2020年江蘇省中考數學分類匯編專題13銳角三角函數一、單選題（共3題；共6分）1.（2020·無錫）下列選項錯誤的是（

）A.

B.

C.

D.

2.（2020·揚州）如圖，由邊長為1的小正方形構成的網格中，點A，B，C都在格點上，以AB為直徑的圓經過點C、D，則的值為（

）A.

B.

C.

D.

3.（2020·蘇州）如圖，小明想要測量學校操場上旗桿的高度，他作了如下操作：（1）在點C處放置測角儀，測得旗桿頂的仰角；（2）量得測角儀的高度；（3）量得測角儀到旗桿的水平距離.利用銳角三角函數解直角三角形的知識，旗桿的高度可表示為（

）A.

B.

C.

D.

二、填空題（共6題；共6分）4.（2020·徐州）如圖，，在上截取.過點作，交于點，以點為圓心，為半徑畫弧，交于點；過點作，交于點，以點為圓心，為半徑畫弧，交于點；按此規律，所得線段的長等于________.5.（2020·南通）如圖，測角儀CD豎直放在距建筑物AB底部5m的位置，在D處測得建筑物頂端A的仰角為50°.若測角儀的高度是1.5m，則建筑物AB的高度約為________m.（結果保留小數點后一位，參考數據：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.19）6.（2020·揚州）如圖，工人師傅用扳手擰形狀為正六邊形的螺帽，現測得扳手的開口寬度，則螺帽邊長________cm.7.（2020·常州）數學家笛卡爾在《幾何》一書中闡述了坐標幾何的思想，主張取代數和幾何中最好的東西，互相以長補短.在菱形中，.如圖，建立平面直角坐標系，使得邊在x軸正半軸上，點D在y軸正半軸上，則點C的坐標是________.8.（2020·常州）如圖，點C在線段上，且，分別以、為邊在線段的同側作正方形、，連接、，則________.9.（2020·常州）如圖，在中，，D、E分別是、的中點，連接，在直線和直線上分別取點F、G，連接、.若，且直線與直線互相垂直，則的長為________.三、解答題（共13題；共122分）10.（2020·鎮江）

