PAGE1絕密★啟用并使用完畢前測試時間：年月日時分——時分2023年高考必做模擬卷—新高考Ⅱ考綱卷05本試卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷兩部分，滿分150分，考試時間120分鐘一、選擇題：本題共小題，每小題分，共分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．甲、乙兩支女子曲棍球隊在去年的國際聯賽中，甲隊平均每場進球數是，全年進球數的方差為；乙隊平均每場進球數是，全年進球數的標準差為。下列說法錯誤的是（）。A、甲隊的技術比乙隊好B、乙隊發揮比甲隊穩定C、乙隊的表現時好時壞D、乙隊幾乎每場都進球【答案】B【解析】A選項，∵甲隊的平均進球數比乙隊多，∴甲隊技術較好，對，B選項，、，乙隊的標準差比甲隊大，標準差越大越不穩定，錯，C選項，乙隊與甲隊相比，不穩定，乙隊的表現時好時壞，對，D選項，乙隊平均每場進球數為，∴乙隊幾乎每場都進球，對，故選B。2．函數在其定義域上的圖像大致為（）。A、B、C、D、【答案】D【解析】∵，∴是奇函數，排除AB選項，當時，，故選D。3．已知平面向量、，若與為單位正交基底，則與夾角的余弦值為（）。A、B、C、D、【答案】C【解析】∵與為單位正交基底，∴設、，則、，∴，故選C。4．某實驗室針對某種新型病毒研發了一種疫苗，并在名志愿者身上進行了人體注射實驗，發現注射疫苗的志愿者均產生了穩定的免疫應答。若這些志愿者的某免疫反應蛋白的數值（單位：）近似服從正態分布，且在區間內的人數占總人數的，則這些志愿者中免疫反應蛋白的數值不低于的人數大約為（）。A、B、C、D、【答案】B【解答】∵，又，∴，∴這些志愿者中免疫反應蛋白的數值不低于的人數大約為，故選B。5．設雙曲線：（，）的右焦點為，過點且垂直于軸的直線與雙曲線相交所得的弦長為?，則雙曲線的離心率為（）。A、?B、C、?D、【答案】B【解析】由題意可知點，，∴，∴弦長為，解得，∴，故選B。6．甲烷是一種有機化合物，分子式是，它作為燃料廣泛應用于民用和工業中。近年來科學家通過觀測數據，證明了甲烷會導致地球表面溫室效應不斷增加。深入研究甲烷，趨利避害，成為科學家面臨的新課題。甲烷分子的結構為正四面體結構，四個氫原子位于正四面體的四個頂點，碳原子位于正四面體的中心，碳原子和氫原子之間形成的四個碳氫鍵的鍵長相同、鍵角相等。請你用學過的數學知識計算甲烷碳氫鍵之間夾角的余弦值（）。A、B、C、D、【答案】B【解析】設正四面體的棱長為，正四面體的中心為，底面三角形的高為，正四面體的高為：，，解得，設甲烷碳氫鍵之間夾角為，，故選B。7．已知是上的奇函數，（），則數列的通項公式為（）。A、B、C、D、【答案】C【解析】在上為奇函數故，代入得：（），當時，，令，則，上式即為：，當為偶數時：，當為奇數時：，綜上所述，，故選C。8．函數（）在內有且僅有一個極大值點，則的取值范圍為（）。A、B、C、D、【答案】A【解析】∵，∴函數在內有且僅有一個極大值點等價于：函數在內有且僅有一個極大值點，則，解得，故選A。二、多選題：本題共小題，每小題分，共分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。全部選對的得分，有選錯的得分，部分選對的得分。9．已知全集，集合，，則下列結論中正確的是（）。A、B、C、D、的真子集個數是【答案】ACD【解析】、，A選項，，對，B選項，，錯，C選項，，，對，D選項，中有個元素，故其子集個數為，其中真子集個數為，對，故選ACD。10．在中，內角、、所對的邊分別為、、，若、、依次成等差數列，則下列結論中不一定成立的是（）。A、、、依次成等差數列B、、、依次成等差數列C、、、依次成等差數列D、、、依次成等差數列【答案】ABD【解析】在中，內角、、所對的邊分別為、、，若、、依次成等差數列，則：，利用，整理得：，利用正弦和余弦定理得：，整理得：，即：、、依次成等差數列，此時對等差數列、、的每一項取相同的運算得到：數列、、或、、或、、，這些數列一般都不可能是等差數列，除非，但題目沒有說是等邊三角形，故選ABD。11．已知，，，若存在唯一零點，下列說法正確有（）。A、在上遞增B、的圖像關于點中心對稱C、任取兩個不相等實數，均有D、【答案】ABD【解析】，可知在上恒大于零，即在上遞增，A對，設、，，，，，，∴圖像關于點中心對稱，B對，選取選項B中的、兩點，則，，，C錯，當時，，∵時，，，∴，，∵，則，∴，，∵，故，D對，故選ABD。12．在平面直角坐標系中，已知拋物線：的焦點為，準線為，過點且斜率大于的直線交拋物線于、兩點（其中在的上方），過線段的中點且與軸平行的直線依次交直線、、于點、、，則（）。A、B、若、是線段的三等分點，則直線的斜率為C、若、不是線段的三等分點，則一定有D、若、不是線段的三等分點，則一定有【答案】AB【解析】拋物線的焦點為，設直線方程為，，、，由得，、，∴，，直線方程為，∵、、三點共線，∴，∴，同理，∴，，∴，即，A選項對，若、是線段的三等分點，則，，∴，又，，∴，∴，解得，B選項對，由得、，∴，，又，∴，，∴，當時，，C錯，由圖像可知，而，只要，就有，D錯，故選AB。