2022-2023學(xué)年上海市閔行區(qū)高二下學(xué)期開學(xué)摸底數(shù)學(xué)試題一、填空題1．若直線與直線平行，直線的斜率為，則直線的傾斜角為__________.【答案】##【分析】根據(jù)兩直線平行，傾斜角相等即可.【詳解】直線的斜率為所以直線的傾斜角為，直線與直線平行所以直線的傾斜角為.故答案為：2．設(shè)等差數(shù)列的前項和為，若，則___________.【答案】6【分析】利用等差數(shù)列前n項和的公式即可.【詳解】.故答案為：6.3．等比數(shù)列中，，則___________.【答案】##【分析】根據(jù)等比數(shù)列通項公式得，，進而根據(jù)對數(shù)運算求解即可.【詳解】解：因為等比數(shù)列中，，所以，，解得，所以，，所以，.故答案為：4．長方體的底面為邊長為1的正方形，高為2，則集合中元素的個數(shù)為____________個.【答案】1【分析】以為坐標原點，建立空間直角坐標系，利用向量的數(shù)量積可得，即可得答案.【詳解】解：以為坐標原點，建立空間直角坐標系，如圖所示：則，，，，，，，，因為，則對任意，，均有，所以集合，只有一個元素.故答案為：15．數(shù)列的前項和，則___________.【答案】8【分析】利用和的關(guān)系即可.【詳解】，，.故答案為：8.6．已知拋物線上一點到此拋物線焦點的距離為，那么點的縱坐標為___________.【答案】##0.25【分析】利用拋物線的定義求解.【詳解】解：拋物線的標準方程為，則焦點為，準線方程為，設(shè)，因為拋物線上點到此拋物線焦點的距離為，所以，解得，故答案為：7．已知數(shù)列中，，（是正整數(shù)），則數(shù)列的通項公式______.【答案】【分析】等式兩邊同時除以，可得，后由累加法可得數(shù)列的通項公式.【詳解】等式兩邊同時除以，可得，則.得，則，.故答案為：，.8．過雙曲線的右焦點作直線交雙曲線于兩點，若，則這樣的直線有______條．【答案】3【分析】根據(jù)題意設(shè)直線的方程為，進而聯(lián)立方程，結(jié)合弦長公式得，進而解方程即可得或且均滿足條件，進而得答案.【詳解】解：由題知雙曲線的標準方程為，所以，雙曲線的右焦點為，所以，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立方程得所以，，，設(shè)，則，所以，由弦長公式得，所以，，即或，解得或，此時直線的方程為或.綜上，滿足條件的直線的方程為或，共3條.故答案為：39．已知是橢圓上的三個點，為坐標原點，點關(guān)于原點對稱，經(jīng)過右焦點，若且，則該橢圓的離心率是_________.【答案】【分析】利用對稱性和幾何關(guān)系，建立兩個和的方程，然后解方程即可.【詳解】設(shè)橢圓的左焦點，連接.點關(guān)于原點對稱,設(shè)由對稱性可知:且①在中，聯(lián)立①式，解得橢圓的離心率.故答案為：10．已知數(shù)列滿足，，數(shù)列的奇數(shù)項單調(diào)遞減，數(shù)列的偶數(shù)項單調(diào)遞增，若，則數(shù)列的通項公式為__．【答案】【分析】法一：用列舉法得，，，，，，找規(guī)律得，再利用累加法及等比數(shù)列前n項和公式可求其通項；法二：由已知有，，從而有，再結(jié)合數(shù)列的奇、偶項的單調(diào)性得，再利用累加法及等比數(shù)列前n項和公式可求其通項．【詳解】法一：先采用列舉法得，，，，，，，然后從數(shù)字的變化上找規(guī)律，得，所以．法二：因為，，所以，而遞減，所以，故；同理，由遞增，得；又，所以，所以．11．設(shè)點是：上的動點，點是直線：上的動點，記，則的最小值是______．【答案】【分析】設(shè)，將轉(zhuǎn)化成探求線段長最值問題求解作答.【詳解】依題意，設(shè)，顯然圓C與直線l相離，，當且僅當時取“=”，當時，，，，，其中銳角由確定，此時，當且僅當時取“=”，當時，，，，，其中銳角由確定，此時，當且僅當時取“=”，顯然，因此，當時，，則，所以的最小值是.故答案為：【點睛】思路點睛：涉及圖形上的點變化引起的線段長度、圖形面積等問題，若點的運動與某角的變化相關(guān)，可以設(shè)此角為自變量，借助三角函數(shù)解決.12．對于數(shù)列，令，給出下列四個結(jié)論：①若，則；②若，則；③存在各項均為整數(shù)的數(shù)列，使得對任意的都成立；④若對任意的，都有，則有.其中所有正確結(jié)論的序號是______.【答案】①②④【分析】逐項代入分析求解即可.【詳解】對于①：因為，且因為，所以，所以，故選項①正確；對于②：若，則所以，所以兩式相減得，所以，所以，所以，故選項②正確；對于③：，，所以若對任意的都成立，則有，所以，因為各項為整數(shù)，則不等式串中絕對值只能從越來越小，之后甚至?xí)霈F(xiàn)大于某數(shù)絕對值的情況，例如：，后續(xù)還會有絕對值，但是會有矛盾，故選項③錯誤；對于④：若對任意的，都有，則有..故選項④正確；故答案為：①②④.二、單選題13．若動點滿足，則點M的軌跡是（