（1）計算：4sin60°﹣+(﹣1)0；（2）化簡(x+1)÷(1+).11.（2020·徐州）小紅和爸爸繞著小區廣場鍛煉如圖在矩形廣場邊的中點處有一座雕塑.在某一時刻，小紅到達點處，爸爸到達點處，此時雕塑在小紅的南偏東方向，爸爸在小紅的北偏東方向，若小紅到雕塑的距離，求小紅與爸爸的距離.（結果精確到，參考數據：，，）12.（2020·鎮江）如圖，點E與樹AB的根部點A、建筑物CD的底部點C在一條直線上，AC＝10m.小明站在點E處觀測樹頂B的仰角為30°，他從點E出發沿EC方向前進6m到點G時，觀測樹頂B的仰角為45°，此時恰好看不到建筑物CD的頂部D（H、B、D三點在一條直線上）.已知小明的眼睛離地面1.6m，求建筑物CD的高度（結果精確到0.1m）.（參考數據：≈1.41，≈1.73.）13.（2020·泰州）我市在鳳城河風景區舉辦了端午節賽龍舟活動，小亮在河畔的一幢樓上看到一艘龍舟迎面駛來，他在高出水面的處測得在處的龍舟俯角為；他登高到正上方的處測得駛至處的龍舟俯角為，問兩次觀測期間龍舟前進了多少？（結果精確到，參考數據：，，，）14.（2020·宿遷）如圖，在一筆直的海岸線上有A，B兩個觀測站，A在B的正西方向，AB=2km，從觀測站A測得船C在北偏東45°的方向，從觀測站B測得船C在北偏西30°的方向.求船C離觀測站A的距離.15.（2020·鹽城）如圖，在中，的平分線交于點.求的長？16.（2020·南京）如圖，在港口A處的正東方向有兩個相距的觀測點B、C，一艘輪船從A處出發，北偏東方向航行至D處，在B、C處分別測得，求輪船航行的距離AD(參考數據：，，，，，）17.（2020·鹽城）木門常常需要雕刻美麗的圖案.（1）圖①為某矩形木門示意圖，其中長為200厘米，長為100厘米，陰影部分是邊長為30厘米的正方形雕刻模具，刻刀的位置在模具的中心點P處，在雕刻時始終保持模具的一邊緊貼木門的一邊，所刻圖案如虛線所示，求圖案的周長；（2）如圖，對于(1)中的木門，當模具換成邊長為厘米的等邊三角形時，刻刀的位置仍在模具的中心點P處，雕刻時也始終保持模具的一邊緊貼本門的一邊，使模具進行滑動雕刻.但當模具的一個頂點與木門的一個頂點重合時，需將模具繞著重合點進行旋轉雕刻，直到模具的另一邊與木門的另一邊重合.再滑動模具進行雕刻，如此雕刻一周，請在圖中畫出雕刻所得圖案的草圖，并求其周長.18.（2020·蘇州）問題1：如圖①，在四邊形中，，是上一點，，.（1）求證：.（2）如圖②，在四邊形中，，是上一點，，.求的值.19.（2020·泰州）如圖，正方形的邊長為6，為的中點，為等邊三角形，過點作的垂線分別與邊、相交于點、，點、分別在線段、上運動，且滿足，連接.（1）求證：.（2）當點在線段上時，試判斷的值是否變化？如果不變，求出這個值，如果變化，請說明理由.（3）設，點關于的對稱點為，若點落在的內部，試寫出的范圍，并說明理由.20.（2020·鹽城）以下虛線框中為一個合作學習小組在一次數學實驗中的過程記錄，請閱讀后完成虛線框下方的問題.Ⅰ.在中，，在探究三邊關系時，通過畫圖，度量和計算，收集到，組數據如下表：（單位：厘米）2.82.72.62.321.50.40.40.81.21.622.42.83.23.53.83.943.93.2Ⅱ.根據學習函數的經驗，選取上表中和的數據進行分析；設，以為坐標，在圖所示的坐標系中描出對應的點；連線；Ⅲ.觀察思考結合表中的數據以及所面的圖像，猜想.當▲時，y最大；Ⅳ.進一步C猜想：若中，，斜邊為常數，），則▲時，最大.推理證明Ⅴ.對（4）中的猜想進行證明.（1）問題1.在圖中完善（1）的描點過程，并依次連線；（2）問題2.補全觀察思考中的兩個猜想：Ⅲ________；Ⅳ________。（3）問題3.證明上述Ⅴ中的猜想：（4）問題4.圖中折線是一個感光元件的截面設計草圖，其中點間的距離是4厘米，厘米，平行光線從區域射入，線段為感光區城，當的長度為多少時，感光區域長度之和最大，并求出最大值.21.（2020·揚州）如圖1，已知點O在四邊形ABCD的邊AB上，且，OC平分，與BD交于點G，AC分別與BD、OD交于點E、F.（1）求證：；（2）如圖2，若，求的值；（3）當四邊形ABCD的周長取最大值時，求的值.22.（2020·連云港）筒車是我國古代利用水力驅動的灌溉工具，唐代陳廷章在《水輪賦》中寫道：“水能利物，輪乃曲成”.如圖，半徑為的筒車按逆時針方向每分鐘轉圈，筒車與水面分別交于點A、B，筒車的軸心距離水面的高度長為，簡車上均勻分布著若干個盛水筒.若以某個盛水筒剛浮出水面時開始計算時間.

