二次函數(shù)綜合題型題型一利用對(duì)稱性解決距離和最小值問(wèn)題-涉及動(dòng)點(diǎn)關(guān)鍵：找到對(duì)稱關(guān)系，將其中某個(gè)線段通過(guò)對(duì)稱轉(zhuǎn)化，最后歸結(jié)到兩點(diǎn)之間線段最短，從而找到取得最小值時(shí)動(dòng)點(diǎn)的位置。涉及幾何模型：“兩點(diǎn)之間的連線中，線段最短”。一般求“變動(dòng)的兩線段之和的最小值”時(shí)，一般都應(yīng)用條件：如圖，A、B是直線/同旁的兩個(gè)定點(diǎn).這一模型。問(wèn)題：在直線/上確定一點(diǎn)P，使PA+PB的值最小.方法：作點(diǎn)A關(guān)于直線/的對(duì)稱點(diǎn)連結(jié)A'B交/于點(diǎn)P,則PATB V=A'B的值最小與此模型類似的：應(yīng)用“三角形兩邊之差小于第三邊”，一般求“變動(dòng)的兩線段之差的最大值”時(shí)，一般都應(yīng)用這一模型。例1：如圖，巳知拋物線y=ax2+bx+c(a八O)的對(duì)稱軸為x=l,且拋物線經(jīng)過(guò)A(—1,0)、C(0,—3)兩點(diǎn)，與x軸交于另一點(diǎn)B.求這條拋物線所對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式；在拋物線的對(duì)稱軸x=l上求一點(diǎn)M,使點(diǎn)M到點(diǎn)A的距離與到點(diǎn)C的距離之和最小,并求此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)；設(shè)點(diǎn)P為拋物線的對(duì)稱軸x=l上的一動(dòng)點(diǎn)，求使匕PCB=90。的點(diǎn)P的坐標(biāo).1.例2：如圖，拋物線y=一為-x+2的頂點(diǎn)為A,與y軸交于點(diǎn)B.4⑴求點(diǎn)A、點(diǎn)B的坐標(biāo)；(2)若點(diǎn)P是x軸上任意一點(diǎn)，求證：PA-PBWAB；(3)當(dāng)PA-PB最大時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)練習(xí):交x練習(xí):交x軸于A、B兩點(diǎn)，交1、如圖，拋物線1、如圖，拋物線y'ax'+bx的頂點(diǎn)P的坐標(biāo)為y軸于點(diǎn)C(0,-V3).(1)求拋物線的表達(dá)式.(2)把AABC繞AB的中點(diǎn)E旋轉(zhuǎn)180°,得到四邊形ADBC.判斷四邊形ADBC的形狀，并說(shuō)明理由.(3)試問(wèn)在線段AC上是否存在一點(diǎn)F,使得AFBD的周長(zhǎng)最小，若存在，請(qǐng)寫出點(diǎn)F的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.讓我們一起為了孩子的進(jìn)步而努力!i專業(yè)個(gè)性化學(xué)習(xí)社區(qū)?.i專業(yè)個(gè)性化學(xué)習(xí)社區(qū)?.納思書院NiceEducation2、如圖，己知二次函數(shù)y=ax2-4x+c的圖象與坐標(biāo)軸交于點(diǎn)A（-1,0）和點(diǎn)C（0,5).（1）求該二次函數(shù)的解析式和它與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)B的坐標(biāo).（2）在上面所求二次函數(shù)的對(duì)稱軸上存在一點(diǎn)P（2,-2）,連接0P,找出x軸上所有點(diǎn)M的坐標(biāo)，使得AOPM是等腰三角形.（3）己知該函數(shù)圖象的對(duì)稱軸上存在一點(diǎn)Q,使得4ACQ的周長(zhǎng)最小.請(qǐng)求出點(diǎn)Q的坐標(biāo).點(diǎn)處出發(fā)，沿直線運(yùn)動(dòng)到工軸上的某點(diǎn)（設(shè)為點(diǎn)E），再沿直線運(yùn)動(dòng)到該拋物線對(duì)稱軸上的點(diǎn)處出發(fā)，沿直線運(yùn)動(dòng)到工軸上的某點(diǎn)（設(shè)為點(diǎn)E），再沿直線運(yùn)動(dòng)到該拋物線對(duì)稱軸上的某點(diǎn)（設(shè)為點(diǎn)F），最后又沿直線運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A，求使點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的總路程最短的點(diǎn)E,點(diǎn)F的坐I專業(yè)個(gè)性化學(xué)習(xí)社區(qū)I題型二與多邊形綜合-如因動(dòng)點(diǎn)產(chǎn)生等腰三角形、梯形、三角形面積、三角形相似問(wèn)題等例3：涉及等腰梯形、三角形相似如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，AB=4,08=2，拋物線過(guò)A、B、C三點(diǎn)、，與x軸交于另一點(diǎn)D.