第二十七章相似一、選擇題(本大題共7小題，每小題4分，共28分)1．如圖1，AD∥BE∥CF，直線l1，l2與這三條平行線分別交于點A，B，C和點D，E，F.已知AB＝1，BC＝3，DE＝2，則EF的長為()圖1A．4 B．5 C．6 D．82．如圖2，點D，E分別為△ABC的邊AB，AC的中點，則△ADE的面積與四邊形BCED的面積的比為()圖2A．1∶2 B．1∶3C．1∶4 D．1∶13．如圖3所示，P是△ABC的邊AC上的一點，連接BP，以下條件中不能判定△ABP∽△ACB的是()圖3A.eq\f(AB,AP)＝eq\f(AC,AB) B.eq\f(AC,AB)＝eq\f(BC,BP)C．∠ABP＝∠C D．∠APB＝∠ABC4．已知△ABC與△A′B′C′是位似圖形，且△ABC與△A′B′C′的相似比是1∶2，△ABC的面積是3，則△A′B′C′的面積是()A．3 B．6 C．9 D．125．如圖4所示，在△ABC中，若DE∥BC，EF∥AB，則下列比例式正確的是()圖4A.eq\f(AD,DB)＝eq\f(DE,BC) B.eq\f(BF,BC)＝eq\f(EF,AD)C.eq\f(AE,EC)＝eq\f(BF,FC) D.eq\f(EF,AB)＝eq\f(DE,BC)6．如圖5所示，∠A＝∠B＝90°，AB＝7，AD＝2，BC＝3，在邊AB上取一點P，使得△PAD與△PBC相似，則這樣的點P共有()圖5A．1個 B．2個 C．3個 D．4個7．若兩個扇形滿足弧長的比等于它們半徑的比，則稱這兩個扇形相似．如圖6，如果扇形OAB與扇形O1A1B1相似，且半徑OA∶O1A1＝k(k為不等于0的常數)，連接AB，A1B1.那么下面四個結論：①∠AOB＝∠A1O1B1；②△AOB∽△A1O1B1；③eq\f(AB,A1B1)＝k；④扇形OAB與扇形O1A1B1的面積之比為k2.其中正確的有()圖6A．1個 B．2個 C．3個 D．4個二、填空題(本大題共5小題，每小題5分，共25分)8．若△ABC∽△A′B′C′，∠A＝35°，∠C′＝85°，則∠B＝________°，∠B′＝________°.9．若兩個相似三角形的一組對應邊分別為3cm和5cm，且較小三角形的周長為15cm，則較大三角形的周長為________cm.10．如圖7，⊙O的兩條弦AB，CD相交于點P，連接AC，BD.若S△ACP∶S△DBP＝16∶9，則AC∶BD＝________．圖711．如圖8所示，小明用長為3m的竹竿CD做測量工具，測量學校旗桿AB的高度，移動竹竿，使竹竿、旗桿頂端的影子恰好在地面的同一點O，此時點O與竹竿的距離DO＝6m，竹竿與旗桿的距離DB＝12m，則旗桿AB的高為________m.圖812．將三角形紙片(△ABC)按圖9所示的方式折疊，使點B落在邊AC上，記為點B′，折痕為EF.已知AB＝AC＝3，BC＝4.若以點B′，F，C為頂點的三角形與△ABC相似，則BF的長是__________．圖9三、解答題(本大題共4小題，共47分)13．(11分)如圖10，方格紙中的每個小方格都是邊長為1個單位長度的正方形，△ABC的頂點都在格點上，建立如圖所示的平面直角坐標系．(1)將△ABC向左平移7個單位長度后再向下平移3個單位長度，請畫出經過兩次平移后得到的△A1B1C1；(2)以原點O為位似中心，將△ABC縮小，使變換后得到的△A2B2C2與△ABC對應邊的比為1∶2.請在網格內畫出在第三象限內的△A2B2C2，并寫出點A2的坐標．圖1014．(12分)如圖11所示，點C，D在線段AB上，△PCD是等邊三角形．(1)當AC，CD，DB滿足怎樣的關系時，△ACP∽△PDB?(2)當△ACP∽△PDB時，求∠APB的度數．圖1115．(12分)如圖12所示，BE是銳角三角形ABC的外接圓⊙O的直徑，CD是△ABC的高．(1)求證：AC·BC＝BE·CD；(2)若CD＝6，AD＝8，BD＝3，求⊙O的直徑BE.圖1216．(12分)如圖13所示，在△ABC中，BA＝BC＝20cm，AC＝30cm，點P從點A出發，沿AB邊以每秒4cm的速度向點B運動，同時點Q從點C出發，沿CA邊以每秒3cm的速度向點A運動，設運動時間為x秒．(1)當x為何值時，PQ∥BC?(2)△APQ能否與△CQB相似？若能，求出AP的長；若不能，請說明理由．圖13

答案1．C2．B3．B4．D5．C6．C7．D8．[答案]60609．2510．[答案]4∶311．[答案]912．[答案]eq\f(12,7)或213．解：(1)△A1B1C1如圖所示．(2)△A2B2C2如圖所示，點A2的坐標為(－1，－4)．14．解：(1)當CD2＝AC·DB時，△ACP∽△PDB.∵△PCD是等邊三角形，∴∠PCD＝∠PDC＝60°，∴∠ACP＝∠PDB＝120°.若CD2＝AC·DB，則由PC＝PD＝CD可得PC·PD＝AC·DB，即eq\f(PC,BD)＝eq\f(AC,PD).又∵∠ACP＝∠PDB，∴△ACP∽△PDB.(2)當△ACP∽△PDB時，∠APC＝∠PBD.由題意可知∠PDC＝60°，∴∠BPD＋∠PBD＝60°，∴∠APC＋∠BPD＝60°，∴∠APB＝∠CPD＋∠APC＋∠BPD＝120°，即∠APB的度數為120°.15．解：(1)證明：連接CE.由BE為⊙O的直徑知∠ECB＝90°.∵∠A＝∠E，∠ADC＝∠ECB＝90°，∴△ADC∽△ECB，∴eq\f(AC,BE)＝eq\f(CD,BC)，∴AC·BC＝BE·CD.(2)由勾股定理，知AC＝eq\r(AD2＋CD2)＝10，BC＝eq\r(BD2＋CD2)＝3eq\r(5).又∵AC·BC＝BE·CD，∴3eq\r(5)×10＝6BE，解得BE＝5eq\r(5).16．解：(1)∵PQ∥BC，∴△APQ∽△ABC，∴eq\f(AP,AB)＝eq\f(AQ,AC)，即eq\f(4x,20)＝eq\f(30－3x,30)，解得x＝eq\f(10,3).即當x＝eq\f(10,3)時，PQ∥BC.(2)能相似．∵AB＝BC，∴∠A＝∠C，∴△APQ和△CQB相似可能有以下兩種情況：①若△APQ∽△CQB，則eq\f(AP,CQ)＝eq\f(AQ,CB)，即eq\f(4x,3x)＝eq\f(30－3x,20)，解得x＝eq\f(10,9).經檢驗，x＝eq\f(10,9)是上述方程的解且符合題意．∴當AP＝eq\f(40,9)cm時，△APQ∽△CQB；②若△APQ∽△CBQ，則eq\f(AP,CB