多元函數的基本概念第1頁，共56頁，2023年，2月20日，星期四

第九章第一節一、多元函數的概念二、多元函數的極限三、多元函數的連續性多元函數的基本概念第2頁，共56頁，2023年，2月20日，星期四平面點集的有關概念二維空間：二元有序實數組(x,y)的全體,即：記作：注二維空間的幾何意義—坐標平面二維空間的元素—坐標平面內的點平面點集：二維空間的任一子集,記作：平面點集E通常是坐標平面上具有某種性質的點的集合,記作：E={(x,y)|(x,y)具有性質P}(1)(2)注或(一)平面點集第3頁，共56頁，2023年，2月20日，星期四例第一象限內的點n維空間中的點集：記作：(1)y軸上的點(2)(3)單位圓內的點n維空間：n元有序實數組的全體構成的集合,即：n維空間中的元素：或中的一個點或一個n維向量中的任一子集第4頁，共56頁，2023年，2月20日，星期四1.鄰域點P0

的去心鄰域記為注設的距離小于的點P(x,y)的全體,稱為點P0

的鄰域.是xoy平面上的一個點,是某一正數.與點記作即：也就是：若不需要強調鄰域半徑

,鄰域也可寫成若在空間中,(球鄰域)(圓鄰域)第5頁，共56頁，2023年，2月20日，星期四在討論實際問題中也常使用方鄰域,平面上的方鄰域為。因為方鄰域與圓鄰域可以互相包含.第6頁，共56頁，2023年，2月20日，星期四2.

區域(1)

內點、外點、邊界點設有點集

E

及一點

P:若存在點P

的某鄰域U(P)E,若存在點P的某鄰域U(P)∩E=,若對點

P

的任一鄰域U(P)既含

E中的內點也含E則稱P為E

的內點；則稱P為E

的外點;則稱P為E的邊界點.的外點,顯然,E

的內點必屬于E,

E

的外點必不屬于E,E

的邊界點可能屬于E,也可能不屬于E.E的邊界點的全體稱為E的邊界，記為第7頁，共56頁，2023年，2月20日，星期四(2)

聚點、孤立點若對任意給定的

,點P

的去心鄰域內總有E

中的點,則稱P

是E

的聚點.聚點可以屬于E,也可以不屬于E(因為聚點可以為孤立點：E

的邊界點)內點一定是聚點；說明：設點P∈E如果存在點P

的去心鄰域第8頁，共56頁，2023年，2月20日，星期四點集E的聚點可以屬于E，也可以不屬于E．例如,(0,0)是聚點但不屬于集合．邊界上的點都是聚點也都屬于集合．

再如：設平面點集滿足一切點(x,y)都是E的內點；滿足的一切點(x,y)都是E的邊界點，它們都不屬于E；滿足的一切點(x,y)也是E的邊界點，它們都屬于E；點集E以及它的邊界上的一切點都是E的聚點.第9頁，共56頁，2023年，2月20日，星期四D(3)開區域及閉區域若點集E

的點都是內點，則稱E

為開集；若點集E

E

,則稱E

為閉集；

若集D

中任意兩點都可用一完全屬于D的折線相連,

開區域連同它的邊界一起稱為閉區域.則稱D

是連通的;

連通的開集稱為開區域

,簡稱區域;。。

整個平面

是最大的開域,也是最大的閉域；第10頁，共56頁，2023年，2月20日，星期四例如，在平面上開區域閉區域點集是開集，但非區域.o第11頁，共56頁，2023年，2月20日，星期四有界集：對于平面點集E，如果存在某一正數r，使得，其中O是坐標原點，則稱E為有界集.無界集：一個集合若非有界集，就稱為無界集.例如，集合是有界閉區域;集合是無界開區域；集合是無界閉區域.

