本文格式為Word版，下載可任意編輯——2023高考數學大一輪復習94圓與圓的位置關系試題理蘇教版第5講圓與圓的位置關系

一、填空題

1．圓C1：x＋y＋2x＝0，圓C2：x＋y＋4y＝0，則兩圓的位置關系是________．解析圓C1：(x＋1)＋y＝1，圓C2：x＋(y＋2)＝2，所以C1C2＝5，且2－1＜5＜2＋1，所以兩圓相交．答案相交

2．已知以C(4，－3)為圓心的圓與圓O：x＋y＝1相切，則圓C的方程是________．解析若圓C與圓O外切，則rC＋1＝5，所以rC＝4.若圓C與圓O內切，由于點C在圓

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2

O外，所以rC－1＝5，所以rC＝6.

答案(x－4)＋(y＋3)＝16或(x－4)＋(y＋3)＝36

3．與圓x＋y＝25外切于點P(4,3)，且半徑為1的圓的方程是________．

424

解析設所求圓的圓心為C(m，n)，則O，P，C三點共線，且OC＝6，所以m＝×6＝，

55

2

2

2

2

2

2

n＝×6＝，所以圓的方程是?x－?2＋?y－?2＝1.

55

3

5185

??

24??

??

18??

?24?2?18?2

答案?x－?＋?y－?＝1

5??5??

4．兩圓x＋y＋2ax＋2ay＋2a－1＝0與x＋y＋2bx＋2by＋2b－1＝0的公共弦長的最大值為________．

解析兩圓方程相減得，相交弦所在直線為x＋y＋a＋b＝0，∴弦長＝2∴當a＝b時，弦長最大為2.答案2

5．半徑為6的圓與x軸相切，且與圓x＋(y－3)＝1內切，則此圓的方程為________．解析由題設知，圓心為(a,6)，R＝6，

∴?a－0?＋?6－3?＝6－1，∴a＝16.∴a＝±4，∴所求圓的方程為(x±4)＋(y－6)＝36.答案(x±4)＋(y－6)＝36

6．若圓x＋y＝4與圓x＋y＋2ay－6＝0(a＞0)的公共弦的長為23，則a＝________.解析兩圓的方程相減，得公共弦所在的直線方程為(x＋y＋2ay－6)－(x＋y)＝0－41

?y＝，又a＞0，結合圖象，再利用半徑、弦長的一半及弦心距所構成的直角三角形，

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22

2

2222

2

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2

2

1－?

?a－b?2

?，?2?

a122

可知＝2－?3?＝1?a＝1.

a答案1

1

7．圓x＋y－6x＋16y－48＝0與圓x＋y＋4x－8y－44＝0的公切線條數為________．解析將兩圓x＋y－6x＋16y－48＝0與x＋y＋4x－8y－44＝0化為標準形式分別為(x－3)＋(y＋8)＝11，(x＋2)＋(y－4)＝8.因此兩圓的圓心和半徑分別為O1(3，－8)，

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2

2

2222

r1＝11；O2(－2,4)，r2＝8.故圓心距|O1O2|＝?3＋2?2＋?－8－4?2＝13，又|r1＋r2|>|O1O2|>|r1－r2|，因此兩圓相交，公切線只有2條．

答案2

8．已知圓x＋y＝m與圓x＋y＋6x－8y－11＝0相交，則實數m的取值范圍為________．解析(x＋3)＋(y－4)＝36，由題意，得|6－m|＜5＜6＋m，解得1＜m＜11，所以1＜m＜121.答案1＜m＜121

9．集合A＝{(x，y)|x＋y＝4}，B＝{(x，y)|(x－3)＋(y－4)＝r}，其中r＞0.若A∩B中有且僅有一個元素，則r的值是________．解析外切時，r＝3；內切時，r＝7.答案3或7

10．圓C1：x＋y＋4ax＋4a－4＝0和圓C2：x＋y－2by＋b－1＝0恰有三條公切線，若a，

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2

b∈R且ab≠0，則2＋2的最小值為________．

ab解析由題意，兩圓外切，所以|C1C2|＝r1＋r2，即?－2a?＋b＝3，也即4a＋b＝9，1?1?b4a?11b24a222?1

所以2＋2＝(4a＋b)?2＋2?＝?5＋2＋2?≥×(5＋4)＝1，當且僅當2＝2，即

ab9ab?ab?9?ab?9

1

1

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2

2

2

2

11

b2＝2a2時等號成立．

答案1二、解答題

11．求過兩圓x＋y＋4x＋y＝－1，x＋y＋2x＋2y＋1＝0的交點的圓中面積最小的圓的方程．

?x＋y＋4x＋y＝－1，①?

