中考數(shù)學(xué)模擬試卷題號 4總分得分一、填空題(本大題共6小題，共30.0分).如圖，矩形ABCD中，AB=4,BC=6,E是邊BC的中點(diǎn)，點(diǎn)P在邊AD上，設(shè)DP=x,若以點(diǎn)D為圓心,DP為半徑的。D與線段AE只有一個公共點(diǎn)，則所有滿足條件的x的取值范圍是 ..如圖，在矩形ABCD中，點(diǎn)E是邊AD上一點(diǎn)，EF1AC于點(diǎn)F.若tanzBAC=2,EF=1,則AE的長為..如圖，曲線AB是拋物線y=-4x2+8x+1的一部分(其中A是拋物線與y軸的交點(diǎn)，B是頂點(diǎn))，曲線BC是雙曲線y=(k手0的一部分.曲線AB與BC組成圖形W.由點(diǎn)C開始不斷重復(fù)圖形W形成一組“波浪線”.若點(diǎn)P(2020,m),Q(x,n)在該“波浪線”上，則m的值為,n的最大值為.4.將矩形紙片ABCD按如下步驟進(jìn)行操作:(1)如圖1,先將紙片對折，使BC和AD重合，得到折痕EF；(2)如圖2,再將紙片分別沿EC,BD所在直線翻折，折痕EC和BD相交于點(diǎn)O.那么點(diǎn)O到邊AB的距離與點(diǎn)O到邊CD的距離的比值是 ..已知：如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A在拋物線尸x2-4x+6上運(yùn)動，過點(diǎn)A作AC1x軸于點(diǎn)C,以AC為對角線作正方形ABCD.則正方形的邊長AB的最小值是 .第1頁，共17頁.我們將等腰三角形腰長與底邊長的差的絕對值稱為該三角形的“邊長正度值”，若等腰三角形腰長為5，“邊長正度值”為3,那么這個等腰三角形底角的余弦值等于?二、解答題(本大題共9小題，共70.0分).下面是小東設(shè)計的“過圓外一點(diǎn)作這個圓的兩條切線”的尺規(guī)作圖過程.已知：OO及OO外一點(diǎn)p.求作：直線PA和直線PB，使PA切OO于點(diǎn)A,PB切OO于點(diǎn)B.作法：如圖，①連接OP，分別以點(diǎn)o和點(diǎn)P為圓心，大于Op的同樣長為半徑作弧，兩弧分別交于點(diǎn)M,N；②連接MN,交OP于點(diǎn)。，再以點(diǎn)Q為圓心，OQ的長為半徑作弧，交OO于點(diǎn)A和點(diǎn)B；③作直線PA和直線PB.所以直線PA和PB就是所求作的直線.根據(jù)小東設(shè)計的尺規(guī)作圖過程，(1)使用直尺和圓規(guī)，補(bǔ)全圖形；(保留作圖痕跡)(2)完成下面的證明.證明：???OP是OQ的直徑，azOAP=乙OBP=°()(填推理的依據(jù)).:.PA1OA,PB1OB.?OA,OB為OO的半徑，第2頁，共17頁.計算：|-v：+.」)二川；(注：橫，縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)稱為整點(diǎn)，圖象G包含邊界.)②當(dāng)圖象G內(nèi)只有3個整數(shù)點(diǎn)時，直接寫出。的取值范圍..如圖，AB是。O的直徑，BC交。O于點(diǎn)D,E是「二的中點(diǎn)，連接AE交BC于點(diǎn)F,aACB=2zEAB.(1)求證：AC是OO的切線；(2)若cosC=?,AC=8,求BF的長.第3頁，共17頁