）A．圓 B．橢圓 C．雙曲線 D．拋物線【答案】D【分析】根據(jù)題意，化簡得到，結(jié)合拋物線的定義，即可求解.【詳解】由題意，動點滿足，即，即動點到定點的距離等于動點到定直線的距離，又由點不在直線上，根據(jù)拋物線的定義，可得動點的軌跡為以為焦點，以的拋物線.故選：D.14．若直線與圓無公共點，則點與圓的位置關(guān)系是（

）A．點在圓上 B．點在圓外C．點在圓內(nèi) D．以上都有可能【答案】C【分析】利用圓心到直線的距離小于圓的半徑可得出關(guān)于、的不等式，即可判斷出點與圓的位置關(guān)系.【詳解】圓的圓心為，半徑為，因為直線與圓無公共點，則，所以，，因此，點在圓內(nèi).故選：C.15．已知是空間中不共線的三個點，若點滿足，則下列說法正確的一項是（

）A．點是唯一的，且一定與共面B．點不唯一，但一定與共面C．點是唯一的，但不一定與共面D．點不唯一，也不一定與共面【答案】B【分析】由，可得，從而有共面，四點共面，再結(jié)合不共線，即可得答案.【詳解】由空間向量的知識可知共面的充要條件為存在實數(shù)，使，因為，所以，所以共面，所以四點共面，又因為不共線，所以滿足此關(guān)系的點有無數(shù)個，所以點不唯一，共面.故選：B.16．將數(shù)列中的所有項排成如下數(shù)陣：……已知從第二行開始每一行比上一行多兩項，第一列數(shù)……，成等差數(shù)列，且．從第二行起，每一行中的數(shù)按從左到右的順序均構(gòu)成以為公比的等比數(shù)列，則下列結(jié)論錯誤的為（