包括部分邊界在內的區域稱為半開區域.如果區域延伸到無窮遠處，稱為無界區域，否則稱為有界區域.第12頁，共56頁，2023年，2月20日，星期四3.n

維空間n元有序數組的全體稱為n

維空間,n維空間中的每一個元素稱為空間中的稱為該點的第k

個坐標.記作即一個點,當所有坐標稱該元素為中的零元,記作O.第13頁，共56頁，2023年，2月20日，星期四

設x=(x1,x2,…,xn)，y=(y1,y2,…,yn)為Rn中任意兩個元素，規定n維空間中的線性運算的距離記作規定為與零元O

的距離為第14頁，共56頁，2023年，2月20日，星期四設如果則稱變元經x在中趨于固定元a

，記作

在n維空間中定義了距離以后，就可以定義中變元的極限：中點

a

的

鄰域為內點、邊界點、區域、聚點等概念也可定義．第15頁，共56頁，2023年，2月20日，星期四二、多元函數的概念引例:圓柱體的體積定量理想氣體的壓強三角形面積的海倫公式第16頁，共56頁，2023年，2月20日，星期四

f

稱為對應規則或函數，f(x,y)稱為f在點(x,y)處的函數值。函數值的全體所構成的集合稱為函數f

的值域，記作函數與選用的記號無關，如則稱f

是D

上的二元函數,記為

1、二元函數的定義第17頁，共56頁，2023年，2月20日，星期四

把定義1中的平面點集D換成n維空間內的點集D，映射就稱為定義在D上的n元函數，通常記為變元的值所組成的點集為這個多元函數的自然定義域.也可記為或簡記為第18頁，共56頁，2023年，2月20日，星期四例1

求的定義域．解所求定義域為第19頁，共56頁，2023年，2月20日，星期四2、二元函數的幾何意義：

設二元函數z=f(x,y)的定義域為xoy面上的某一區域D，對于D上的每一點P(x,y)，在空間可以作出一點M(x,y,f(x,y))與它對應；當點P(x,y)在D中變動時，點M(x,y,f(x,y))就在空間作相應地變動，它的軌跡是一個曲面.第20頁，共56頁，2023年，2月20日，星期四例如,

二元函數定義域為圓域圖形為中心在原點的上半球面.三元函數定義域為圖形為空間中的超曲面.單位閉球第21頁，共56頁，2023年，2月20日，星期四一元函數極限回顧：二元函數的極限：如果在的過程中

f(x,y)無限接近一個確定常數

A

，就稱

A

是f(x,y)

當時的極限，記為三、多元函數的極限第22頁，共56頁，2023年，2月20日，星期四定義2

設函數的定義域為D,P0是D的聚點則稱A

為函數若存在常數A,當記作對任意正數

,總存在正數,也即都有或第23頁，共56頁，2023年，2月20日，星期四說明：（2）二元函數的極限也叫二重極限（3）二元函數的極限運算法則與一元函數類似．（1）定義中的方式比的方式復雜的多不同于二次極限第24頁，共56頁，2023年，2月20日，星期四說明：(4)不研究函數在P0(x0

,y0)處的狀態，僅研究點

(方式任意)的過程中，函數f(x,y)的變化趨勢.所以，定義規定函數z=f(x,y)在點P0(x0

,y0)的某個鄰域內有定義，不要求函數在點P0(x0

,y0)有定義.(5)極限值A應是一個確定的常數，它與P(x,y)趨近P0(x0,y0)的方式無關.也就是說：P(x,y)以任何方式趨于P0(x0,y0)時，函數都無限接近于A.第25頁，共56頁，2023年，2月20日，星期四相同點多元函數和一元函數極限的概念的相同點和差異一元函數在某點的極限存在的充要?定義相同.不同點必需是點P在定義域內以任何方式和途徑趨而多元函數于P0時,條件是左右極限都存在且相等;都有極限,且相等.第26頁，共56頁，2023年，2月20日，星期四例2.

設求證：證:故總有要證第27頁，共56頁，2023年，2月20日，星期四例3.

設求證：證：故總有要證第28頁，共56頁，2023年，2月20日，星期四例4.求極限

解其中第29頁，共56頁，2023年，2月20日，星期四例5.

考察函數這也是一種特殊方式(2)當點P(x,y)沿y軸趨于點(0,0)時,解：(1)當點P(x,y)沿x軸趨于點(0,0)時,這是一種特殊的趨近方式在(0,0)處的極限.第30頁，共56頁，2023年，2月20日，星期四(3)當點P(x,y)沿直線y=kx趨于點(0,0)時例5.