一動(dòng)點(diǎn)P以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度從B點(diǎn)出發(fā)沿BA向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A停止，同時(shí)一動(dòng)點(diǎn)。從點(diǎn)。出發(fā)，以每秒3個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿OC向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，與點(diǎn)P同時(shí)停止.(1)求拋物線的解析式；(2)若拋物線的對(duì)稱軸與AB交于點(diǎn)E,與x軸交于點(diǎn)F,當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)時(shí)■間t為何值時(shí)〃,四邊形POQE是等腰梯形？(3)當(dāng)，為何值時(shí)，以P、B、O為頂點(diǎn)的三角形與以點(diǎn)Q、3、。為頂點(diǎn)的三角形相似？例4：涉及等腰三角形、三角形面積如圖，已知拋物線與x軸交于A(-1,0)、B(4,0)兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C(0,3).(1)求拋物線的解析式；(2)點(diǎn)P在x軸下方的拋物線上，且APAB的面積等于AABC的面積，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；(3)點(diǎn)Q是直線BC±的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若左QOB為等腰三角形，請(qǐng)寫出此時(shí)點(diǎn)Q的坐標(biāo).例5：涉及三角形相似、周長(zhǎng)最小問(wèn)題(2013張家界)如圖，拋物線y=ax2+bx+c(aP)的圖象過(guò)點(diǎn)C(0,1)，頂點(diǎn)為Q(2,3),點(diǎn)D在x軸正半軸上，且OD=OC.(1)求直線CD的解析式；(2)求拋物線的解析式；(3)將直線CD繞點(diǎn)C逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)45。所得直線與拋物線相交于另一點(diǎn)E,求證：△CEQs/ACDO；(4)在⑶的條件下，若點(diǎn)P是線段QE上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)F是線段OD上的動(dòng)點(diǎn)，問(wèn)：在P點(diǎn)和F點(diǎn)移動(dòng)過(guò)程中，APCF的周長(zhǎng)是否存在最小值？若存在，求出這如圖，拋物線y=-x2+Z?x+c與x軸交與A(1,O),B(-3,0)兩點(diǎn)，(1)求該拋物線的解析式；(2)設(shè)(1)中的拋物線交y軸與C點(diǎn)，在該拋物線的對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)Q,使得AQAC的周長(zhǎng)最小？若存在，求出Q點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.(3)在(1)中的拋物線上的第二象限上是否存在一點(diǎn)P,使^QgC的面積最大？，若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)及△質(zhì)的面積最大值.若沒(méi)有，請(qǐng)說(shuō)明理由.一II專業(yè)個(gè)性化學(xué)習(xí)甄練習(xí):B(3,0)兩點(diǎn)，與B(3,0)兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C(0,3)。I、如圖，己知拋物線與x軸交于A(-1,0)、(1)求拋物線的解析式；(2)設(shè)拋物線的頂點(diǎn)為D,在其對(duì)稱軸的右側(cè)的拋物線上是否存在點(diǎn)P,使得APDC是等腰三角形？若存在，求出符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；(3)若點(diǎn)M是拋物線上一點(diǎn)，以B、C、D、M為頂點(diǎn)的四邊形是直角梯形，試求出點(diǎn)M的坐標(biāo)。2、如圖，已知拋物線y=%+bx+c與工軸交于A(-4,0)和8(1,0)兩點(diǎn)，與y軸交于C點(diǎn).