基于思維認(rèn)知談小學(xué)幾何教學(xué)

方法的優(yōu)化摘要：小學(xué)生在幾何學(xué)習(xí)中存在對幾何圖形特征的理解停留在表象、容易混淆立體圖形表面積與空間體積的計算、難以發(fā)現(xiàn)兩種不同圖形之間的相似點等問題。造成這些問題的主要原因是學(xué)生沒有準(zhǔn)確掌握平面幾何概念間的關(guān)系、依靠抽象思維判斷立體圖形特征的能力較弱、對不同幾何圖形的類比推理能力薄弱。基于思維認(rèn)知的理念提出小學(xué)幾何教學(xué)方法的優(yōu)化策略，即通過"做中學(xué)”的方式使學(xué)生理解不同幾何圖形概念間的關(guān)系，重視概念的前提條件以此提高學(xué)生對立體幾何圖形的判斷能力，采取整合知識的教學(xué)方法強化學(xué)生的類比推理能力。關(guān)鍵詞：思維認(rèn)知；小學(xué)幾何；教學(xué)方法；優(yōu)化一、引言小學(xué)數(shù)學(xué)中的幾何內(nèi)容一直是教學(xué)中的難點與重點，一方面它需要讓學(xué)生對幾何圖形形成直觀的印象感知，另一方面需要培養(yǎng)學(xué)生理性思考的能力#大部分小學(xué)數(shù)學(xué)老師在幾何教學(xué)中傾注了大量時間與精力，但教學(xué)效果并不理想。行為主義的學(xué)習(xí)理論認(rèn)為學(xué)習(xí)是一個不斷“刺激-強化”的過程，教師通過給學(xué)生提供反復(fù)的練習(xí)，并伴隨精神及物質(zhì)獎勵，能夠提高學(xué)生學(xué)習(xí)的效果由；認(rèn)知主義的學(xué)習(xí)理論認(rèn)為學(xué)生通過對信息的加工會導(dǎo)致認(rèn)知結(jié)構(gòu)的改變,個體非智力因素的影響對學(xué)習(xí)效果的影響較大。認(rèn)知主義的學(xué)習(xí)理論指出“學(xué)習(xí)需要學(xué)生主動參與，而非教師的被動施壓;學(xué)習(xí)也是一種體驗性的活動而非純理性的活動，它既需要想象和經(jīng)驗的輔助，也需要理性與邏輯的參與”回。思維認(rèn)知是人類特有的高階認(rèn)知能力，包含概念、判斷、推理等方面內(nèi)容，其中“概念是思維的起點，其基本形式是語詞;判斷是利用概念對事物或?qū)ο蟮膶傩赃M行斷定的思維形式;推理是理性認(rèn)識的最高形式，是由一些判斷得出另一些判斷”回。既有的研究從理論層面探討了思維認(rèn)知的過程，認(rèn)為學(xué)習(xí)包含了語言理解與加工（自上而下圖圖3長方體 圖4圓柱體圖圖1各類四邊形的關(guān)系與自下而上）、邏輯推理（演繹、歸納和類比）、分析與綜合、問題解決與決策等一系列過程回，并且從宏觀的視角提出了數(shù)學(xué)認(rèn)知思維的6種模式（抽象、具體、求逆、組合、分解以及類比的方法），強調(diào)利用轉(zhuǎn)化與發(fā)展的方式將舊的知識生成新的知識回#此類研究所提出的策略為數(shù)學(xué)思維認(rèn)知理論的深化打下了堅實基礎(chǔ)。也有研究從實踐方面重視應(yīng)用具體的認(rèn)知策略引導(dǎo)數(shù)學(xué)思維，以高中數(shù)學(xué)中的三角函數(shù)為例，建議學(xué)生專注于數(shù)學(xué)問題的主要結(jié)構(gòu)，分階段確定子目標(biāo)，減少思維的盲目性國。