sin若lim (cosxb)5，則a ，b x0exf

＝A，(1)g(x)0f(x0；(2)f(x0A0g(x) limsin

(cosxb5limsinxcosxb0x0e lim(exalimexlima1a0a= 極限化為limsinx(cosxblimx(cosxb1b5bx0ex因此，a=1，b=

x02sinx(cosxb5，其中lim0ex

解 a

,5alimex(5)(cosxb)sinxlimexlim(cosxb)sinx10

5

5把a=1代入，再求 bcosx(5)(ex

(5)(ex,sinblim(cosx

sinlimcosxlim(5)(ex1)1lim(5)x15 sin 因此，a=1，b=

2函數f(u,v)由關系式f[xg(y),y]xg(y)確定，其中函數g(y)可微，且g(y)0，則uv

g2f(uvf[xgy),y對照，令uxgyvy從而：x ，于是由f[xg(y),y]xg(y)g( 推知：f(uvug(v 2 f

g(v)，uvvuvg(v)g2 （3）f(x)

,2

x1

2，則2f(x1)dx

,x 2 2t: 1f(x1)dx1f(t)dt＝21f(t)dt1 112xex2dx (1)dx1

12ex2dx2(11)1ex221

2011.（2

2xex2dx02

分值為零

x1ex12,1x1f(x1)

x12(x1)e(x1)2,1xf(x1)

x2 1f(x1)dx2(x1)e(x1)dx3 123e(x1)2d(x1)2231e(x1)2232

2 2

(e4e4) 0 （4）二次型f(x1,x2,x3)(x1x2)2(xx3)2(xx)2的秩 答案：

1f(x1x2x3x1x22x2x32x3x12x22x22x22xx2xx2x 1 1 2 i1j的一半，其中i

111

A 1

2 2 3 2 3 00

2 0 rA2,2f(x1x2x3x1x22xx32xx 2x22x22x22xx2xx2x 1 1 2

121

121

)23

)22y23y2 2其 y1x12x22x3 y2x2x32x22x22x22xx2xx2x 對x配方2(x2xxxx2x22x22x 1 22(x1x1x)21x21x2xx2x22x22x 2 2 2 2 2 22(x1x1x)23x23x23x 2 2 2 2 2

12

12

)23(xx2 2設隨量X服從參數為λ的指數分布,則P{X1

ef(x)1

若x若xDX21由題設，知DX2，于是，由一維概率計 bPaXbafX(x)dxP{X DX}=P{X1}exdx=

1e e XNμσ2,總體YNμσ2 1X1X2XnY1,Y2YnX和Y的簡單隨機樣本,12 j(j

X

Y) nn E nn 【解析】根據E(XY)E(X)E(Y)和樣本方差是總體方差的無偏估計量1X1X2,XnY1,Y2YnX和Y12 2 n即是 (XiX)]D(X)n n (YiY)]D(Y)n1n1

(

X

jE E[1(XX)2]E[2(YY)2j nn nn

[(n1)2n1)22,故應填σ22nn |x|sin(x函數f(x) x(x1)(x(A)(1, (B)(0, (C)(1, (D)(2,【答案】1f(x在(ab內連續，且極限在(ab內有界.x012f(x

xa

f(x與

f(xflimf(x) sin3 x1x(x1)(x (11)(1 limf(x) xsin(x sin(02)sin2 x0x(x1)(x limf(x) sin2 x0x(x1)(x limf(x) x1x(x1)(x x1(x1)(1limf(x) limsin(x2) x2x(x1)(x x2(x x2x

f(x存在，根據函數極限的局部有界性，所以存在0，在區間[0)f(xf(x在區間(1,0上有界，選f(x)在(

f(x)a g(x)f(x),x0，則 ,xx0g(x的第一類間斷點x0g(x的第二類間斷點x0g(x的連續點1【解析】考查極限limg(x)是否存在，如果存在，是否等于g(0)，通過換元u limg(xlimf(x 因為limg(x)limf()u

limf(u=ag(0)0 x當a0limg(x)g(0)g(xx0a0limg(xg(0)x0g(xg(xx0a1【解析】考查極限limg(x)是否存在，如果存在，是否等于g(0)，通過換元u limg(xlimf(x 因為limg(x)limf()u limf(u)=a，又g(0)0，所以 xa0limg(x)g(0)g(xx0a0limg(xg(0)x0g(xg(xx0a設f(x)x(1x),則 x0f(x的極值點,但(0,0)yf(x的拐點x0f(x的極值點,但(00)yf(x的拐點x0f(x的極值點,且(0,0)yf(x的拐點x0f(x的極值點,(00)yf(x的拐點

1 方法1：由于是選擇題，可以用圖形法解決,令(x)x(x1)，則(x)x

為對稱軸 2 頂點坐標為1x軸相交的兩點坐標為0,01,0y

f(x)