(1)求此拋物線的解析式；(2)設(shè)E是線段仙上的動(dòng)點(diǎn)，作EF〃AC交BC于F,連接CE,當(dāng)?shù)拿娣e是面積的2倍時(shí)，求E點(diǎn)的坐標(biāo)；(3)若P為拋物線上A、C兩點(diǎn)間的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)P作y軸的平行線，交AC于Q,當(dāng)P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，線段PQ的值最大，并求此時(shí)戶點(diǎn)的坐標(biāo).fVI專業(yè)個(gè)性化學(xué)習(xí)社區(qū) I.3、如圖，己知拋物線y=x2+bx+c經(jīng)過(guò)矩形ABCD的兩個(gè)頂點(diǎn)A、B,AB平行于x軸，對(duì)角線BD與拋物線交于點(diǎn)P,點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0,2）,AB=4.（1）求拋物線的解析式；⑵若S△偵二-,求矩形ABCD的面積.24、如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，081匕0人且0B=20A,點(diǎn)A的坐標(biāo)是（一1,2）.（1）求點(diǎn)B的坐標(biāo)；（2）求過(guò)點(diǎn)A、0、B的拋物線的表達(dá)式；（3）連接AB,在（2）中的拋物線上求出點(diǎn)P,使得SaabP=SAABO.5、如圖，已知拋物線與尤交于A(-1,0)、E(3,0)兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)B(0,3)。(1)求拋物線的解析式；(2)設(shè)拋物線頂點(diǎn)為D,求四邊形AEDB的面積；(3)AAOB與ADBE是否相似？如果相似，清給以證明；如果不相似，請(qǐng)說(shuō)明理由。6、如圖，已知拋物線>二。（工-1）2+3右色壬0）經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（-2,0），拋物線的頂點(diǎn)為過(guò)O作射線OM//AD.過(guò)頂點(diǎn)。平行于工軸的直線交射線于點(diǎn)C,B在x軸正半軸上，連結(jié)BC.（1）求該拋物線的解析式；（2）若動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)。出發(fā)，以每秒1個(gè)長(zhǎng)度單位的速度沿射線OM運(yùn)動(dòng)，設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為i（s）.問(wèn)當(dāng)，為何值時(shí)，四邊形ZMOP分別為平行四邊形？直角梯形？等腰梯形？（3）若。C=OB,動(dòng)點(diǎn)P和動(dòng)點(diǎn)Q分別從點(diǎn)。和點(diǎn)B同時(shí)出發(fā)，分別以每秒1個(gè)長(zhǎng)度單位和2個(gè)長(zhǎng)度單位的速度沿。。和BO運(yùn)動(dòng)，當(dāng)其中一個(gè)點(diǎn)停止運(yùn)動(dòng)時(shí)另一個(gè)點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng).設(shè)它們的運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為l（s），連接FQ,當(dāng)，為何值時(shí)，四邊形BCPQ的面積最小？并求出最小值及此時(shí)FQ的長(zhǎng).例7：本題涉及直線和圓相切、距離和最小問(wèn)題2（2013遵義）如圖，己知拋物線y=ax2+bx+c（a*0）的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（4,--）,且與y軸交于點(diǎn)C（0,2）,與x軸交于A,B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左邊）.（1）求拋物線的解析式及A,B兩點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）在（1）中拋物線的對(duì)稱軸1上是否存在一點(diǎn)P,使AP+CP的值最小？若存在，求AP+CP的最小值，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；(3)以AB為直徑的。M相切于點(diǎn)E,CE交x軸于點(diǎn)D,求直線CE的解析式.'納思書院」'納思書院」例8：涉及正方形、三角形、圓、垂直平分線如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)B(-2V2,0),A(〃7,0)(—JIv〃2<0),以A8為邊在x軸下方作正方形ABCD,點(diǎn)E是線段0D與正方形ABCD的外接圓除點(diǎn)D以外的另一個(gè)交點(diǎn)，連結(jié)BE與相交于點(diǎn)尸.(1)求證：BF=DO；(2)設(shè)直線/是△82)。的邊8。的垂直平分線，且與BE相交于點(diǎn)G.若G是△位)。的外心，試求經(jīng)過(guò)B旦。