離散時(shí)間系統(tǒng)的變換域分析演示文稿當(dāng)前1頁(yè)，總共79頁(yè)。（優(yōu)選）離散時(shí)間系統(tǒng)的變換域分析當(dāng)前2頁(yè)，總共79頁(yè)。§8.2Z變換及其性質(zhì)一、Z變換的定義及其收斂區(qū)我們知道離散信號(hào)可以由連續(xù)信號(hào)抽樣得到：兩邊求雙邊拉普拉斯變換：當(dāng)前3頁(yè)，總共79頁(yè)。上式就定義為序列f(k)的雙邊z變換，記為：與拉普拉斯變換一樣，在離散系統(tǒng)中我們感興趣的是因果系統(tǒng)和有始的激勵(lì)，因此我們同樣定義f(k)的單邊Z變換：當(dāng)前4頁(yè)，總共79頁(yè)。或用記號(hào)

表示它們是一對(duì)Z變換對(duì)。顯然單邊Z變換是一個(gè)單邊的無(wú)窮級(jí)數(shù)F(z)是否存在要看級(jí)數(shù)是否收斂，使級(jí)數(shù)收斂的Z的取值范圍稱為收斂區(qū)。當(dāng)前5頁(yè)，總共79頁(yè)。要級(jí)數(shù)收斂要求|Z|-1小于某一數(shù)值，或表示為|Z|>R，R與具體的序列有關(guān)。將它用圖形在Z平面上表達(dá)出來(lái)，它是以原點(diǎn)為圓心R為半徑的圓之外的區(qū)域，所以R就稱為收斂半徑。當(dāng)前6頁(yè)，總共79頁(yè)。例如：f(k)=akε(k)求F(z)及其收斂區(qū)。解：

當(dāng)前7頁(yè)，總共79頁(yè)。說(shuō)明：1、Z變換與連續(xù)系統(tǒng)中的拉普拉斯變換相對(duì)應(yīng)，也有雙邊與單邊之分。2、Z變換與拉普拉斯變換是有聯(lián)系的，它們之間的關(guān)系由表明。3、能量有限的有限長(zhǎng)序列，單邊Z變換的收斂區(qū)為|z|>0。4、有始無(wú)終的單邊序列，單邊Z變換的收斂區(qū)總是在某一圓外。5、在收斂區(qū)中不應(yīng)包含極點(diǎn)。當(dāng)前8頁(yè)，總共79頁(yè)。二、常用序列的Z變換1、單位函數(shù)δ(k)收斂區(qū)為整個(gè)Z平面∞≥|z|≥0。

2、單位階躍序列ε(k)當(dāng)前9頁(yè)，總共79頁(yè)。3、單邊指數(shù)序列f(k)=vkε(k)4、單邊正弦和余弦序列sin(βkT)

ε(k)，cos(βkT)

ε(k)當(dāng)前10頁(yè)，總共79頁(yè)。當(dāng)前11頁(yè)，總共79頁(yè)。同理當(dāng)前12頁(yè)，總共79頁(yè)。所以：當(dāng)前13頁(yè)，總共79頁(yè)。三、Z變換的性質(zhì)1、線性性質(zhì)若：f1(k)←→F1(z),f2(k)←→F2(z)則：a1f1(k)+a2f2(k)←→a1F1(z)+a2F2(z)

a1，a2為常數(shù)。2、移序性質(zhì)若：f(k)←→F(z)

則：

當(dāng)前14頁(yè)，總共79頁(yè)。證明：當(dāng)前15頁(yè)，總共79頁(yè)。例如：當(dāng)前16頁(yè)，總共79頁(yè)。3、尺度變換若：f(k)←→F(z)

證明：則：例如：當(dāng)前17頁(yè)，總共79頁(yè)。4、時(shí)域線性加權(quán)和Z域的微分若：f(k)←→F(z)

則：證明：當(dāng)前18頁(yè)，總共79頁(yè)。例如已知

則：所以，這個(gè)性質(zhì)也可以重復(fù)使用。當(dāng)前19頁(yè)，總共79頁(yè)。5、卷積定理若：f1(k)←→F1(z),f2(k)←→F2(z)則：f1(k)*f2(k)←→F1(z).F2(z)

證明：

當(dāng)前20頁(yè)，總共79頁(yè)。6、初值定理和終值定理若：f(k)←→F(z)