（1）經過多長時間，盛水筒首次到達最高點？（2）浮出水面3.4秒后，盛水筒P距離水面多高？（3）若接水槽所在直線是的切線，且與直線交于點M，.求盛水筒P從最高點開始，至少經過多長時間恰好在直線上.（參考數據：，，）

答案解析部分一、單選題1.【解析】【解答】解：A.，本選項不合題意；B.，本選項不合題意；C.1，本選項不合題意；D.2（x?2y）＝2x?4y，故本選項符合題意；故答案為：D.【分析】分別根據特殊角的三角函數值，同底數冪的乘法法則，二次根式的除法法則以及去括號法則逐一判斷即可.2.【解析】【解答】∵和∠ABC所對的弧長都是，∴根據圓周角定理知，∠ABC＝，∴在Rt△ACB中，AB=根據銳角三角函數的定義知，sin∠ABC＝，∴=，故答案為：A.【分析】首先根據圓周角定理可知，∠ABC＝，在Rt△ACB中，根據銳角三角函數的定義求出∠ABC的正弦值.3.【解析】【解答】延長CE交AB于F，如圖，根據題意得，四邊形CDBF為矩形，∴CF=DB=b，FB=CD=a，在Rt△ACF中，∠ACF=α，CF=b，tan∠ACF=∴AF=,AB=AF+BF=，故答案為：A.【分析】延長CE交AB于F，得四邊形CDBF為矩形，故CF=DB=b，FB=CD=a，在直角三角形ACF中，利用CF的長和已知的角的度數，利用正切函數可求得AF的長，從而可求出旗桿AB的長.二、填空題4.【解析】【解答】解：∵，，∴∵∴∴∵∴∴△是等邊三角形∴∴是等邊三角形∴同理可得是等邊三角形∴【分析】根據已知條件先求出的長，再根據外角，直角算出△是等邊三角形，同理可得出其他等邊三角形，即可求出答案.5.【解析】【解答】解：如圖，過點D作DE⊥AB，垂足為點E，則DE＝BC＝5，DC＝BE＝1.5，在Rt△ADE中，∵tan∠ADE＝，∴AE＝tan∠ADE?DE＝tan50°×5≈1.19×5＝5.95（米），∴AB＝AE+BE＝5.95+1.5≈7.5（米），故答案為：7.5.【分析】過點D作DE⊥AB，垂足為點E，根據正切進行求解即可.6.【解析】【解答】解：如圖：作BD⊥AC于D由正六邊形，得∠ABC=120°，AB=BC=a，∠BCD=∠BAC=30°.由AC=3，得CD=.cos∠BCD==，即，解得a=，故答案為：.【分析】根據正六邊形的性質，可得∠ABC=120°，AB=BC=a，根據等腰三角形的性質，可得CD的長，根據銳角三角函數的余弦，可得答案.7.【解析】【解答】解：∵四邊形為菱形，∴AD=AB=CD=2，∵∴在Rt△DOA中，∴OD=∴點C的坐標是(2，).故答案為：(2，).【分析】根據菱形的性質可知AD=AB=CD=2，∠OAD=60°，由三角函數即可求出線段OD的長度，即可得到答案.8.【解析】【解答】解：如圖，設BC=a，則AC=2a∵正方形∴EC=，∠ECD=同理：CG=,∠GCD=