三點(diǎn)的拋物線的解析表達(dá)式;(3)在(2)的條件下，在拋物線上是否存在點(diǎn)P,使該點(diǎn)關(guān)于直線BE的對(duì)稱點(diǎn)在x軸上?若存在，求出所有這樣的點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.別為(-1,0),(3,0)。(0,3),過(guò)A,B,C三點(diǎn)的拋物線的對(duì)稱軸為直線/,D為對(duì)稱軸/上一動(dòng)點(diǎn).求拋物線的解析式；求當(dāng)AD+CD最小時(shí)點(diǎn)。的坐標(biāo)；以點(diǎn)A為圓心，以AD為半徑作。A.%1證明：當(dāng)AD+CD最小時(shí)，直線BD與(DA相切.%1寫出直線BD與(DA相切時(shí)，D點(diǎn)的另一個(gè)坐標(biāo)：I專業(yè)個(gè)性化學(xué)習(xí)社區(qū) I2、如圖，點(diǎn)”4,0)，以點(diǎn)〃為圓心、2為半徑的圓與x軸交于點(diǎn)4、B.己知拋物線9^二一- -…、一八 ，一入一 、，——is,，y=-x過(guò)點(diǎn)，和8,與〃軸交于點(diǎn)C.(1)求點(diǎn)。的坐標(biāo)，并畫出拋物線的大致圖象.(2)點(diǎn)。(8,〃7)在拋物線y=-C2+/?x+c土點(diǎn)夕為此拋物線對(duì)稱軸上一個(gè)動(dòng)點(diǎn),求國(guó)+用的最小值.(3)您是過(guò)點(diǎn)。的的切線，點(diǎn)尤是切點(diǎn)，求彼所在直線的解析式.3、如圖，拋物線y=ax2+/?x-3與x軸交于A8兩點(diǎn)，與y軸交于C點(diǎn)、，旦經(jīng)過(guò)點(diǎn)(2,-3。)，對(duì)稱軸是直線x=l,頂點(diǎn)是(1)求拋物線對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式；(2)經(jīng)過(guò)C,M兩點(diǎn)作直線與x軸交于點(diǎn)N,在拋物線上是否存在這樣的點(diǎn)F,使以點(diǎn)P,AC,N為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；(3)設(shè)直線y=-x+3與)，軸的交點(diǎn)是。，在線段8。上任取一點(diǎn)E(不與8。重合)，經(jīng)過(guò)AB,E三點(diǎn)的圓交直線BC于點(diǎn)試判斷的形狀，并說(shuō)明理由；(4)當(dāng)E是直線y=-x+3上任意一點(diǎn)時(shí)，(3)中的結(jié)論是否成立？(請(qǐng)直接寫出4、涉及外接圓、直角梯形如圖，二次函數(shù)y=X2+px+q(p<0)的圖象與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C(0,-1),AABC的面積為°。求該二次函數(shù)的關(guān)系式；(2)過(guò)y軸上的一點(diǎn)M(0,m)作y軸上午垂線，若該垂線與△ABC的外接圓有公共點(diǎn),求m的取值范圍；(3)在該二次函數(shù)的圖象上是否存在點(diǎn)D,使四邊形ABCD為直角梯形？若存在，求出點(diǎn)D的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。易.(I)若尤］花<0，且m為正整數(shù)，求拋物線M的解析式；(II)若工］<1,x2>1,求的取值范圍；(III)試判斷是否存在使經(jīng)過(guò)點(diǎn)A和點(diǎn)B的圓與y軸相切于點(diǎn)C(0,2),若存在，求出m的值；若不存在，試說(shuō)明理由；(IV)若直線l\y=kx+b過(guò)點(diǎn)F(0,7)，與(I)中的拋物線M相交于P,。兩點(diǎn)，且使PF1一求直線/的解析式.FQ2

題型四二次函數(shù)平移問(wèn)題例9：涉及拋物線平移、三角函數(shù)(2013*株洲)已知拋物線Ci的頂點(diǎn)為P(1,0),且過(guò)點(diǎn)(0,1).將拋物線4CI向下平移h個(gè)單位(h>0)得到拋物線C2.一條平行于x軸的直線與兩條拋物線交于A、B、C、D四點(diǎn)(如圖)，且點(diǎn)A、C關(guān)于y軸對(duì)稱，直線AB與x軸的距離是m2(m>0).(1)求拋物線G的解析式的一般形式；當(dāng)m=2時(shí)，求h的值；(3)若拋物線C|的對(duì)稱軸與直線AB交于點(diǎn)E,與拋物線C2交于點(diǎn)F.求證:tanZEDF-tanZECP=—.例10：涉及拋物線平移、距離和最小問(wèn)題如圖，已知點(diǎn)人(-4,8)和點(diǎn)B(2,〃)在拋物線y=ax2±.(1)求】的值及點(diǎn)B關(guān)于x軸對(duì)稱點(diǎn)P的坐標(biāo)，并在a?軸上找一點(diǎn)Q,使得AQ+QB最短，求出點(diǎn)。