則：當(dāng)前21頁(yè)，總共79頁(yè)。若F(z)的所有極點(diǎn)位于單位圓內(nèi)或在z=1處有一個(gè)一階極點(diǎn)。則：證明：

當(dāng)前22頁(yè)，總共79頁(yè)。另一方面例1：當(dāng)前23頁(yè)，總共79頁(yè)。例2：例3：求F(z)例4：已知f(k)求F(z)。當(dāng)前24頁(yè)，總共79頁(yè)。當(dāng)前25頁(yè)，總共79頁(yè)。設(shè)N=3則可畫出f(k)的圖形為一三角形序列。而三角形序列為兩個(gè)矩形序列卷積的結(jié)果。

*當(dāng)前26頁(yè)，總共79頁(yè)。f(k)=y(k-1)，而Y(z)=F1(z)F2(z)|z|>0

當(dāng)前27頁(yè)，總共79頁(yè)。§8.3反Z變換由F(z)反過(guò)來(lái)求f(k)稱反Z變換，記為Z

-1[F(z)]。一、長(zhǎng)除法根據(jù)Z變換的定義F(z)為z的冪級(jí)數(shù)，因此我們只要設(shè)法將F(z)展開(kāi)為z的冪級(jí)數(shù)，則其系數(shù)即為f(k)。

當(dāng)前28頁(yè)，總共79頁(yè)。例1：

當(dāng)前29頁(yè)，總共79頁(yè)。例2：或者可寫成：當(dāng)前30頁(yè)，總共79頁(yè)。二、圍線積分法根據(jù)復(fù)變函數(shù)理論中的柯西(Cauchy)定理：其中c為圍繞原點(diǎn)的反時(shí)針?lè)较虻膰€。則：

當(dāng)前31頁(yè)，總共79頁(yè)。其中閉合圍線c應(yīng)包含被積函數(shù)F(z)zk-1的所有極點(diǎn)。zr為被積函數(shù)的第r個(gè)極點(diǎn)。留數(shù)的求法：

當(dāng)前32頁(yè)，總共79頁(yè)。例：求f(k)。解：當(dāng)前33頁(yè)，總共79頁(yè)。k≥0時(shí)

k<0時(shí)

當(dāng)前34頁(yè)，總共79頁(yè)。當(dāng)k≥0時(shí)被積函數(shù)在圍線內(nèi)只有一個(gè)一階極點(diǎn)a。當(dāng)k<0時(shí)被積函數(shù)在圍線內(nèi)有一個(gè)一階極點(diǎn)a，還有一個(gè)-k階的極點(diǎn)0。當(dāng)前35頁(yè)，總共79頁(yè)。當(dāng)前36頁(yè)，總共79頁(yè)。三、部分分式展開(kāi)法v1，v2，...，vn。也稱F(z)的n個(gè)極點(diǎn)。

設(shè)D(z)=0有n個(gè)單根則：

0，v1，v2，...，vn。展開(kāi)為部分分式：

有n+1個(gè)極點(diǎn)當(dāng)前37頁(yè)，總共79頁(yè)。也可將極點(diǎn)分為三種不同情況，并記住下面幾個(gè)簡(jiǎn)單的公式。當(dāng)前38頁(yè)，總共79頁(yè)。1、單根時(shí)2、n階重根時(shí)3、v，v*為一對(duì)共軛復(fù)根時(shí)

或者當(dāng)前39頁(yè)，總共79頁(yè)。例1：求右邊序列f(k)。

解：當(dāng)前40頁(yè)，總共79頁(yè)。當(dāng)前41頁(yè)，總共79頁(yè)。例1：求右邊序列f(k)。

解：當(dāng)前42頁(yè)，總共79頁(yè)。例：求f(k)。

解：當(dāng)前43頁(yè)，總共79頁(yè)。當(dāng)前44頁(yè)，總共79頁(yè)。對(duì)于一對(duì)共軛復(fù)根也可將它保持整體處理，這時(shí)我們可以使用正弦序列和余弦序列的變換對(duì)。當(dāng)前45頁(yè)，總共79頁(yè)。又如：當(dāng)前46頁(yè)，總共79頁(yè)。§8.5離散時(shí)間系統(tǒng)的Z變換分析法與拉普拉斯變換一樣Z變換是求解差分方程的工具。一、直接求解例1：已知系統(tǒng)的差分方程為系統(tǒng)的激勵(lì)和初始條件為：求全響應(yīng)。