∴.故答案為：

.【分析】設BC=a，則AC=2a，然后利用正方形的性質求得CE、CG的長、∠GCD=ECD=45°，進而說明△ECG為直角三角形，最后運用正切的定義即可解答.9.【解析】【解答】解：如圖，當點F在點D右側時，過點F作FM∥DG，交直線BC于點M，過點B作BN⊥DE，交直線DE于點N，∵D，E分別是AB和AC中點，AB=，∴DE∥BC，BD=AD=，∠FBM=∠BFD，∴四邊形DGMF為平行四邊形，則DG=FM，∵DG⊥BF，BF=3DG，∴∠BFM=90°，∴tan∠FBM==tan∠BFD，∴，∵∠ABC=45°=∠BDN，∴△BDN為等腰直角三角形，∴BN=DN=，∴FN=3BN=9，DF=GM=6，∵BF==，∴FM==，∴BM=，∴BG=10-6=4；當點F在點D左側時，過點B作BN⊥DE，交直線DE于N，過點B作BM∥DG，交直線DE于M，延長FB和DG，交點為H，可知：∠H=∠FBM=90°，四邊形BMDG為平行四邊形，∴BG=MD，BM=DG，∵BF=3DG，∴tan∠BFD=，同理可得：△BDN為等腰直角三角形，BN=DN=3，∴FN=3BN=9，∴BF=，設MN=x，則MD=3-x，FM=9+x，在Rt△BFM和Rt△BMN中，有，即，解得：x=1，即MN=1，∴BG=MD=ND-MN=2.綜上：BG的值為4或2.故答案為：4或2.【分析】分當點F在點D右側時，當點F在點D左側時，兩種情況，分別畫出圖形，結合三角函數，勾股定理以及平行四邊形的性質求解即可.三、解答題10.【解析】【分析】（1）先求三角函數值、化簡二次根式、計算零指數冪，再計算乘法，最后計算加減即可；（2）先計算括號內分式的加法，再將除法轉化為乘法，最后約分即可.11.【解析】【分析】過點P作PE⊥BC，則四邊形ABEP是矩形，由解直角三角形求出，則，然后求出PQ即可.12.【解析】【分析】延長FH，交CD于點M，交AB于點N，求CD，只需求出DM即可，即只要求出HN就可以，在Rt△BNF中，設BN＝NH＝x，則根據tan∠BFN＝就可以求出x的值，再根據等腰直角三角形的性質和線段的和可求得CD的長.13.【解析】【分析】設BA與CD的延長線交于點O，由題意得出∠BDO=50°，∠ACO=23°，OA=15m，AB=6m，在Rt△BOD中，解直角三角形求得OD的長度，在Rt△AOC中，解直角三角形求出DC的長度即可.14.【解析】【分析】如圖，過點C作CD⊥AB于點D，從而把斜三角形轉化為兩個直角三角形，然后在兩個直角三角形中利用直角三角形的邊角關系列出方程求解即可.15.【解析】【分析】由求出∠A=30°，進而得出∠ABC=60°，由BD是∠ABC的平分線得出∠CBD=30°，進而求出BC的長，最后用sin∠A即可求出AB的長.16.【解析】【分析】過點D作，垂足為H，通過解和得和，根據求得DH，再解求得AD即可.17.【解析】【分析】（1）過點P作求出PE，進而求得該圖案的長和寬，利用長方形的周長公式即可解答；（2）如圖，過P作PQ⊥CD于Q，連接PG,先利用等邊三角形的性質求出PQ、PG及∠PGE，當移動到點時，求得旋轉角和點P旋轉的路徑長，用同樣的方法繼續移動，即可畫出圖案的草圖，再結合圖形可求得所得圖案的周長.18.【解析】【分析】問題1：先根據AAS證明，可得，，由此即可證得結論；問題2：分別過點A、D作的垂線，垂足為E、F，由（1）可知，利用45°的三角函數值可得，，由此即可計算得到答案.19.【解析】【分析】（1）由“”可證；（2）連接，過點作于，由“”可證，可得，，，由直角三角形的性質可求，由銳角三角函數可求，由全等三角形的性質可求，即可求；（3）當點落在上時，，當點落在上時，分別求出點落在上和上時的值，即可求解.20.【解析】【分析】（1）問題1：根據Ⅰ中的表格數據，描點連線，作出圖形即可；（2）問題2：根據Ⅰ中的表格數據，可以得知當2時，最大；設，則，可得，有，可得出；（3）問題3：可用兩種方法證明，方法一：（判別式法）設，則，可得，有，可得出；方法二：（基本不等式），設，得，可得，根據當時，等式成立有，可得出；（4）問題4：方法一：延長交于