針對不同學(xué)習(xí)者對導(dǎo)數(shù)概念理解存在差異的現(xiàn)狀，認(rèn)為要充分挖掘概念學(xué)習(xí)的廣度以及揭示不同概念之間的深層關(guān)聯(lián)回。但是此類研究的視角相對單一,僅僅是關(guān)注學(xué)生的推理分析能力或者是對概念的理解程度，而且研究內(nèi)容大多是高中及以上學(xué)段的數(shù)學(xué)思維，少有研究從實踐層面系統(tǒng)探討小學(xué)生的數(shù)學(xué)思維認(rèn)知能力#小學(xué)生的思維比較獨特，小學(xué)幾何是數(shù)學(xué)教學(xué)中的難點，因而有必要從思維認(rèn)知的角度探討小學(xué)幾何教學(xué)的方法優(yōu)化。二、小學(xué)生在幾何學(xué)習(xí)過程中存在問題的原因分析根據(jù)筆者在小學(xué)從教3年的經(jīng)歷，結(jié)合對小學(xué)一線數(shù)學(xué)教師的訪談記錄以及隨堂聽課的筆記,發(fā)現(xiàn)小學(xué)生在幾何學(xué)習(xí)的過程中主要存在這些問題:一是對幾何圖形特征的理解停留在表象，沒有準(zhǔn)確理解各種平面圖形的本質(zhì)屬性，在面積計算中容易出現(xiàn)錯誤;二是對立體圖形的空間想象能力較弱，容易混淆立體圖形表面積與空間體積的計算；三是思維轉(zhuǎn)化能力薄弱，很難在兩種不同的圖形之間發(fā)現(xiàn)相似點，缺乏舉一反三的能力。筆者通過對教學(xué)案例進行深入分析，發(fā)現(xiàn)存在上述問題的主要原因有如下幾個方面。（一）學(xué)生沒有準(zhǔn)確掌握平面幾何圖形概念間的關(guān)系數(shù)學(xué)概念有其內(nèi)涵與外延，概念的內(nèi)涵是指概念的全部特征或?qū)傩裕拍畹耐庋邮侵妇哂猩鲜鎏卣骰驅(qū)傩缘乃袑ο蟆Ｔ跀?shù)學(xué)思維中，我們既可以找出一類研究對象的共有屬性，也可以根據(jù)現(xiàn)有的屬性找出具有相似特征的新對象回#除此之外，概念之間的邏輯關(guān)系也大致可以分為全同、全異、交叉以及真包含4種關(guān)系。在學(xué)習(xí)四邊形與三角形的概念中，學(xué)生對長方形、正方形、平行四邊形、梯形、等邊三角形、等腰三角形、直角三角形這幾個概念之間的關(guān)系把握不清，例如長方形、正方形是一種特殊的平行四邊形66，正方形是一種特殊的長方形，梯形與平行四邊形是一種全異的關(guān)系（如圖1）；等邊三角形是一種特殊的等腰三角形，等腰三角形與直角三角形存在交叉關(guān)系等回（如圖2）%學(xué)生沒有準(zhǔn)確地把握這些幾何圖形概念間的關(guān)系，因而在解題中容易出錯。圖2各類三角形的關(guān)系究其原因是學(xué)生在學(xué)習(xí)幾何圖形的概念時沒有分析其個性與共性。比如平行四邊形的定義是“兩組對邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形”，梯形的定義是“僅有一組對邊平行的四邊形叫做梯形”回，因此區(qū)別平行四邊形與梯形的標(biāo)準(zhǔn)是“僅有一組對邊還是兩組對邊分別平行”；長方形的定義是“四個角都是直角的四邊形叫做長方形”，隱含條件是“長方形也是兩組對邊分別平行的四邊形”，因此區(qū)別平行四邊形與長方形的標(biāo)準(zhǔn)是“有沒有直角”；正方形的概念是“鄰邊相等的長方形叫做正方形”.，因此區(qū)別正方形與長方形的標(biāo)準(zhǔn)是“鄰邊是否相等,。部分學(xué)生只是機械地記憶公式，沒有準(zhǔn)確理解長方形與平行四邊形這兩類幾何圖形的概念。