）A． B．C．位于第85列 D．【答案】C【分析】分析所給數(shù)陣的特點，計算出數(shù)陣第一列對應(yīng)等差數(shù)列的通項公式，可得A正確；分析計算的表達式，比較可得B正確；通過計算可知位于數(shù)陣第行第86列，故C錯誤；位于數(shù)陣第行第個數(shù)，代入等比數(shù)列通項公式可得D正確.【詳解】將等差數(shù)列，，，，…，記為，則公差，所以，，故A正確；因為，，故B正確；第行的項數(shù)，第行的項數(shù)，，第行的項數(shù)，構(gòu)成以為首項，為公差的等差數(shù)列，即第行有項，前行有項，因為，而，則位于第行從左邊數(shù)第項，即位于第列，故C錯誤；，故D正確.故選：C.三、解答題17．如圖，在正三棱柱中，，分別為，的中點.(1)證明：平面；(2)求直線與平面所成角的大小.【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）取中點，連接，證明，根據(jù)線面平行的判定定理即可證明平面.（2）分別取中點，連接，以為原點，所在的直線分別為軸，軸，軸建立空間直角坐標系，利用空間向量的方法計算即可求出結(jié)果.【詳解】（1）證明：取中點，連接，因為正三棱柱，所以，且，因為為線段的中點，所以且.所以且，因為為中點，所以.所以且.所以四邊形是平行四邊形.所以.又因為平面，平面，所以平面.（2）解：分別取中點，連接，因為是正三棱柱，所以，平面，.所以平面.所以，.以為原點，所在的直線分別為軸，軸，軸建立空間直角坐標系.則.所以.設(shè)平面的法向量為，所以，即，令，解得，所以.設(shè)直線與平面所成角為，，則，所以.即直線與平面所成角為.18．記為公比不為1的等比數(shù)列的前項和，，．(1)求的通項公式；(2)設(shè)，若由與的公共項從小到大組成數(shù)列，求數(shù)列的前項和．【答案】(1)(2)【分析】（1）設(shè)等比數(shù)列的公比為，由求出，再由等比數(shù)列求和公式求出，即可得解；（2）由（1）可得，即可得到數(shù)列的特征，令，求出的取值，即可得到為以為首項，為公比的等比數(shù)列，再由等比數(shù)列求和公式計算可得.【詳解】（1）解：設(shè)等比數(shù)列的公比為，因為，即，即，所以，又，即，解得，所以.（2）解：由（1）可得，則數(shù)列為、、、、，偶數(shù)組成的數(shù)列，又，令，則為正偶數(shù)，所以，，，，，所以為以為首項，為公比的等比數(shù)列，所以.19．某市2013年發(fā)放汽車牌照12萬張，其中燃油型汽車牌照10萬張，電動型汽車2萬張.為了節(jié)能減排和控制總量，從2013年開始，每年電動型汽車牌照按50%增長，而燃油型汽車牌照每一年比上一年減少0.5萬張，一旦某年發(fā)放的燃油型汽車牌照數(shù)為0萬張，以后每一年發(fā)放的燃油型的牌照的數(shù)量維持在這一年的水平不變.同時規(guī)定一旦某年發(fā)放的牌照超過15萬張，以后每一年發(fā)放的電動車的牌照的數(shù)量維持在這一年的水平不變.(1)記2013年為第一年，每年發(fā)放的燃油型汽車牌照數(shù)構(gòu)成數(shù)列，每年發(fā)放的電動型汽車牌照數(shù)為構(gòu)成數(shù)列，寫出這兩個數(shù)列的通項公式；(2)從2013年算起，求到2029年（包含2029年）累計各年發(fā)放的牌照數(shù).【答案】(1)，(2)206萬張【分析】（1）利用等差數(shù)列通項公式可得，結(jié)合題意可得，根據(jù)等比數(shù)列通項公式可得，結(jié)合題意利用前項和公式判斷可得；（2）根據(jù)（1）分別求數(shù)列、的前17項和，再相加．【詳解】（1）設(shè)當時，數(shù)列為等差數(shù)列，則根據(jù)題意令，則∴，則設(shè)當時，數(shù)列為等比數(shù)列，則其前項和為遞增數(shù)列，且∴，，則（2）根據(jù)題意可得到2029年（包含2029年），即為第17年對于數(shù)列的前項和對于數(shù)列的前項和到2029年（包含2029年）累計各年發(fā)放的牌照數(shù)為（萬張）20．已知二次曲線．(1)求二次曲線的焦距和離心率；(2)若直線與二次曲線及圓都恰好只有一個公共點，求直線的方程；(3)任取平面上一點，證明：中總有一個橢圓和一條雙曲線都通過點．【答案】(1)焦距為，離心率為(2)見解析(3)見解析【分析】（1）根據(jù)橢圓的焦距與離心率即可得解；（2）分直線的斜率不存在和存在兩種情況討論，當直線的斜率存在時，設(shè)方程為，根據(jù)直線與圓只有一個交點求出的關(guān)系時，再聯(lián)立直線與曲線方程，結(jié)合根的判別式即可得出答案；（3）分別求出曲線表示橢圓和雙曲線時的范圍，再將點代入，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)及零點的存在性定理即可得出結(jié)論.【詳解】（1）解：二次曲線為焦點在軸上的橢圓，，所以焦距為，離心率為；（2）解：二次曲線為焦點在軸上的雙曲線，圓的圓心，半徑，當直線的斜率不存在時，圓的切線方程為或，在方程中，當時，，所以直線和與曲線只有一個公共點，當直線的斜率存在時，設(shè)方程為，即，圓心到直線的距離，聯(lián)立，消得，當，即時，直線與曲線只有一個公共點，此時，所以直線的方程為或或或，當，即時，則，整理得，結(jié)合，解得或，所以直線的方程為或，綜上所述直線的方程為或或或或或或或；（3）證明：當曲線表示橢圓時，，則，當曲線表示雙曲線時，則，把點代入得，即，設(shè)，它是關(guān)于的二次函數(shù)，且圖象開口向上，因為，，所以函數(shù)在內(nèi)穿過一次軸，在內(nèi)穿過一次軸，即方程一個根在上，一個根在上，所以中總有一個橢圓和一條雙曲線都通過點．【點睛】第三問轉(zhuǎn)化為函數(shù)的零點存在定理是關(guān)鍵21．已知數(shù)列的各項均為正數(shù)，其前項和為，且滿足，若數(shù)列滿足，且等式對任意成立．（1）求數(shù)列的通項公式；（2）將數(shù)列與的項相間排列構(gòu)成新數(shù)列，設(shè)該新數(shù)列為，求數(shù)列的通項公式和前項的和；（3）對于（2）中的數(shù)列前項和，若對任意都成立，求實數(shù)的取值范圍．【答案】（1）；（2），；（3）．【分析】（1）由4Sn＝（an+1）2，n＝1時，4a1，解得a1，n≥2時，4an＝4（Sn﹣Sn﹣1），化為：（an+an﹣1）（an﹣an﹣1﹣2）＝0，根據(jù)數(shù)列{an}的各項均為正數(shù)，可得an﹣an﹣1＝2，利用等差數(shù)列的通項公式可得an．（2）數(shù)列{bn}滿足b1＝2，b2＝4，且等式bn2＝bn﹣1bn+1對任意n≥2成立．利用等比數(shù)列的通項公式可得bn．進而得出cn，T2n．（3）Tn≥λ?cn，即n2+2n+1﹣2≥λcn，對n分類討論即可得出．【詳解】（1）由，即，所以，兩式相減得，，故，

因為，所以．

又由得．所以，數(shù)列是