解由?22

??x＋y＋2x＋2y＋1＝0，②

2

22

2

2

2

1

①－②得2x－y＝0代入①得x1＝－、x2＝－1，

52??1

∴兩圓兩個交點為?－，－?、(－1，－2)．

5??5

2??1

過兩交點圓中，以?－，－?、(－1，－2)為端點的線段為直徑的圓，面積最小．

5??56??3

∴該圓圓心為?－，－?半徑為

5??5

2

?－1＋1?2＋?－2＋2?2?5??5?????25

2

＝

5

，

?3?2?6?24圓方程為?x＋?＋?y＋?＝.

?5??5?5

12．已知圓O1的方程為x＋(y＋1)＝4，圓O2的圓心O2(2,1)．(1)若圓O2與圓O1外切，求圓O2的方程，并求內公切線方程；(2)若圓O2與圓O1交于A、B兩點，且AB＝22，求圓O2的方程．解(1)由兩圓外切，∴O1O2＝r1＋r2，r2＝O1O2－r1＝2(2－1)，故圓O2的方程是：(x－2)＋(y－1)＝4(2－1)，兩圓的方程相減，即得兩圓內公切線的方程為

2

2

2

2

2

x＋y＋1－22＝0.

(2)設圓O2的方程為：(x－2)＋(y－1)＝r2，

∵圓O1的方程為：x＋(y＋1)＝4，此兩圓的方程相減，即得兩圓公共弦AB所在直線的方程：

4x＋4y＋r2－8＝0.①

1

作O1H⊥AB，則AH＝AB＝2，O1H＝2，

2|r2－12|

由圓心(0，－1)到直線①的距離得＝2，

42得r2＝4或r2＝20，故圓O2的方程為：

(x－2)＋(y－1)＝4或(x－2)＋(y－1)＝20.

13．已知圓C1：x＋y＋2x－6y＋1＝0，圓C2：x＋y－4x＋2y－11＝0，求兩圓的公共弦所在的直線方程及公共弦長．

解設兩圓交點為A(x1，y1)，B(x2，y2)，則A，B兩點坐標是方程組

??x＋y＋2x－6y＋1＝0①?2

2

??x＋y－4x＋2y－11＝0②

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

22

2

2

的解，

①－②得：3x－4y＋6＝0.∵A，B兩點坐標都滿足此方程，

∴3x－4y＋6＝0即為兩圓公共弦所在的直線方程，易知圓C1的圓心(－1,3)，半徑r＝3.

又C1到直線AB的距離為d＝

|－1×3－4×3＋6|9

＝.22

53＋4

3

∴|AB|＝2r－d＝224

即兩圓的公共弦長為.

5

22

?9?2242

3－??＝.

?5?5

14．已知⊙C：x＋y－2x＋4y－4＝0，是否存在斜率為1的直線l，使l被圓C截得的弦AB22

的長為直徑的圓過原點？若存在，求出直線l的方程；若不存在，說明理由．解法一設存在直線方程為y＝x＋b.

則圓心(1，－2)到x－y＋b＝0的距離d＝|3＋b|

2.

則在以AB為直徑的圓中，

2

由垂徑定理得r2

＝9－d2

＝9－?3＋b?

2

.

由???

y＋2＝－?x－1?，?得圓心坐標?

y＝x＋b，

???

－

b＋12，b－12???.

則以AB為直徑的圓為

?2

?x＋b＋1?2??2?＋???y－b－12??2?

＝9－?3＋b?2.

又過原點，將(0,0)代入，得b＝1或b＝－4.

則存在這樣的直線，方程為x－y＋1＝0或x－y－4＝0.法二設存在直線方程為y＝x＋b.則由?

??y＝x＋b，

??x2

＋y2

－2x＋4y－4＝0

消y得2x2

＋2(b＋1)x＋b2

＋4b－4＝0.

設A(x1，y1)、B(x2，y2)，則x1＋x2＝－(b＋1)，

2x4b－4

1·x2＝

b＋2

，

則y＝x2

1·y2＝(x1＋b)(x2＋b)1·x2＋b(x1＋x2)＋b.又以AB為直徑的圓過原點，

所以→OA·→OB＝0，即x2

1·x2＋y1·y2＝0，得b＋3b－4＝0.解得b＝1或b＝－4.

則存在這樣的直線，方程為x－y＋1＝0或x－y－4＝0.法三設以AB為直徑的圓為x2

＋y2

＋Dx＋Ey＋F＝0.

因過原點，得F＝0，則圓x2

＋y2＋Dx＋Ey＝0的圓心為???－DE2，－2???

.

又直線l是兩圓的公共弦，兩圓相減得l為

4

(D＋2)x＋(E－4)y＋4＝0.由斜率為1，得D＋2＝4－E.

又?－，－?在直線l上，得(D＋2)?－D??DE22????2???＋(E－4)???－E2??

?＋4＝0.

③

由②③得???

D＝2，

??E＝0

或???D＝－3，

??E＝5，

代入①得

x－y＋1＝0或x－y－4＝0.

法四設存在直線方程為x－y＋b＝0.則以AB為直徑的圓為

(x