例如，在計算平行四邊形的面積時容易把平行四邊形與底邊相鄰的側(cè)邊當(dāng)成是“高,原因是長方形的面積公式“s=$X%”導(dǎo)致了負(fù)遷移。學(xué)生無法對四邊形及三角形的概念進行對比思考，部分學(xué)生不理解“四邊形的內(nèi)角和是360。’“三角形的內(nèi)角和是180°”這兩個命題之間的關(guān)系。而實際上,任何一個四邊形都可以拆分為兩個三角形，三角形的內(nèi)角和是180°，四邊形的內(nèi)角和自然是360°-#學(xué)生對幾何圖形概念的掌握僅僅停留在表層的思考,沒有深入剖析其內(nèi)涵，也沒有通過與其他圖形對比來擴大其外延。（二）學(xué)生依靠抽象思維判斷立體圖形特征的能力較弱按照皮亞杰（JeanPiaget）的認(rèn)知發(fā)展階段論，小學(xué)生的思維處于具體運算階段，其思維具有可逆性，并且獲得了客體的守恒,#然而，此階段學(xué)生的抽象思維能力有限，大多依靠形象思維能力學(xué)習(xí)幾何知識。當(dāng)碰到一些需要空間想象能力的幾何題目時,學(xué)生出錯的概率會較大。例如:計算長方體的表面積（如圖3），很多同學(xué)習(xí)慣性地套用公式S長方體=2x（$X%+$X&+%X&），當(dāng)題目需要計算一種無蓋長方體的表面積時，部分學(xué)生就會出現(xiàn)錯誤。部分學(xué)生在理解圓柱體（圖4）的表面積公式時也存在思維偏差，他們不明白為什么“圓柱體的側(cè)面展開是一個長方形，而且其長與圓柱底面周長剛好相等”10，他們的直覺思維認(rèn)為圓柱體的側(cè)面是一個曲線圖形。另外有一部分學(xué)生經(jīng)常把計算立體圖形的“體積”與計算“表面積”混淆，除了審題不嚴(yán)謹(jǐn)?shù)脑蛑猓€與學(xué)生沒有意識到三維空間圖形與二維空間圖形的區(qū)別，僅僅依賴于感性認(rèn)識去思考問題，理性認(rèn)識能力比較有限。（三）學(xué)生對不同幾何圖形的類比推理能力薄弱類比推理是“根據(jù)兩個相似對象的共同屬性,推測其中一個對象具有另一個對象的其他屬性”目，是一種“由已知推導(dǎo)未知、由特殊到特殊的橫向推理方法”回。由于類比對象與原對象存在不同，因而在推測的過程中可能會發(fā)現(xiàn)新的問題,通過類比推理所得出的結(jié)論也需要結(jié)合實例進行證實或者否定回#小學(xué)數(shù)學(xué)的教材中，由長方形的面積公式推導(dǎo)出平行四邊形的面積公式，采用了“割補"的方法；由長方形的面積公式推導(dǎo)出圓的面積公式（如圖5）,采用了“化整為零”，再重新拼湊的辦法；由圓柱的體積公式推導(dǎo)出圓錐的體積公式，采用了“求同存異”的辦法，即圓錐與圓柱存在一個“等底同高”的前提條件，二者之間體積的比值才會得到體現(xiàn)。學(xué)生在習(xí)題練習(xí)中，并沒有發(fā)揮這些類比推理的能力，例如:在計算扇形的面積時，并不理解為什么要用扇形圓心角的度數(shù)除以360°,再乘以一個完整圓的面積，他們沒有意識到扇形只是圓形的一部分，扇形面積的大小與圓心角的度數(shù)的大小成正比。分的份數(shù)越多，每一份就會越小。拼成的圖形就會越接近于下一個長方形圖5圓的面積推導(dǎo)過程分的份數(shù)越多，每一份就會越小。拼成的圖形就會越接近于下一個長方形圖5圓的面積推導(dǎo)過程上述解題思路，均是根據(jù)兩種圖形的相似特征,將目標(biāo)圖形轉(zhuǎn)化成我們熟悉的圖形，然后根據(jù)熟悉圖形的面積或體積計算方法，再推導(dǎo)出目標(biāo)圖形的計算方法。