考察函數在(0,0)處的極限.

若當點趨于不同值或有的極限不存在，則可以斷定函數極限以不同方式趨于不存在.函數第31頁，共56頁，2023年，2月20日，星期四僅知其中一個存在,推不出其它二者存在.注.二重極限不同.如果它們都存在,則三者相等.例如,顯然與累次極限但由例5知它在(0,0)點二重極限不存在.第32頁，共56頁，2023年，2月20日，星期四(2)再來分析當點(x,y)沿過原點的直線

因此

不存在.趨向于有時,由此看出:累次極限與二重極限有本質區別再如解（1）對任意的研究

有有同理:第33頁，共56頁，2023年，2月20日，星期四證（2）取此時，仍不能確定極限是否存在．（1）P(x,y)沿

x

軸趨于(0,0)，此時y=0,x0例6.

證明不存在．

第34頁，共56頁，2023年，2月20日，星期四證（3）取極限值隨k的不同而變化，故極限不存在．例6.

證明不存在．

第35頁，共56頁，2023年，2月20日，星期四確定極限不存在的常用方法：第36頁，共56頁，2023年，2月20日，星期四求二元函數極限（重極限）常用的方法：（1）用定義驗證其存在或不存在；（2）利用適當放縮或變量代換轉化為一元函數的極限，再用一元函數中已有的方法；（3）消去分子分母中極限為0的因子；（4）利用極限運算性質或法則，例如夾逼準則（與一元函數相似）；（5）利用函數的連續性第37頁，共56頁，2023年，2月20日，星期四解：例7：求極限第38頁，共56頁，2023年，2月20日，星期四例8.

求:第39頁，共56頁，2023年，2月20日，星期四解：例9：求極限第40頁，共56頁，2023年，2月20日，星期四四、多元函數的連續性定義3

.

設n元函數定義在D

上,如果函數在D

上各點處都連續,則稱此函數在

D

上如果存在否則稱為不連續,此時稱為間斷點

.則稱n

元函數連續.連續,第41頁，共56頁，2023年，2月20日，星期四二元函數的連續性定義4.

設二元函數f(P)=f(x,y)的定義域為D，為D的聚點，且.如果則稱函數f(x,y)在點P0(x0

,y0)處連續，否則稱為間斷.

如果函數z=f(x,y)在定義域D上每一點都連續，則稱函數z=f(x,y)在定義域D上連續，或者稱f(x,y)是D上的連續函數.第42頁，共56頁，2023年，2月20日，星期四

二元函數在點P0(x0

,y0)處的連續，要求有以下三個條件成立，即：(1)函數z=f(x,y)在點P0(x0

,y0)的某個鄰域內有定義，且在點P0(x0

,y0)處也有定義.(2)函數z=f(x,y)在點P0(x0,y0)有極限.(3)函數z=f(x,y)

在點P0(x0

,y0)處的極限值等于該點函數值，即：第43頁，共56頁，2023年，2月20日，星期四例如,

函數在點(0,0)極限不存在,又如,

函數上間斷.

故(0,0)為其間斷點.在聚點圓周其定義域為其定義域為整個平面，(0,0)為其聚點,第44頁，共56頁，2023年，2月20日，星期四的不連續點,若在D內某些個別點,沒有定義,或沿D內某些曲線,但在D內其余部分,都有定義,則在這些點或這些曲線上,即間斷點.函數都是函數

二元連續函數的圖形是一片無裂縫無點洞的曲面結論：

如果函數f(P)在D的每一點都連續，則稱函數f(P)在D上連續，或者稱f(P)是D上的連續函數。第45頁，共56頁，2023年，2月20日，星期四多元初等函數：由常數及不同自變量表達的一元基本初等函數經過有限次的四則運算和復合運算所構成的可用一個式子表示的多元函數。（3）一切多元初等函數在其定義區域內是連續的．定義區域是指包含在定義域內的區域或閉區域．關于多元函數連續性的說明一切一元基本初等函數，作為一個二元或二元以上的多元函數時，在其定義域內都是連續的。（4）利用多元函數的連續性可計算在連續點處的極限。（1）（2）第46頁，共56頁，2023年，2月20日，星期四

例10.證明在全平面連續.證: