明f(x)<—-—2.4a［思路分析］第一步：求解第一問，分類討論，分a>0和a<0兩種情況，研究函數的單調性;

第二步：求解第二問,證明/⑴"-怖-2'即證/⑶/--2，由第一問于（x加于［—力）TOC\o"1-5"\h\z第三步：移項作差構造函數f(--)-(-旦+2)=ln(-—)+—+1,即y=int+1-1ft=-—>0］，利2a 4a 2a 2a 7 ( 2a )用導數易得y=似1)=0，即得證.max［解析］(1)f(x)=2ax2+(2a+Dx+1=(2ax+1)(x+1)(%>0)，x x當a>0時，f(x)>0，則f(x)在(0,+8)單調遞增，當a<0時，則f(x)在(0,--)單調遞增，在(--,+8)單調遞減.2a 2a(2)由(1)知，當a<0時，f(x) =f(-})，f(-})-(-~~+2)=ln(-})+1-+1 ，max 2a 2a 4a 2a 2a令y=int+1-1，ft=-—>0］，貝Uy'=1-1=0，解得t=1。I 2a ) t3f(x)“一4r23f(x)“一4r2.yma=y(1)=0，?y-0，即f(x)max"號+2),［點撥］本題第二問與恒成立問題類似，先轉化為求最值問題，然后以變量a為自變量，再移項作差構造函數證明。題型二：構造形似函數1、解題思路第一步：判斷所證明不等式若不符合直接移項作差構造函數的特點，就需要構造形似函數，對原不等式同解變形，如移項作商、通分、取對數、換元等技巧；第二步：變形后直接應用或移項作差構造函數，利用導數研究函數的單調性；第三步：函數問題轉化回不等式問題，得出結論。2、經典例題例2：（2018春-蘇州期中）證明下列不等式：sinx>2x,xef0,-'.冗I2）［思路分析］法1.判斷所證明不等式符合移項作差構造函數的特點，可直接移項作差構造函數求導求解證明，過程略；

法2.類比分離參數，將變量移到不等式一端，移項作商變形為皿>2,然后構造函數X兀f(%)=皿，利用導數研究其單調性最值，再轉化回不等式問題。X［解析］原不等式等價為皿>2,令f(X)=皿，則f(X)=Xc0s1nX=Xc0sX-c0sXtanXX冗 X X2 X2cosx(x-tanx)= " ，x2xg0,匹，/.cosx>0,x-tanx<0，I2J；j(x)<0，f(x)在f0,口上單調遞減，［2j??f(X)>ff：］=2，即5苗X>益,XGf0,:］。12J冗 冗I2J［點撥］1、移項作商滿足的特點一般是不等式兩端存在分式且均含有變量，變形方向在保證構造函數可利用導數研究單調性的前提下，盡量使不等式一端為常數。2、構造函數的方法不唯一，盡量選擇構造的函數比較好求導的技巧。例3：(2019秋-無錫期末)已知f(x)=lnx,g(X)=X一.(1)當X>1時，求f(X)_g(X)的最大值；(2)求證：、：x<X<^-^-,Vx>1恒成立lnx 2［思路分析］第一步［思路分析］第一步求解第一問，設F(x)=f(x)-g(x)=lnx-[4—W，(x>1)，求導利用單調性即可得其最大值.第二步：求解第二問，雙邊不等式分別證明，先證明左邊，由第一問得出lnx<、x-4變形即得證左邊不等式、X<七1lnx第三步：右邊不等式由前面分析，移項作差構造的函數過于復雜，利用導數很難研究其單調性，所以要適當進行變形，移項通分等價于2(XT)-(X*01nX<0，由已知x的取值范圍可知2lnx分母大于零，所以只需證明分子小于0即可，構造函數g(x)=(x+1)mx-2(x-1),(x>1)，求二次導研究其單調性，得出G(X)>G(1)=0，從而得證。［解析］(1)設f(x)=f(x)-g(x)=lnx-f^~x-聲J,(x>1)，則

F(x)」x2'、F(x)」x2'、x2x<x1 1 -<0,2x'^x(2)左邊不等式：由(1)得，對Vx>1，都有f(x)<g(x),即lnx<'-'x(2)左邊不等式：由(1)得，對Vx>1，都有f(x)<g(x),即lnx<'-'x一-x-1Vx-1>0,lnx>0，:x<--.Inx右邊不等式：將不等式移項通分，變形為2(x-1)-(x+01nx<0，由因為x>1，21nx所以等價于證明(x+1)inx-2(x-1)>0，設G(x)=(x+1)Inx-2(x-1),(x>1)，貝UG，(x)=inx+包-2=inx+1-1=x1n1+1，x x xH^~H(x)=xinx-x+1,(x>1)，叫"H(x)=inx>0，所以h(x)在區間(1,+s)內單調遞增，故h(x)>H(1)=0，即G，(x)>0。所以G(x)在區間G+s)內單調遞增，故G(x)>G(1)=0，即得證(x+1)inx>2(x-1)。［點撥］移項通分構造函數通常通分使不等式一端為0，再由已知條件可得知分母的符號，等價轉化為只需證明分子的正負，類比求解分式不等式時，轉化為正式不等式求解。3、舉一反三f(x)=Inx+a練1:(2018秋-紹興期末)已知函數—x，當a=1，且x>1時，證明：f(x)<1.［思路分析］第一步：不等式變形，a=1時，即證f(x)= <1，移項通分后只需證明xinx+1-x<0第二步：構造函數，令h(x)=x-inx-1，利用導數研究函數單調性及最值，得出x>1時，h(x)>h(1)=0第三步：轉化回不等式問題，得出結論［解析］當a=1時，f(x)= ，即證片1<1，移項通分得1nx+1-x<0，xx x又因為x>1，所以只需證明inx+1-x<0，令h(x)=inx+1-x(x>1)，貝Uh'(x)=1~x<0，x所以h(x)在［1,+s)單調遞減，所以h(x)<h(1)=0，即f(x)<1。

1 1>--—n2n3都成立.練2：(2019鹽城期末)證明:對任意的正整數n，1 1>--—n2n3都成立.第一步：令X=n，即證X式0第一步：令X=n，即證X式0,+H時1n(x+1)第二步：構造函數，令h(X)=X3-X2+1nG+1)第三步：，利用導數研究函數h(X)的單調性，得出hG"h(0)=0，即可得證。[解析]令h(x)=X3-X2+1n(x+1)，3X3+(X-1)2X+1 在XG(0，+功上恒正，所以函數h(X)在(。，+8)上單調遞增，XG(0，+8)時，恒有h(X)>h(0)=0,即X3-x2+1n(x+1)>0,.1n(x+1)>x2-x3x=-e(0,+8) 1n(-+1)>^---對任意正整數n，取n，，則有 n n2 n3［點撥］換元構造函數時要注意及時確定新變量的取值范圍，明確構造函數的定義域，且盡量保證構造函數解析式不復雜，易求導，通常從復合形式