平差模型與最小二乘準則第1頁，共19頁，2023年，2月20日，星期四4-1、測量平差的數學模型模型：對客觀事物的高度概括。分類：1)形象模型：航模、建筑模型等；2)抽象模型：地圖、等式、不等式、數學模型等。平差中的數學模型：函數模型：觀測值與觀測值之間，或者觀測值與未知參數之間的一種數學表達式；隨機模型：觀測值之間可能有的隨機相關性。是隨機性的，即經驗上的一種近似關系。第2頁，共19頁，2023年，2月20日，星期四一、函數模型同一個平差問題，建立不同的函數模型，就有不同的平差方式。經典平差中的四種函數模型：二、隨機模型：第3頁，共19頁，2023年，2月20日，星期四三、高斯－馬爾柯夫（G-M）平差模型

Gauss用上述模型證明了最小二乘法將得到參數的最佳估值；Markov用上述模型證明了最小二乘估值的方差最小性。第4頁，共19頁，2023年，2月20日，星期四4-2參數估計與測量平差一、數理統計問題總體（母體〕X：所研究的隨機變量可能取值的全體。個體：組成總體的每一個基本單位。樣本x：從母體中隨機取出的n個個體構成一個樣本。子樣容量（大小）：構成子樣的個體數目n。抽樣：獲得子樣的過程。統計量：由子樣構成的函數，不含未知數。第5頁，共19頁，2023年，2月20日，星期四1、常用統計量：2、常用數理統計方法（1）參數估計（2）統計假設檢驗（3）回歸分析（4）方差分析第6頁，共19頁，2023年，2月20日，星期四3、對抽樣的要求a、代表性：要求子樣的各個分量與母體同分布。即b、獨立性：要求互獨立。二、參數估計問題參數估計包括：a、點估計（定值估計）－－按某種準則，求出參數的一個具體估值。b、區間估計－－以一定的概率，求出參數的某一取值范圍。第7頁，共19頁，2023年，2月20日，星期四三、測量平差的實質是參數估計（1）求最或是值－－即是求E(X)的估值。（2）精度評定－－即是求D(X)的估值。

第8頁，共19頁，2023年，2月20日，星期四4-3估計值的最優性質點估計的幾種方法：矩法、最大似然法、最小二乘法、中位數法、截尾法用不同的點估計方法對同樣的母體進行參數估計，會產生不同的估值。最優估值標準：（1）無偏性（2）一致性（3）有效性第9頁，共19頁，2023年，2月20日，星期四最優估計應具有性質：估計量能在參數真值附近擺動，隨著子樣容量的增大，擺幅越來越小，n為時，依概率收斂于。一、無偏性第10頁，共19頁，2023年，2月20日，星期四結論數理統計中平差中性質第11頁，共19頁，2023年，2月20日，星期四二、一致性n無限增大時估計量依概率收斂于。第12頁，共19頁，2023年，2月20日，星期四補充：嚴格一致性滿足嚴格一致性的估值一定滿足一致性。例：證明子樣均值是母體期望的一致性估值。第13頁，共19頁，2023年，2月20日，星期四三、有效性第14頁，共19頁，2023年，2月20日，星期四最小方差性：第15頁，共19頁，2023年，2月20日，星期四4-４最小二乘準則一、最小二乘法設有誤差方程：在滿足約束：下，對參數進行估計。二、最大似然法第16頁，共19頁，2023年，2月20日，星期四有似然函數：設為子樣聯合分布的密度函數第17頁，共19頁，2023年，2月20日，星期四最大似然法基本思想：最大似然法：必須知道母體的