4x0是極小值點；又在點(00)所以點(0,0)是拐點，選C方法2：寫出yf(x)的分段表達式：f(x)x(1 1x0x(1 0x 12x,1x

f(x) 1x0從

(x) 12x 0x

0x

f(xlim12x10，所以0x1f(x

f(xlim12x10，所以1x0f(x當1x0時,f(x)20，f(x)為凹函數；當1x0時 f(x)20，f(x)為凸函數,于是(0,為拐點 若(u2n1u2n)收斂，則un收斂

若un收斂，則 收斂

若lim 1，則un發散n

若(unvn收斂，則unvn都收斂 【答案】①是錯誤的，如令u1)nlim n

0，所以

(u2n1u2n1111收斂 ②是正確的，因為級數 比級數un少了前1000項，改變、增加或減少級數的有限項，不改變級數lim

1，從而有

n n調增加，故limnn

0，從而limu0，所 u發散n ④是錯誤的，如令un ,vn ，顯然，un，vn都發散 而(uv1111收斂.故選 n 設f(x)在[a,b]上連續，且f(a)0,f(b)0，則下列結論中錯誤的是 x0(abf(x0>f(a f(b)x0a,bf(x0【答案】1：舉例說明（D）是錯誤的.例：f(x)4x21x1， f(1)2 20,f(1)2 20.但在[1,1]f(x3 f(x在[abf(a0,f(b0，則由介值定理，x0a,b，使得f(x00，所以選項(C)正確；f(a

f(xf(a)0xa,bxa

x f(x0f(a)0f(x0x0

f(a，所以選項(A)正確f(blimf(bf(x)0x0a,bf(x0f(b. b設n階矩陣A與B等價,則必有 當|A|a(a0)時,|B|a (B)當|A|a(a0)時,|B|a(C)當|A|0時,|B|0 (D)當|A|0時,|B|0(D1AB等價AB是同型矩陣且有相同的秩,AB等價，知A與B有相同的秩.因此，當|A|0時,r(A)n,則有r(B)n 即|B|0,故選

PAQ

AQBPQ

A0

P0Q0，但不知具體數值PAQBA0B不能確定.A0B0.故應選（1）A中某兩行（列）BBAA中某行（列）k(k0)BBkAABBA

kAA0BkA00但|A|0B0|A|0B0A0B0.故應選 設nAA*0,若ξ1ξ2ξ3ξ4是非齊次線性方程組Axb互不相等的解，則對應的齊次線性方程組Ax0的基礎解系 不存在 (B)僅含一個非零解向量(C)含有兩個線性無關的解向量. (D)含有三個線性無關的解向量.答案：(B)，得0Ax0的解.rAn.A*0, 設隨量X服從正態分布N(0,1),對給定的α(0,1),數uα滿足若P{|X|x}α,則x等于

uα}αuα 2

uα 2

2

u1α【答案】PXxPXx1P2

11P{

x}P{1

x}P{Xx}P{Xx}2P{X即有P{Xx

222yf

PXux

f y1y2x圖 圖

x}.兩端各余面積1所以P{X 2答案應選

2lim

cos2x )3

cos2x)limx2sin2xcos2x0sin2

x2sin2x21sin2等 limxsinxcosx= sin x21sin22x 2x 洛lim x4 2x1sin4x 洛lim

4x3

lim2sin2

lim

4

sin

求D

y)dDx2y24(x1)2y21所圍成的平面區域(如圖 1D1xy|x2y24},D2xy|x1)2y21}fx,ydr2frcos,rsinr1DDx2y2dD1D1{(x,y)|x2y24}{(x,y)|02,0rx2y2d 2

2r2cos2r2sin2rdr 2d2r2drDD1

Dx2y2dD2D{(x,y)|(x1)2y21}{(x,y)|3,0r2

x2y2d

2d

r2cos2r2sin2rdr

2d

所以D

x2y2d

x2y2d

x2y22 2cos20d0rdr2d r20

3d30

22

330 38cos32 2

21sin2d2 8 sin3 sin 3 2 163216(3 D y)dx2y2d

16(32) x2 y)dx2y2dyd2 x2y2x2

2[2

2r2drd 2

023

22

8288cos3 d2

2 32 16 sin3 3sin

9(32)2f(xg(x)在[ab] af(t)dtag(t)dt，x[a,b)，af(t)dtag(t)dt axf(x)dxaxg(x)dxxf（x） 因為已知af(t)dtag(t)dtxxxxG(x)F(t)dtft）g（t）dtf(t)dtg(t)dt0，x[a,xxxx aG(a)aF(t)dt0a 又af(t)dtag(t)dt 所以G(baF(t)dtaf(tgtdtaf(t)dtagtdtba從而bxF(x)dxG(x)F(x)xdG(x)分部積分xG(xbba bGaGb0aG(x)dxbb由于G(x)0x[ab]，故有aG(x)dxb axF(x)dxbbbb也即是xf(xg(x)dxxf(x)dxxg(x)dxbbb 因此axf(x)dxaxg(x)dxEdPdQQQEdPdQQQ1005P 1005PP10020 ；20(II)RPQdRdPQQPdQQ(1PdQ) P)Q(1E Q 20 dRQPdQQ(1PdQ)Q(1Ed) QdP0，即證Q(1Ed0Ed1P