當(dāng)前47頁(yè)，總共79頁(yè)。解：兩邊求Z變換代入初始條件并整理得：當(dāng)前48頁(yè)，總共79頁(yè)。當(dāng)前49頁(yè)，總共79頁(yè)。需要注意的是將k=0,1

代入y(k)

得y(0)=9,y(1)=13.9

顯然與題目所給的不一致。原因是題目所給出的實(shí)際上是系統(tǒng)的初始儲(chǔ)能，是不考慮輸入激勵(lì)下的初始條件yzi(0)=2,yzi(1)=4。

當(dāng)前50頁(yè)，總共79頁(yè)。

差分方程兩邊進(jìn)行Z變換時(shí)，方程的左邊用移位性質(zhì)時(shí)計(jì)入了初始條件，而方程的右邊沒(méi)有計(jì)入激勵(lì)的初始值。原因也在于此，方程的左邊計(jì)入的是系統(tǒng)的初始儲(chǔ)能與激勵(lì)無(wú)關(guān)。如果方程的左邊計(jì)入的是系統(tǒng)全響應(yīng)的初值,則右邊也應(yīng)計(jì)入激勵(lì)的初值。系統(tǒng)的激勵(lì)和初值為：重做例一

當(dāng)前51頁(yè)，總共79頁(yè)。解：兩邊求Z變換代入初值并整理得：當(dāng)前52頁(yè)，總共79頁(yè)。這種方法的實(shí)質(zhì)是：當(dāng)前53頁(yè)，總共79頁(yè)。二、從信號(hào)分析的角度分析系統(tǒng)還是將全響應(yīng)分為零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)來(lái)求，y(k)=yzi(k)+yzs(k)1、基于Z變換的方法。注意在求零輸入響應(yīng)時(shí)應(yīng)代入系統(tǒng)的初始條件

例2：已知系統(tǒng)的差分方程為

系統(tǒng)的初始條件和激勵(lì)為：求yzi(k)和yzs(k)

。

當(dāng)前54頁(yè)，總共79頁(yè)。解：1、令輸入為0，兩邊Z變換，需要注意的是這種方法只能用零輸入的初始條件2、令初始條件為0，兩邊Z變換當(dāng)前55頁(yè)，總共79頁(yè)。當(dāng)前56頁(yè)，總共79頁(yè)。2、基于系統(tǒng)函數(shù)H(z)的方法。(1)、零狀態(tài)響應(yīng)yzs(k)①、e(k)←→E(z)

②、定義離散系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)③、Yzs(z)=E(z)?H(z)④、yzs(k)=Z-1[Yzs(z)](2)、系統(tǒng)函數(shù)H(z)當(dāng)前57頁(yè)，總共79頁(yè)。時(shí)域中零狀態(tài)響應(yīng)的求法為計(jì)算卷積y(k)=e(k)*h(k)

由卷積定理Y(z)=E(z)?H(z)。所以h(k)←→H(z)當(dāng)前58頁(yè)，總共79頁(yè)。①、H(z)也可由轉(zhuǎn)移算子H(S)求。②、由離散系統(tǒng)的方框圖或信號(hào)流圖求H(z)。

(3)、零輸入響應(yīng)yzi(k)顯然H(z)的極點(diǎn)就是系統(tǒng)的特征根，所以可以根據(jù)H(z)的極點(diǎn)寫出yzi(k)的一般形式，然后由系統(tǒng)的初始條件確定系數(shù)。當(dāng)前59頁(yè)，總共79頁(yè)。例3：已知系統(tǒng)的差分方程為系統(tǒng)的初值和激勵(lì)為：

求零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)。

解：當(dāng)前60頁(yè)，總共79頁(yè)。可以先求出零狀態(tài)響應(yīng)的初值；然后用全響應(yīng)的初值減去零狀態(tài)響應(yīng)的初值求得零輸入的初始條件。確定c1,c2時(shí)必需要用零輸入的初始條件。當(dāng)前61頁(yè)，總共79頁(yè)。當(dāng)前62頁(yè)，總共79頁(yè)。當(dāng)前63頁(yè)，總共79頁(yè)。3、離散時(shí)間系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)H(z)（1）、H(z)