然而，小學(xué)生的邏輯推理能力薄弱，他們甚至不相信邏輯推理的結(jié)果，他們僅僅憑借經(jīng)驗去做題。綜合上述分析，小學(xué)生沒有準(zhǔn)確把握幾何圖形概念間的關(guān)系,不能根據(jù)抽象思維判斷立體圖形特征，以及類比推理能力薄弱是他們在幾何學(xué)習(xí)過程中存在問題的原因。因此，教師需要在實際的教學(xué)過程中多下功夫，幫助學(xué)生克服這些困難。三、小學(xué)幾何教學(xué)方法的優(yōu)化策略弗吉尼亞大學(xué)的教授DanielT.Willingham曾經(jīng)提到過，學(xué)生不熱愛學(xué)習(xí)的原因是多方面的，但從認(rèn)知科學(xué)的角度來看，人的大腦并不擅長思考，它習(xí)慣于依靠自己以往的經(jīng)驗來解決問題,因為這樣速度比較快而且不費力;人們天生具有好奇心，但是這種好奇心比較脆弱，如果沒有強大的誘惑與刺激，它很難支持我們不知疲倦地去思考訶#然而,數(shù)學(xué)是一門比較嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膶W(xué)科，需要學(xué)生養(yǎng)成良好的邏輯思維習(xí)慣。因此,我們針對小學(xué)幾何教學(xué)實踐提出了如下優(yōu)化策略。(-)通過“做中學(xué)”的方式，使學(xué)生理解不同幾何圖形概念間的關(guān)系“做中學(xué)”是杜威(JohnDewey)的實用主義教育理論的代表觀點之一，他強調(diào)經(jīng)驗的重要作用，認(rèn)為教師在教學(xué)活動中應(yīng)該以兒童的感受和需要為出發(fā)點,根據(jù)兒童的本能和興趣設(shè)計教學(xué)活動，從而促進學(xué)生思考并且獲得知識，他指出所有的學(xué)習(xí)都是行動的副產(chǎn)品國#創(chuàng)新是建立在一定的理論基礎(chǔ)上，學(xué)生若是沒有準(zhǔn)確掌握幾何概念，任何推理訓(xùn)練都是徒勞。因此，調(diào)動學(xué)生的多種感官參與學(xué)習(xí)能夠促進學(xué)生的深度理解。抽象思維是以形象思維為基礎(chǔ)，通過讓學(xué)生自己動手的方式，可以增強學(xué)生對幾何圖形概念的直觀認(rèn)知。小學(xué)教師在進行幾何教學(xué)的時候，可采用探究式的教學(xué)方法，即創(chuàng)設(shè)問題情境，然后引導(dǎo)學(xué)生主動去發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)律。例如:在整合平面幾何四邊形的知識時，先讓學(xué)生任意地畫一個由四條線段所圍成的封閉圖形，然后不斷提出限制條件,讓學(xué)生一步一步地修正圖形，從而增強對概念的認(rèn)知。具體可以采用如下步驟：建議學(xué)生任意畫一個“由四條線段所圍成的封閉圖形”。修改原圖，要求學(xué)生畫一個''只有一組對邊平行的四邊形”。再次修改，指導(dǎo)學(xué)生畫出一個"有兩組對邊分別平彳亍的四邊形”。增加對角的限制，畫一個“有一個角是直角的平亍四邊形”。增加對邊長的控制，畫一個''鄰邊相等的長方形”。以上的教學(xué)步驟中所遵循的是一般到特殊的過程，也就是由上位概念不斷延伸到下位概念,能夠讓不同的幾何圖形在學(xué)生頭腦中產(chǎn)生清晰的印象。當(dāng)然,在人教版數(shù)學(xué)課本中，長方形的概念比平行四邊形的概念先出現(xiàn)，這是因為長方形在日常生活中比較常見,符合小學(xué)生的具體形象思維特點。此處是歸納整理四邊形的知識，是為了讓學(xué)生理解不同四邊形的“共性”與，，個性”。學(xué)生在作圖的過程中會不斷產(chǎn)生新的疑問，類似于“為什么平行四邊形只要有一個角是直角，另外三個角也變成了直角’“為什么長方形的鄰邊相等，它的四條邊全相等了”。教師在此過程中首先要充分給予學(xué)生肯定及表揚，因為學(xué)生在動手操作的過程中有了新的發(fā)現(xiàn)，這比教師直接灌輸理論知識更有效;其次,教師應(yīng)及時為學(xué)生答疑解惑，通過用教具演示的方式告訴學(xué)生平行四邊形具有不穩(wěn)定性以及通過何種方式會使平行四邊形變成長方形;再次,教師還能將概念進一步延伸，讓學(xué)生動手測量一下自己所畫的平行四邊形、長方形的對邊長度有什么特征，讓學(xué)生明白平行四邊形、長方形的對邊都是相等的，而當(dāng)長方形的鄰邊也相等時,四條邊都相等了、四個角也都是直角，自然就變成了正方形，由此概念的內(nèi)涵與外延也就弄明白了。學(xué)生對概念的認(rèn)知一方面與自己的直接經(jīng)驗相關(guān)，另一方面也離不開教師的正確指導(dǎo)。“做中學(xué)”的教學(xué)方法調(diào)動了學(xué)生的多種感官參與學(xué)習(xí)，建立了概念與概念之間的聯(lián)系，形成了認(rèn)知圖式。它在培養(yǎng)學(xué)生觀察能力以及動手實踐能力的同時，也充分鍛煉了學(xué)生的想象能力以及語言表達能力。(二)重視概念的前提條件，提高學(xué)生對立體圖形的判斷能力“邏輯思維能力與心理因素在人類的推理與認(rèn)知過程中共同發(fā)揮著重要作用”回。任何概念、公式或者定理都有其適用的范圍，因此教師在教學(xué)過程中應(yīng)重視概念的前提條件。“數(shù)學(xué)判斷是對命題的判斷,對事物的空間形狀或數(shù)量關(guān)系進行肯定或者否定，同時也是邏輯思維能力的重要組成部分”回。’在進行判斷時,絕對不可忽視概念之間的聯(lián)結(jié)關(guān)系，同時也必須要注意它們成立的條件”訶#若要做出正確判斷“一方面需要正確認(rèn)識事物的質(zhì)與量之間的聯(lián)系，區(qū)分差異;另一方面需從實際出發(fā)，具體問題具體分析”冒#學(xué)生之所以出現(xiàn)機械地記憶公式的情況，是因為沒有明白該公式的具體含義。例如#長方體=2x($x%+$xc+%xc),是指該長方體6個面均存在時的表面積。學(xué)生計算一個平面面積很容易，而計算立體圖形表面積時其抽象思維可能存在一定的難度，因此可以采用讓學(xué)生自己動手拆紙盒的辦法來促進教學(xué),也就是將立體圖形轉(zhuǎn)化為平面圖形。在拆紙盒的過程中，可以讓學(xué)生完成以下任務(wù)：大家用直尺分別量一下長方體的長、寬、高，并記錄具體數(shù)字。大家觀察一下面積相等的兩個面，它們所處的位置有什么關(guān)系。用不同的數(shù)字分別標(biāo)記長方體的六個面。指出任意一個面讓學(xué)生計算它的面積。讓學(xué)生思考，如何計算相對的兩個面的面積和，如何計算相鄰的兩個面的面積和。讓學(xué)生思考，若是缺少其中某個面，該如何計算該長方體的表面積。將紙盒沿著某些棱剪開，將6個表面全部平鋪在桌面上，讓學(xué)生思考相對的兩個面在紙盒展開以后是否會相鄰。