20

1，：P10，又已知P(0,20)，所以20P10，此時收益隨價格降低反而增加x42

24

246

(

x.S(x的表達式S(x)x42

24

246

易見S(0)0 S(x)

2 24 246 4x3

x3x5 2 24 246 2 24 x2x4 ) S 2 24 ，S(x)x[x2S(x)]，

S(0)0

S(x)xS(x)x3，S(0)2S(xxS(x) 2dSS

xdx x2 lnS(xxCS(x)e21Ce S(xxCxe

Cxe S(xxS(x)

：xCxe2Cxe2xCxe2 3所以Cx 32

e2dx x3 x2 S(x) e2dxce2 e2 ce

de2ce2分部 e2e2 ce x2

2

2e2ce2

1ce20 0因為S(0)0，所以S0 1ce2

0c S(xe22

1 ，方程S(x)xS(x)x3的通解2 Sxexdx[xexdxdxC]x1Ce S(0)0，得C1 S(x)e

x12設α11,2,0)T,α21,α2,3α)T,α1,b2,α2b)T,β1,3,3)T3β可由α1α2α3唯一地線性表示,并求出表示式β可由α1α2α3線性表示,但表示式不唯一,并求出表示式1x12x23x3 Aα1α2α3.對矩陣Aβ施以初等行變換, 1 1(A,β) a 1 0 a

a 10aa0時,b . . 0 ,不能由α1α2α3線性表示a0,且ab時, (A,β) 0

b

11可知，r(A)r(A,β)3, 有解，由定理：設A是mn矩陣，方程組Axb，則，(1)有唯一解r(A)r(A)n；(2)有無窮多解rArAn(3)rA1rx11

x1

x30 β可由α1α2α3唯一地線性表示,其表示式為β1a)α1aα2a0ab0時,對矩陣Aβ施以初等行變換, 1 11 a 12行a 11行2行 1

a0 a 0 0 rArAβ2,AmnAxb，則，(2)有無窮多解rArAn，知方程組(*)有無窮多解，其全部解為x11

x1c

x3c，其中c 可由α1,α2,α3線性表示,但表示式不唯一 其表示式β(11)α(1c)αcαan階矩陣

bA

b. 1,,Af(BfB的特征值、特征向量 |EA 1 1000010000[1(n1)b][(1bλ11n1)b(n (n (n (n (n

(nn nnn000nn000

n 11 0 0 1 1 1 1n n1

n 1 0 1 1n 1 1n n n 1 1(

0 n 0 1 0 0 1

T)Tkξ1kλ2λn1b

EA

1 1 ,i2,, ξ(1,1,0,,0)T，ξ(1,0,1,,0)T，,ξ(1,0,0,,1)T k2ξ2k3ξ3 當b0λ0 0λ 00λ0 0λ 00 λ b b(1 1 b 方法2：A 1 b(1b) b 1 0 b 1 0 11

b

1bb (1b)Eb1,1, 11 bB(1

其中BT,1,1, B有特征值，特征向量ff(Bf(，其特征向量仍是T11,1, ,1T從而有AbT(1b)E，有特征值nb1b1(n1)b，其對應特征向量仍是1,1, 11 111 BT 11 1重特征值，其對應的特征向量應滿足(0ET)xTx x1x2xnξ2(1,1,0,,0)T，ξ3(1,0,1,,0)T，,ξn(1,0,0,,1)T 從而知AbT(1b)E有n1重特征值f(0)b0(1b)1b.對應的特征向量仍是,,,，其全部特征向量為k2ξ2k3ξ3knξn (k2,k3,,kn 則

1當b0AA有nPξξ,ξ 1(n

1

1b 當b0AEP,P1APE11設A，B為兩個隨 ,且P(A) 4

P(B|A)13

PA|B)1,2XX

Y 求

二維隨量(X,Y)的概率分布X與Y的相關系數ρXYZX2Y2的概率分布 212133111561XYZ012Z012P23141量X,Y的概率分布；利用聯合概率分布可求出邊緣概率分布，進而可計算出相關系數（I）PABPA)P(B|A)1P(P(AP(P(P(A1 P{X1,Y1}P(AB) P{X1,Y0}P(AB)P(A)P(AB)16P{X0,Y1}P(AB)P(B)P(AB)1P{X0,Y0}P(AB)1P(A2=