的坐標(biāo)；⑵平移拋物線欲2,記平移后點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為A，，點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為8,點(diǎn)C(-2,0)和點(diǎn)D(-4,0)是x軸上的兩個(gè)定點(diǎn).%1當(dāng)拋物線向左平移到某個(gè)位置時(shí)，AC+CB最短，求此時(shí)拋物線的函數(shù)解析式；%1當(dāng)拋物線向左或向右平移時(shí)，是否存在某個(gè)位置，使四邊形A2CO的周長(zhǎng)最短？若存在,求出此時(shí)拋物線的函數(shù)解析式；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.題型五拋物線結(jié)合旋轉(zhuǎn)、翻轉(zhuǎn)例11：涉及圖形旋轉(zhuǎn)問(wèn)題

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，將一塊腰長(zhǎng)為5的等腰直角三角板A8C放在第二象限，且斜靠在兩坐標(biāo)軸上，直角頂點(diǎn)C的坐標(biāo)為(-1,0),點(diǎn)B在拋物線y=ax2-，x-2土..(1)點(diǎn)A的坐標(biāo)為,點(diǎn)8的坐標(biāo)為；(2)拋物線的關(guān)系式為；(3)設(shè)(2)中拋物線的頂點(diǎn)為D,求的面積；(4)將三角板A8C繞頂點(diǎn)A逆時(shí)?針?lè)较蛐D(zhuǎn)90°,到達(dá)△AB'C’的位置.請(qǐng)判斷點(diǎn)B'、C'是否在(2)中的拋物線上，并說(shuō)明理由.例12：涉及圖形翻折、三角形相似如圖，二次函數(shù)y=ax2+bx+c(。壬0)的圖象與尤軸交于A、B兩點(diǎn)、，與y軸相交于點(diǎn)C.連結(jié)AC、BC,A、C兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(—3,0)、C(0,JJ),且當(dāng)x=—4和x=2時(shí)二次函數(shù)的函數(shù)值y相等.(1)求實(shí)數(shù)b,c的值；(2)若點(diǎn)M、N同時(shí)從B點(diǎn)出發(fā)，均以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度分別沿酗、BC邊運(yùn)動(dòng)，其中一個(gè)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng).當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為，秒時(shí)，連結(jié)MV,將沿M/V翻折，3點(diǎn)恰好落在AC邊上的P處，求［的值及點(diǎn)P的坐標(biāo)；(3)在(2)的條件下，二次函數(shù)圖象的對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)Q,使得以3,N,Q為項(xiàng)點(diǎn)的三角形與△ABC相似？如果存在，請(qǐng)求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

通過(guò)IS09001認(rèn)通過(guò)IS09001認(rèn)I專業(yè)個(gè)性誨習(xí)甄納思書院NiceEducation題型六一次函數(shù)、反比例函數(shù)、二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)綜合例13：己知直線Ly=—x+ni（m尹0）交*軸、火軸于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)C、M分別在線段0A、AB上，且OC=2CA,AM=2MB,連接MC,將Z\ACM繞點(diǎn)M旋轉(zhuǎn)180°,得到^FEM,則點(diǎn)E在y軸上，點(diǎn)F在直線/上;取線段E0中點(diǎn)N,將ACM沿MN所在直線翻折，得到^PMa其中P與A為對(duì)稱點(diǎn).記：過(guò)點(diǎn)尸的雙曲線為Q,過(guò)點(diǎn)M且以B為頂點(diǎn)的拋物線為G，過(guò)點(diǎn)P且以M為頂點(diǎn)的拋物線為C3.⑴如圖，當(dāng)m=6時(shí)，①直接寫出點(diǎn)M、F的坐標(biāo)，②求C.C2的函數(shù)解析式；（2）當(dāng)m發(fā)生變化時(shí)，①在G的每一支上，y隨工的增大如何變化？請(qǐng)說(shuō)明理由。②若C2、Q中的y都隨著彳的增大而減小，寫出x的取值范圍,練習(xí):I專業(yè)個(gè)性化學(xué)習(xí)社區(qū)納思書院練習(xí):I專業(yè)個(gè)性化學(xué)習(xí)社區(qū)納思書院NiceEducation1、涉及反比例函數(shù)、概率問(wèn)題如圖，曲線C是函數(shù)y=-在第一象限內(nèi)的圖象，拋物線是函