本文格式為Word版，下載可任意編輯——保險精算練習題1．李華1990年1月1日在銀行帳戶上有5000元存款，（1）在每年10%的單利下，求1994年1月1日的存款額。（2）在年利率8%的復利下，求1994年5月1日的存款額。解：（1）5000×（1+4×10%）=7000（元）（2）5000×（1+10%）4.33=7556.8（元）

2．把5000元存入銀行，前5年的銀行利率為8%，后5年年利率為11%，求10年末的存款累計額。

解：5000（1+8%）5×（1+11%）5=12385（元）

3．李美1994年1月1日在銀行帳戶上有10000元存款。（1）求在復利11%下1990年1月1日的現值。（2）在11%的折現率下計算1990年1月1日的現值。解：（1）10000×（1+11%）-4=5934.51（元）（2）10000×（1-11%）4=6274.22（元）

4．假設1000元在半年后成為1200元，求⑴i(2)，⑵i,⑶d(3)。

i(2))?1200；所以i(2)??0.4解：⑴1000?(1?2i(2)2)；所以i?0.44⑵1?i?(1?2(n)i(m)md?1?n(1?)?1?i?(1?d)?(1?)⑶；

mnd(3)3?1(3)(1?)?(1?i)?0.34335所以，；d3

5．當n?1時，證明：d證明：①d因

?d(n)???i為

(n)?i。

，

?d(n)

(n)(n)(n)d(n)nddd0122331?d?(1?)?Cn?1?Cn??Cn?()?Cn?()??

nnnn?1?d(n)d?d所以得到，；

②

(n)

d(n)??

(n)d?m(1?e(n)??m)；e??m?1??C?()?C?()?C?()???1?mmmmm

?2n?23n?34n?4?

所以，d?m[1?(1??m)]??(n)??i③

(n)i(n)ni[1?]?1?i，即，n?ln(1?)?ln(1?i)??nn

?所以，i(n)?n?(en?1)

?e?1?n?C?()?C?()?C?()???1?

mmmmm??2n?23n?34n?4?i(n)?n[(1?)?1]??

n④

i(n)(n)?i

(n)(n)(n)iiin0122(n)in[1?]?C?1?C??C?()???1?i[1?]?1?i，nnn

nnnn所以，

i(n)?i

m6．證明以下等式成立，并進行直觀解釋：⑴

am?n?am?van1?vm?n?i；

nmm?n1?vmm1?vv?vm?va?v?ni，ii解：am?na，m

mmm?n1?v?v?vma?van??am?n所以，mi

a?a?vsm?nmn⑵

a解：m?n1?v?im?n，

m；

am1?v?immm?nv?vm?vsn?，

i

mmm?n1?v?v?vma?vsn??am?n所以，mi

⑶

sm?n?sm?(1?i)anm；

nm?nm(1?i)m?1(1?i)?1(1?i)?(1?i)mms?(1?i)s?(1?i)?解：m，niii

mm?nm(1?i)?1?(1?i)?(1?i)ms?(1?i)an??sm?n所以，mi⑷

sm?n?sm?(1?i)anm。

解：（同上題）略。

7．某人今年30歲，其計劃每年初存300元，共存30年建立個人存款能從60歲退休開始每年年末得到固定金額，共能領取20年。假設存款利率在前十年為6%，后20年為12%，求每年能取的養老金額。

20s?s?(1?i)?s20230解：3010(1?i1)10?1(1?i)?1202??(1?i2)?

i1i2所以60歲時存款有

300?s30?59759.5（元）

，可得X=7774.12（元）

X?a?s由此知，2023

8．某單位在20年內每年存入銀行5000元建立職工獎勵基金。從存入最終一筆款后的第2年起，每年提取固定金額獎勵一名有突出貢獻的職工，這種獎勵形式將永遠持續下去。假設存款的利率為8%，求每次能夠提取的最大金額。

1X?A??X??5000?s20?228809.82。所以X解：

i

?18304.79（元）

9．證明：

⑴

an?i?an?s1?an；

證明：

an?1?vn??i1?vnii????ani??，所以

s1?(1?i)?1??an?s1?an；

a?n⑵

1?e?n??an?1?vn?en??1?(1?i)?n?。

n?1?(e)??n??1?e?n?

?sn?⑶

?1(e)?1?n??證明：

sn?(1?i)?1???en??1

?