三、填空題：本題共小題，每小題分，共分。13．已知，則復數在復平面內所對應點的軌跡方程為。【答案】【解析】設對應的點，則，設點、，則，∴點在以、為焦點的橢圓上，其軌跡方程為。14．的展開式中，含項的系數為。【答案】【解析】，∵的通項公式，的通項公式，∴的通項公式為，∴令，可取、，此時系數為，、，此時系數為，、，此時系數為，∴的展開式中，含項的系數為。15．趙先生準備通過某銀行貸款元，后通過分期付款的方式還款。銀行與趙先生約定：每個月還款一次，分次還清所有欠款，且每個月還款的錢數都相等，貸款的月利率為，則趙先生每個月所要還款的錢數為。（精確到元，參考數據）【答案】元【解析】設每一期所還款數為元，則每期所還款本金為、、、…、，∴，則，∴趙先生每個月所要還款約元。16．在圓錐內放置半徑為的小球和半徑為的大球與圓錐的側面均相切，大球與小球以及大球與圓錐底面均相切，則圓錐側面積為。【答案】【解析】∵圓錐和球體都是旋轉體，根據球體之間以及球體和錐體之間的位置關系可判斷為組合體的旋轉軸，且和所有切點均共面，過軸線和切點確定的平畫截得的截面如圖所示為，設大、小圓的圓心分別為、，作、，垂足分別為、，∴，由，∴，故，由得到，在中，由，可得，則，則圓錐的母線長，底面圓半徑，則由圓錐面積公式可得。四、解答題：本題共小題，共分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（本小題滿分10分）已知的內角、、的對邊分別是、、，且。（1）求；（2）若，，求的面積。【解析】（1）在中，，由題意及正弦定理得：，1分∴，∴，∴，3分又∵，∴，又∵，∴；5分（2）∵、，∴由余弦定理得：，6分即，化簡得，解得（可取）或（舍去），8分∴。10分18．（本小題滿分12分）某市為創建全國文明城市，市文明辦舉辦了一次文明知識網絡競賽，全市市民均有且只有一次參賽機會，滿分為分，得分大于等于分的為優秀。競賽結束后，隨機抽取了參賽中人的得分為樣本，統計得到樣本平均數為，方差為。假設該市有萬人參加了該競賽活動，得分服從正態分布。（1）估計該市這次競賽活動得分優秀者的人數是多少萬人？（2）該市文明辦為調動市民參加競賽的積極性，制定了如下獎勵方案：所有參加競賽活動者，均可參加“抽獎贏電話費”活動，競賽得分優秀者可抽獎兩次，其余參加者抽獎一次。抽獎者點擊抽獎按鈕，即隨機產生一個兩位數，若產生的兩位數的數字相同，則可獎勵元電話費，否則獎勵元電話費。假設參加競賽活動的所有人均參加了抽獎活動，估計這次活動獎勵的電話費總額為多少萬元？參考數據：若，則，。【解析】（1）∵得分，∴標準差，∴優秀者得分，∵得，∴，2分∴估計這次參加競賽活動得分優秀者的人數為（萬人）；3分（2）設每位參加活動者獲得的電話費為元，則的值為、、、、，4分則，，，，，9分∴，11分∴估計這次活動所需電話費為（萬元）。12分19．（本小題滿分12分）已知為等差數列，為等比數列，的前項和為，且，，。（1）求數列、的通項公式；（2）設，為數列的前項和，求數列的前項和。【解析】（1）設等差數列的公差為，等比數列的公比為（），∵，，∴，解得：或（舍去），∴，；3分（2）∵是等差數列，∴，又由（1）知：，∴，5分∴，∴，6分則①，②，8分②-①得，，11分∴。12分20．（本小題滿分12分）如圖所示，已知三棱錐中，為等邊三角形，且，平面平面，其中為中點，為中點，為上靠近的三等分點，設平面與平面的交線為。（1）證明：直線平面；（2）若為中點，求直線與平面所成角的余弦值。【解析】（1）證明：設上靠近的三等分點為，連、，∵為上靠近的三等分點，∴，又∵為中點，為中點，∴，∴，∴、、、共面，∴平面，又∵平面，∴為平面與平面的交線，3分∴即為直線，又∵平面，平面，∴直線平面；4分（2）連接，∵，∴，∵平面平面，平面平面，平面，∴平面，又為等邊三角形，∴，5分∴以為原點如圖建系，設，∵，∴，∴、、、、，設，則，∴，解得，，，∴，∴、、，7分設平面的法向量為，則，即，∴，設，則，∴，10分設直線與平面所成角的平面角為銳角，則，∴，∴直線與平面所成角的余弦值為。12分21．（本小題滿分12分）已知橢圓：（）與拋物線：有公共的焦點，且拋物線的準線被橢圓截得的弦長為。（1）求橢圓的標準方程；（2）過橢圓的右焦點作一條斜率為（）的直線交橢圓于、兩點，交軸于點，為弦的中點，過點作直線的垂線交于點，問是否存在一定點，使得的長度為定值？若存在，則求出點，若不存在，請說明理由。【解析】（1）∵橢圓與拋物線有相同的焦點，又∴①，∵拋物線的準線被橢圓截得的弦長為，∴②，解①②得，，∴橢圓的標準方程為：；4分（2）設直線：，、，聯立直線與橢圓方程，消去得：，恒成立，則，，6分∴，∴，∴的坐標為，直線：③，8分直線方程中令得，∴的坐標為，∵直線，∴的直線方程