.如圖，Rt△ABC中，乙C=90°.BE平分zABC交AC于點(diǎn)D，交△ABC的外接圓于點(diǎn)E，過點(diǎn)E作EF1BC交BC的延長線于點(diǎn)F.請補(bǔ)全圖形后完成下面的問題：(1)求證：EF是^ABC外接圓的切線；(2)若BC=5,sinzABC=；,求EF的長..如圖，點(diǎn)P是,，.上一動點(diǎn)，連接AP，作ZAPC=45°,交弦AB于點(diǎn)C.AB=6cm.小元根據(jù)學(xué)習(xí)函數(shù)的經(jīng)驗(yàn)，分別對線段AP,PC,AC的長度進(jìn)行了測量.下面是小元的探究過程，請補(bǔ)充完整：(1)下表是點(diǎn)P是；上的不同位置，畫圖、測量，得到線段AP,PC,AC長度的幾組值，如表:AP/cm01.002.003.004.005.006.00PC/cm01.212.092.69m2.820AC/cm00.871.572.202.833.616.00①經(jīng)測量m的值是(保留一位小數(shù)).②在AP,PC,AC的長度這三個量中，確定 的長度是自變量，的長度和的長度都是這個自變量的函數(shù)；(2)在同一平面直角坐標(biāo)系xQy中，畫出(1)中所確定的函數(shù)圖象；第4頁，共17頁

(3)結(jié)合函數(shù)圖象，解決問題：/AC?為等腰三角形時，AP的長度約為cm(保留一位小數(shù))..函數(shù)產(chǎn)%2-(m-1)X+1的圖象的對稱軸為直線％=1.(1)求m的值；(2)將函數(shù)尸%2-(m-1)%+1的圖象向右平移2個單位，得到新的函數(shù)圖象G.①直接寫出函數(shù)圖象G的表達(dá)式；②設(shè)直線尸-2%+21(t>m)與%軸交于點(diǎn)A,與y軸交于點(diǎn)B，當(dāng)線段AB與圖象G只有一個公共點(diǎn)時，直接寫出t的取值范圍..已知等邊△ABC,點(diǎn)D為BC上一點(diǎn)，連接AD.(1)若點(diǎn)E是AC上一點(diǎn)，且CE=BD,連接BE,BE與AD的交點(diǎn)為點(diǎn)P，在圖(1)中根據(jù)題意補(bǔ)全圖形，直接寫出ZAPE的大小；(2)將AD繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)120°,得到AE連接BF交AC于點(diǎn)。，在圖(2)中根據(jù)題意補(bǔ)全圖形，用等式表示線段AQ和CD的數(shù)量關(guān)系，并證明.第5頁，共17頁.對于平面直角坐標(biāo)系xQy中的圖形M,N,給出如下定義：如果點(diǎn)P為圖形M上任意一點(diǎn)，點(diǎn)Q為圖形N上任意一點(diǎn)，那么稱線段PQ長度的最小值為圖形MnN的“近距離”，記作d(M,N).若圖形M,N的“近距離”小于或等于1,則稱圖形M,N互為“可及圖形”.(1)當(dāng)OO的半徑為2時，①如果點(diǎn)A(0,1),B(3,4),那么d(A,OO)=,d(B,OO)=；②如果直線尸x+b與OO互為“可及圖形”，求b的取值范圍；OG的圓心6在x軸上，半徑為1,直線尸x+5與x軸交于點(diǎn)。，與y軸交于點(diǎn)D，如果OG和NCDO互為“可及圖形”，直接寫出圓心G的橫坐標(biāo)m的取值范圍.第6頁，共17頁

答案和解析.【答案】％=.-或答案和解析.【答案】％=.-或5<x<6【解析】解：如圖，當(dāng)OD與AE相切時，設(shè)切點(diǎn)為G,連接DG,?:PD=DG=x,AP=6-x,?:乙DAG=aAEB,aAGD=ZB=90°,.?.△AGDfeBA,.7^=而，6x24 B ex=.-，當(dāng)OD過點(diǎn)E時，如圖4,OD與線段有兩個公共點(diǎn)，連接DE,此時PD=DE=5,???當(dāng)以D為圓心，DP為半徑的OD與線段AE只有一個公共點(diǎn)時，x滿足的條件：x=】或5<x<6；故答案為：x=：/5<x<6.首先計算圓D與線段相切時，x的值，在畫出圓D過E時，半徑r的值，確定x的值，半徑比這時大時符合題意，根據(jù)圖形確定x的取值范圍.本題考查了矩形的性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì).特別注意和線段有一個公共點(diǎn)，不一定必須相切，也可以相交，但其中一個交點(diǎn)在線段外.2.【答案】）【解析】解：???在矩形ABCD中，乙B=90°,tanzBAC=2???AD=BC,CD=AB,CD_i.二,???tanzEAF=],:EF=1,AAF=2,.AE=..!：-+=<-=.jJ—1-=,S,故答案為：“i，.根據(jù)矩形的性質(zhì)和解直角三角形即可得到結(jié)論.本題考查了矩形的性質(zhì)，解直角三角形，正確的識別圖形是解題的關(guān)鍵..【答案】15第7頁，共17頁【解析】解：；y=-4x2+8%+1=-4(%-1)2+5,.??當(dāng)％=0時，y=1,.??點(diǎn)A的坐標(biāo)為(0,1),點(diǎn)B的坐標(biāo)為(1,5)???點(diǎn)B(1,5)在y= (k手0的圖象上k=5點(diǎn)C在y=的圖象上，點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為5,.??點(diǎn)C的縱坐標(biāo)是1,.??點(diǎn)C的坐標(biāo)為(5,1),??2020+5=404,P(2020,m)在拋物線y=-4x2+8%+1的圖象上，m=-4x0+8x0+1=1,?點(diǎn)Q(x,n)在該“波浪線”上，?.n的最大值是5,故答案為：1,5.根據(jù)題意可以求得點(diǎn)4、點(diǎn)B、點(diǎn)C的坐標(biāo)和k的值，然后根據(jù)圖象可知每5個單位長度為一個循環(huán)，從而可以求得m的值和n的最大值.本題考查反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、二次函數(shù)的性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答..【答案】.【解析】解：由折疊的性質(zhì)得到BE='AB,??四邊形ABCD是矩形，^?^AB=CD,△BOEfDOC,.?.△BOE與^DOC的相似比是:，???點(diǎn)O到邊AB的距離與點(diǎn)O到邊CD的距離的比值是:故答案為：：.根據(jù)折疊的性質(zhì)得到BE='AB，根據(jù)矩形的性質(zhì)得到AB=CD,△BOE八DOC,再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可求解.本題考查了翻折變換(折疊問題)、矩形的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)等知識，綜合性強(qiáng)，還考查了操作、推理、探究等能力，是一道好題.5?【答案】＜2【解析】解：:?四邊形ABCD是正方形，^■^AB=ACC,;y=%2-4X+6=(x-2)2+2,.?.當(dāng)X=2時，AC有最小值2,即正方形的邊長AB的最小值是「.故答案為：?「.第8頁，共17頁根據(jù)正方形的性質(zhì)得到AB=AiC,再將拋物線解析式整理成頂點(diǎn)式形式，當(dāng)正方形的邊長AB的最小時，即AC的值最小.本題考查了二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，正方形的性質(zhì)，將拋物線解析式整理成頂點(diǎn)式形式求解更簡便.6.【答案】?或「【解析】【分析】本題考查等腰三角形的性質(zhì)、銳角三角函數(shù)，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，求出相應(yīng)的角的三角函數(shù)值.根據(jù)題意，可以求得底邊的長，然后利用分類討論的方法和銳角三角函數(shù)可以求得相應(yīng)的角的三角函數(shù)值.【解答】解：設(shè)等腰三角形的底邊長為。，15-a1=3,解得，a=2或a=8,當(dāng)a=2時，這個等腰三角形底角的余弦值是：:當(dāng)a=8時，這個等腰三角形底角的余弦值是：二故答案為-或-..【答案】90直徑所對的圓周角是直角【解析】解：(1)補(bǔ)全圖形如圖.(2)完成下面的證明.證明：???OP是。Q的直徑，azOAP=zOBP=90°(直徑所對的圓周角是直角)，:.PA1OA,PB1OB.?OA,OB為OO的半徑，??.PA,PB是OO的切線.故答案為90,直徑所對的圓周角是直角.(1)根據(jù)要求畫出圖形即可.(2)利用圓周角定理證明zOAP=zOBP=90°即可.本題考查作圖-復(fù)雜作圖，線段的垂直平分線，圓周角定理，切線的判定等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識，屬于中考常考題型.第9頁，共17頁

.【答案】解：|?'；I/I上工”=■■=-\.+'+1+1二二一,：【解析】首先計算乘方、開方，然后計算乘法，最后從左向右依次計算，求出算式的值是多少即可.此題主要考查了實(shí)數(shù)的運(yùn)算，要熟練掌握，解答此題的關(guān)鍵是要明確：在進(jìn)行實(shí)數(shù)運(yùn)算時，和有理數(shù)運(yùn)算一樣，要從高級到低級，即先算乘方、開方，再算乘除，最后算加減，有括號的要先算括號里面的，同級運(yùn)算要按照從左到右的順序進(jìn)行.另外，有理數(shù)的運(yùn)算律在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)仍然適用.正確化簡各數(shù)是解題關(guān)鍵..【答案】3【解析】解：(1)；A(1,1),:.k=1.1?/=；'：I'..2(2)①當(dāng)e-1時，直線解析式為y=-%+3,如圖所示，圖象G上的整點(diǎn)有(1,1),(2,1),(1,2)有3個；故答案為3；②當(dāng)直線經(jīng)過(3,1)時，則-3。+3=1,解得許-.’,觀察圖象可知：當(dāng)圖象G內(nèi)只有3個整數(shù)點(diǎn)時，。的取值范圍是-1一］-.(1)根據(jù)待定系數(shù)法求得即可；(2)①畫出直線j=-%+3,根據(jù)圖象可得整點(diǎn)的個數(shù)；②畫圖計算邊界時點(diǎn)。的值，可得。的取值.本題考查了待定系數(shù)法求反比例函數(shù)的解析式，反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，本題理解整點(diǎn)的定義是關(guān)鍵，并利用數(shù)形結(jié)合的思想..【答案】(1)證明：如圖①，連接AD.A-Wo1第10頁，共17頁

圖①VE是E是「二的中點(diǎn)，c_??????..」?.；:.乙DAE=乙EAB.,:乙C=2/EAB,:.乙C=/BAD.vAB是。O的直徑，??/ADB=/ADC=90°:./C+/CAD=90°,/BAD+/CAD=90°即BALAC.AC是OO的切線.(2)解：如圖②，過點(diǎn)F做FHLAB于點(diǎn)H.I3圖②ADLBD,/DAE=/EAB,:.FH=FD,且FH||AC.在Rt△ADC中，vcosC=i，AC=8,CD=6.同理，在Rt△BAC中，可求得BC=；設(shè)DF=北貝UFH=羽B(yǎng)F=..-%?JFHIIAC,/BFH=/C.FH3cos/BFH=.=?、3即=1解得％=2.BF=：.【解析】(1)如圖①，連接AD.根據(jù)直徑所對的圓周角為直角及同圓中等弧所對的圓周角相等，及/ACB=2/EAB.求得/BAD+/CAD=90°,則BALAC,根據(jù)切線的判定定理可得證；(2)如圖②，過點(diǎn)F做FHLAB于點(diǎn)H，先在Rt△ADC和Rt△BAC中，分別求得CD、第11頁，共17頁

BC、B。.再在Rt△BFH中，由三角函數(shù)可求得FH及OF,則可用BD的值減去DF的值，求得BF.本題考查了圓的切線的判定定理及三角函數(shù)在線段求值中的應(yīng)用，熟練掌握相關(guān)定理及相似或三角函數(shù)的計算技巧，是解題的關(guān)鍵..【答案】（1）證明：補(bǔ)全圖形如圖所示，,:△ABC是直角三角形，?.△ABC的外接圓圓心O是斜邊AB的中點(diǎn).連接OE,：.OE=OB.az2=z3,:BE平分ZABC,az1=z2,az1=z3.：.OE||BF.,:EF1BF,:.EF1OE,:EF是"BC外接圓的切線；（2）解：在Rt△ABC中，BC=5,sinzABC=；,二~=」,:AC2+BC2=AB2,:.AC=12.LACF=zCFE=zFEH=90°,??四邊形CFEH是矩形.:.EF=HC,乙EHC=90°....EF=HC='AC=6.【解析】（1）根據(jù)已知條件得到△ABC的外接圓圓4O是斜邊AB的中點(diǎn).連接OE,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和角平分線的定義得到N1=/3.求得OE|BF.于是得到結(jié)論；（2）根據(jù)三角函數(shù)的定義得到?；=:.根據(jù)勾股定理得到AC=12.根據(jù)矩形的性質(zhì)即可no1.4得到結(jié)論.本題考查了三角形的外接圓與外心，圓周角定理，勾股定理，矩形的判定和性質(zhì)，切線的判定，正確的畫出圖形是解題的關(guān)鍵..【答案】APPCAC【解析】解：（1）①經(jīng)測量：m=3.0；②在AP,PC,AC的長度這三個量中，可以確定AP的長度是自變量，PC的長度和的AC長度都是這個自變量的函數(shù)；故答案為：AP,PC,AC；（答案不唯一）（2）設(shè)AP為％,AC為y],PC為y2,通過描點(diǎn)，畫出圖象如圖1所示：（答案不唯一，和（1）問相對應(yīng)）；第12頁，共17頁

(3)①當(dāng)AC=PC時，即：y尸y2,從圖象可以看出：X=4.2cm；②當(dāng)AP=PC時，畫出函數(shù)：y=x的圖象，如圖2所示:第13頁第13頁共17頁y=x的圖象與y1的交點(diǎn)處x的為2.3cm；.?.當(dāng)^ACP為等腰三角形時，AP的長度約為4.2cm或2.3cm.(1)測量即可；(2)通過描點(diǎn)，畫出如下圖象；(3)分AC=PC、AP=PC兩種情況，分別求解即可.本題為圓的綜合題，主要是研究函數(shù)y隨自變量x的變化而變化的規(guī)律，此類題目，主要通過畫出函數(shù)圖象，根據(jù)題設(shè)條件，找出圖象對應(yīng)的點(diǎn)的值即可..【答案】解：(1)?.?函數(shù)y=x2-(m-1)x+1的圖象的對稱軸為直線X=1...=1,m=3.??函數(shù)的表達(dá)式為y=x2-2x+1；(2)①將函數(shù)y=X2-(m-1)x+1的圖象向右平移2個單位，得到新的函數(shù)圖象G為y=(X-3)2；②???直線y=-2x+21(t>m)與x軸交于點(diǎn)A,

與y軸交于點(diǎn)B,A（t,0）,B（0,21）,???新的函數(shù)圖象G的頂點(diǎn)為（3,0）,與y的交點(diǎn)為（0,9）,.??當(dāng)線段AB與圖象G只有一個公共點(diǎn)時，21>9,解得t>',由（％-3）2=-2%+21整理得％2-4x+9-21=0,則△TGd（9-21）=0,解得t三故t的取值范圍是t>；或t=:【解析】（1）根據(jù)對稱軸方程即可求得;（2）①根據(jù)平移的規(guī)律即可求得；②根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)以及一次函數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合圖象即可求得.本題考查二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)；熟練掌握二次函數(shù)的圖象性質(zhì)，數(shù)形結(jié)合求拋物線與線段的交點(diǎn)問題是解題關(guān)鍵.Si14.【答案】（1）補(bǔ)全圖形圖1,Si證明：在^ABD和^證明：在^ABD和^BEC中，￡用舊口=乙匚=60°

BD-CE.?.△ABD=△BEC(SAS).??/BAD=ZCBE.LAPE是^ABP的一個外角，；."PE=ZBAD+ZABP=ZCBE+LABP=lABC=60°；(2)補(bǔ)全圖形圖2,?%='：.:..1,證明：在^ABD和^BEC中，:.△ABD以BEC(SAS).??/BAD=ZCBE,LAPE是^ABP的一個外角，：.LAPE=LBAD+LABP=LCBE+LABP=lABC=60°.AF是由AD繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)120°得到，,:LAPE=60°,：.3E+ZDAP=180°.AF||BE,.?Z1=z2,:LAPE=60°,：.3E+ZDAP=180°.AF||BE,.?Z1=z2,...AD=BE....AF=BE.第14頁，共17頁

j=Z.2在^AQF和^EQB中，:乙工;二胃；*△AQF必EQB(AAS),???AQ=QE,，,:AE=AC-CE,CD=BC-BD,且AE=BC,CD=BD.:.AE=CD,：：.:「.【解析】(1)根據(jù)全等三角形性質(zhì)和三角形外角的性質(zhì)即可得到結(jié)論；(2)根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到上BAD=乙CBE，根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)得到AAPE=乙BAD+AABP=乙CBE+AABP=^ABC=60°.根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得至UAF=AD,乙DAF=1