10．假設每年第一年收付200元，以后每隔一年增加收付100元，增加到一次收付1000元時不在增加，并一直保持每年1000元的水平連續收付。假設年利率為12%，求這一年金的現值。

a?100a1?100(Ia)9?1000a?解：

?100(1?i)?100?1??8?8(1?i)?8ai19

?1000??v?4362.94i

1．依據生命表的基礎填充下表：

x

0123456

lx

1000(900)750(600)300(120)0

dx

100(150)(150)(300)(180)(120)

px

0.9(5/6)0.8(0.5)(0.4)(0)

qx

0.1(1/6)(0.2)(0.5)0.6(1)

x)，計算：3.已知lx?1000(1?120⑴l0，l120，d33，20p30，30q20；

⑵25歲的人至少再活20，最多活25年的概率；⑶三個25歲的人均存活到80歲的概率。

1200)?0l?1000(1?)?1000l120?1000(1?0解：⑴120；d33?l33?l34?1000?125120?3

p?l502030?7?l20?l50l；30q20309l?0.320

⑵205q?l45?l50125l?

2519⑶55p?(l8038325l)?(19)?0.07464644925

4．若lx?100000(c?xc?x)，l35?44000，求：⑴c的值；

⑵生命表中的最大年齡；⑶從出生存活到50歲的概率；

⑷15歲的人在40～50歲之間死亡的概率。

解：⑴l?100000(c?3535c?35)?44000。所以，c=90

⑵lx?100000(90?x90?x)?0，所以，??90l504⑶50p0?l?013⑷2510q15?l40?l50l?2。

153

120

5．證明并作直觀解釋：

⑴nmqx?npx?n?mpx；

lx?n?lx?n?mlx?nlx?n?mq????npx?n?mpx

證明：nmxlxlxlx⑵

nqx?npx?qx?n；

lx?n?lx?n?1lx?nlx?nlx?n?1qx?????npx?qx?n

lxlxlxlx?n證明：n⑶n?mpx?npx?mpx?n。

lx?n?mlx?nlx?n?m???npx?mpx?nn?mpx?證明：lxlxlx?n

6．證明：

⑴

????x0??xlx?t?x?tdt?lxt；

⑵

0px?x?tdt?1；

?p?p?(???)txtxxx?t⑶；

?x?px??tpx??x?tt⑷。

?t證明：⑴⑵

???x0lx?t?x?tdt?lx?0?lx???x?lx?l??lx

???xt0px?x?tdt????x0lx?t?1?1??xdlx?t???lxlx?tlx01dlx?t?1??(lx???x?lx)?1lx；

Dlx?t?lx?Dlx?lx?t??lx?t()?tpx??x?xlx(lx)2⑶

Dlx?tDlx?tlx?tDlx?tDlx???(?)?tpx?(?x??x?t)

lxlxlxlx?tlxDlx?tlx?tDlx?t??lx?t()?????tpx??x?ttpx??⑷?t。?xlxlxlxlx?t7．分別在死亡均勻分布，死亡力恒定和鮑德希假設下，用課本附表1給出的生命表計算：14⑴

q25；⑵51q402?；⑶

150。

3解：⑴14略。

q25?1?tpx??t?q251d25116.9802????0.000305754l254?95650.15

8．若l40?7746，l41?7681，計算⑴死亡均勻分布假設；⑵鮑德希假設；⑶假設lx?140：4?1000100?x

14解：⑴

?40q40??0.008409068?1?t?q40；

xqnxqn?1404???tpx?e???t⑵

可令t?1,pxl41??e??l40

???0.008426834?⑶

4014qx??0.0084445731?(1?t)qx與n無關。

。

9．證明在鮑德希規律下，

?s(x)?1?證明：

x?