的表示s→z設(shè)H(z)有m個(gè)零點(diǎn)：。和n個(gè)極點(diǎn)：。則：

當(dāng)前64頁(yè)，總共79頁(yè)。知道了極點(diǎn)和零點(diǎn)H(z)就基本確定了，只是差一個(gè)比例因子H0。

也可以將它分子、分母的因子在Z平面中用矢量表示。

如果我們定義離散信號(hào)的傅里葉變換，系統(tǒng)函數(shù)也可以用它的幅頻特性和相頻特性來(lái)表示。也可用矢量作圖的辦法來(lái)估計(jì)離散系統(tǒng)的幅頻特性和相頻特性曲線。

當(dāng)前65頁(yè)，總共79頁(yè)。(2)、H(z)與離散時(shí)間系統(tǒng)的模擬這是一個(gè)二階系統(tǒng)的差分方程，它的模擬方框圖可以方便地作出：當(dāng)前66頁(yè)，總共79頁(yè)。模擬方框圖也可根據(jù)H(z)來(lái)作。這樣作出的方框圖也稱為直接型模擬方框圖。引入中間變量q(k)則差分方程可寫成如下的等價(jià)形式：

將差分方程兩邊Z變換（不計(jì)初始條件）當(dāng)前67頁(yè)，總共79頁(yè)。可見(jiàn)它們沒(méi)有本質(zhì)的區(qū)別，只是將單位延時(shí)器D改成Z-1，相應(yīng)的變量改成Z域的變量即可。當(dāng)前68頁(yè)，總共79頁(yè)。若將寫成級(jí)聯(lián)和并聯(lián)也可畫出離散系統(tǒng)的級(jí)聯(lián)型和并聯(lián)型模擬方框圖。當(dāng)前69頁(yè)，總共79頁(yè)。

級(jí)聯(lián)形式不是唯一的其分子分母可有不同的組合。若零點(diǎn)和極點(diǎn)中有共軛復(fù)根則分解為二次因式。另外，兩種形式中的H1(z)，H2(z)，...，Hr(z)是不同的。由離散系統(tǒng)的模擬方框圖也可畫出它的信號(hào)流圖并用流圖的化簡(jiǎn)和梅森公式求出任意兩個(gè)結(jié)點(diǎn)之間的傳輸值或傳輸函數(shù)。

當(dāng)前70頁(yè)，總共79頁(yè)。(3)、H(z)與離散時(shí)間系統(tǒng)的穩(wěn)定性

可以證明離散系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件是單位函數(shù)響應(yīng)h(k)絕對(duì)可和：當(dāng)前71頁(yè)，總共79頁(yè)。當(dāng)前72頁(yè)，總共79頁(yè)。

在實(shí)際中我們通常根據(jù)H(z)的極點(diǎn)在Z平面中的位置來(lái)判別比較方便。如果H(z)的所有極點(diǎn)位于Z平面的單位園內(nèi)則系統(tǒng)穩(wěn)定；如在單位園上僅有一階極點(diǎn)則系統(tǒng)臨界穩(wěn)定；如有極點(diǎn)位于Z平面的單位園外則系統(tǒng)不穩(wěn)定。

如果H(z)的極點(diǎn)不易求得也可以用羅斯判據(jù)來(lái)判別，但羅斯判據(jù)只能判別是否有實(shí)部位正的根。

當(dāng)前73頁(yè)，總共79頁(yè)。為能夠使用羅斯判據(jù)可作一個(gè)影射將Z平面的單位園內(nèi)影射到λ平面的左半平面，單位園外影射到λ平面的右半平面，單位園影射到λ平面的虛軸，這種影射稱雙線性變換。

當(dāng)前74頁(yè)，總共79頁(yè)。例：判別下列方程是否有單位園外的根（1）、（2）、解:（1）、作雙線性變換則原方程化為：因系數(shù)不同號(hào)所以原方程就有單位園外的根。當(dāng)前75頁(yè)，總共79頁(yè)。羅斯數(shù)列沒(méi)有符號(hào)變化，因此λ沒(méi)有實(shí)部為正的根，即原方程就沒(méi)有單位園外的根。

解：（2）作雙線性變換則原方程化為：計(jì)算羅斯陣列：當(dāng)前76頁(yè)，總共79頁(yè)