上述教學(xué)過程創(chuàng)設(shè)了不同的情境讓學(xué)生解決問題，學(xué)生可以根據(jù)情境判斷該如何進行計算。這種不同情境的假設(shè)可以培養(yǎng)學(xué)生仔細(xì)思考問題的習(xí)慣，不再盲從或者照搬公式,避免在習(xí)題中出現(xiàn)審題不清的行為，從而讓學(xué)生明白計算表面積的含義。而區(qū)別“表面積”與“體積”兩個概念，可以在教授“體積”計算公式時采用“轉(zhuǎn)化”的思想，即往長方體或者圓柱體中倒水,所倒入水的體積就是該立體圖形的容量,約等于該立體圖形的體積。教師在教學(xué)中不斷地變換前提條件，啟發(fā)學(xué)生思考不同的問題，不僅能培養(yǎng)學(xué)生的判斷能力,還能避免學(xué)生機械記憶公式。(三)及時整合知識，強化學(xué)生的類比推理能力建構(gòu)主義的學(xué)習(xí)觀認(rèn)為“學(xué)生通過對現(xiàn)階段所學(xué)的知識組建內(nèi)部聯(lián)系以及將眼前的內(nèi)容與舊有的知識經(jīng)驗進行關(guān)聯(lián)而產(chǎn)生對知識的理解，這是一個積極主動的意義建構(gòu)過程”M。知識整合教學(xué)理論認(rèn)為“尊重學(xué)生的已有想法并對比其新舊想法，將會讓學(xué)生取得更大的成功，其核心目標(biāo)是幫助學(xué)生將碎片化的知識轉(zhuǎn)化成連貫性的科學(xué)理解#。該理論包括“誘出知識(讓學(xué)生充分呈現(xiàn)已有知識)、添加知識(增加規(guī)范的科學(xué)概念，使知識前后關(guān)聯(lián))、辨分知識(辨別并區(qū)分不同觀點或想法)、反思與整理知識(鼓勵學(xué)生通過反思對知識進行整理)4個環(huán)節(jié)”回。小學(xué)幾何的知識點，前后都有關(guān)聯(lián)，因此及時整合知識顯得尤為必要。教師及時整合幾何概念與公式，可以避免產(chǎn)生混淆，同時也將知識點串聯(lián)起來，從而讓學(xué)生學(xué)會舉一反三,構(gòu)建相對完善的知識體系。類比推理是歸納兩種幾何圖形的相似特征，從甲圖形的某些特點，推斷乙圖形可能會具備的特征，即從不同事物中提取相似的成分，并進一步分析得出相關(guān)結(jié)論面。例如:在人教版四年級下冊數(shù)學(xué)中有推斷多邊形的內(nèi)角和的習(xí)題，我們可以通過圖6~圖11的推導(dǎo)方式來進行教學(xué)03。四邊形五邊形圖6三角形圖四邊形五邊形圖6三角形圖10七邊形圖9六邊形圖11八邊形準(zhǔn)備三角形、四邊形、五邊形、六邊形、七邊形、八邊形等多個圖形。讓學(xué)生用自己的辦法驗證一下三角形的內(nèi)角和是180。。鼓勵學(xué)生動手操作(畫虛線或者折疊)，探索不同類型的多邊形各自可以變成幾個三角形(例如四邊形可以拆分為2個三角形，五邊形可以拆分為3個三角形，以此類推)回#鼓勵學(xué)生大膽猜測，分成的三角形數(shù)量與組成多邊形的線段數(shù)量之間有什么關(guān)系。若是學(xué)生沒有發(fā)現(xiàn)二者之間的數(shù)量關(guān)系，教師可以給予適當(dāng)?shù)奶崾尽Ｒ龑?dǎo)學(xué)生思考：一個三角形的內(nèi)角和是180。，那么2個、3個、4個、5個、6個三角形的內(nèi)角和分別是多少呢？他們分別對應(yīng)的是哪種多邊形？建議學(xué)生將計算出來的多邊形的內(nèi)角和結(jié)果寫在對應(yīng)圖形