ns(x?n)?s(x?n?1)1qx??s(x)??x與n無關。

所以，

1某人10歲買了定期生存保險，這一保險使其從18歲到25歲每年得到2000元生存保險金，以附表2轉換函數值計算這一年金現值。

N10?8?1?N10?8?8?12000?88a10?2000?2000?0.22775?455.5（元）解：

N102．證明以下等式成立，并解釋其含義。

⑴

??x?1ax?vpxa；

Nx?1Nx?Dx??x?1?vpxa??x?1ax???a證明：DxDx⑵

??x?1?vpxa??x?1；a證明：

??x?1?vpxa??x?1a??x?1?vpxa??x?1a

所以，

??x:n?ax:n?(1?nEx)a⑶；

ax:n證明：

Nx?1?Nx?n?1DX?nNx?1?Dx?(Nx?n?1?DX?n)?(1?nEx)??(1?)?DxDxDx

Nx?Nx?n??x:n??aDxn⑷

nax?v?npx?ax?n；

n證明：

Nx?n?1Nx?n?1Nx?n?1nax??nEx??v?npx??vn?npx?ax?nDxDxDx?nnExm；

a?a?v?p?amxx:n?mx:mx?m:n⑸

證明：

ax:n?max:m?Nx?1?Nx?n?m?1?DxNx?1?Nx?m?1DxNx?m?1?Nx?m?n?1Nx?m?1?Nx?m?n?1?Dx?mDxNx?1?Nx?m?1Nx?m?1?Nx?m?n?1Nx?1?Nx?m?n?1????ax:n?mDxDxDx

vm?mpx?ax?m:n?mEx?m?ax:m?v?mpx?ax?m:n⑹

??x?(1?i)ax?1px?1?a

Nxpx?1?Nxpx?1?Nx??x?px?1?p?a???(1?i)ax?1x?1證明：

Dx1Ex?1?Dx?1v?px?1?Dx?1

3．某人在50歲時以50000元的躉繳凈保費購買了每月給付k元的生存年金。假設購買后次月開始給付，求k值。

12?11112k?a?12k?(a50?)?12k?(12.26683?)?500002?1224解：

k?338.62(12)50

4．給付50歲的人每月200元，第一次從60歲開始，共付10年的生存年金轉換函數表達式。

解：

2400?1010a(12)50?2400?10E50?a60:10(12)13?2400?10E50?(a60??a70)

247．以轉換函數表達下面變動年金的現值。對（x）第一年末給付1000元，以后每年比上年增加給付500元，，當年給付金額達到5000元時，又以每年1000元的幅度遞減，直到1000元后保持不變，直到被保險人死亡為止。

解：

500v?500(Ia)x:8?1000?v(Da)x?9:4?1000?v?ax?14

p?x?(1?r)px，證明以利率i和p?x為基礎計算的終身年金

9148．假設對所有x，有現值與以i??'i?r和px為基礎計算的終身年金現值相等。1?r解：以i,px為計算基礎

1t'''ax??tEx??v?tp??()?px?px?p?1x?t1?it?1t?11tt??()?(1?r)?px?px?1?px?t1?it'x??i?r以i?1?r'、

px計算

1tax??tEx??v?tpx??()?px?px?1?px?t1?it?1t?11?rt

??()?px?px?1?px?t1?it??x),i?0.10，求50歲的人投保100000元終身壽險的精1．假設lx?1000(1?115算現值。

解：

dx?lx?lx?t?11000?(t?1)

1151100000A50?100000?l50

?[vt?0115t?1?(1?t)]

2．某保單規定，若被保險人在投保后20年內死亡，則在第20年末給付1單位保險金，若被保險人在投保20年以后死亡，則在死亡年年末給付1單位保險金。寫出對（x）的保單精算現值的表達式。

解：

19?A??(v20tqx)??(vt?1tqx)t?0t?20?v20?(t?019tqx)?20Ax

3．某人在30歲時投保了10000元延期25年的定期壽險，求這一保單的精算現值。

解：

mAx:nMx?m?Mx?m?n??v?tqx?Dxt?mm?nt?1

1000030A25:20所以，

M55?M75?10000D251069.6405?403.7249

?10000?298.8022286.35

4．證明：

證明：

Ax?vqx?vpxAx?1，并說明其意義。

MxMx?1Ax?,Ax?1?,Cx??1?dxDxDx?1Mx?Cx?Mx?1,Dx??lx,Dx?1??1?lx?1,vpxDx?Dx?1Cx?Mx?1vpx(Cx?Mx?1)v?px?Cxv?px?Mx?1?Ax????DxDx?1Dx?1Dx?1lx?1x?1v?.v?dxlxdx??v?px?Ax?1?v?v?px?Ax?1?v?qx?v?px?Ax?1x?1lxv?lx?1即（X）壽險精算現值等于在第一年內死亡賠付vqx，在一年后死亡賠付的精算現值

vpxAx?1之和。

dAx?Ax(?x??)??x，并說明其意義。

5．證明：

dxMxA??證明：xDxdAx?dx??xDy??ydyDx

?d?xDy??ydyDxdx???Dx??xDx??Dy??ydy?Dxx?(Dx)2

???Dxlnv?lx??lxlx??Ax??x??Ax??x??Ax(lnv?)??xxDx