二次函數的圖像與性質一、二次函數的基本形式1.二次函數基本形式：的性質：a的絕對值越大，拋物線的開口越小。的符號開口方向頂點坐標對稱軸性質向上軸時，隨的增大而增大；時，隨的增大而減小；時，有最小值．向下軸時，隨的增大而減小；時，隨的增大而增大；時，有最大值．2.的性質：上加下減。的符號開口方向頂點坐標對稱軸性質向上軸時，隨的增大而增大；時，隨的增大而減小；時，有最小值．向下軸時，隨的增大而減小；時，隨的增大而增大；時，有最大值．3.的性質：左加右減。的符號開口方向頂點坐標對稱軸性質向上X=h時，隨的增大而增大；時，隨的增大而減小；時，有最小值．向下X=h時，隨的增大而減小；時，隨的增大而增大；時，有最大值．4.的性質：的符號開口方向頂點坐標對稱軸性質向上X=h時，隨的增大而增大；時，隨的增大而減小；時，有最小值．向下X=h時，隨的增大而減小；時，隨的增大而增大；時，有最大值．二、二次函數圖象的平移1.平移步驟：方法一：⑴將拋物線解析式轉化成頂點式，確定其頂點坐標；⑵保持拋物線的形狀不變，將其頂點平移到處，具體平移方法如下：2.平移規律在原有函數的基礎上“值正右移，負左移；值正上移，負下移”．概括成八個字“左加右減，上加下減”．方法二：⑴沿軸平移:向上（下）平移個單位，變成（或）⑵沿軸平移：向左（右）平移個單位，變成（或）三、二次函數與的比較從解析式上看，與是兩種不同的表達形式，后者通過配方可以得到前者，即，其中．四、二次函數圖象的畫法五點繪圖法：利用配方法將二次函數化為頂點式，確定其開口方向、對稱軸及頂點坐標，然后在對稱軸兩側，左右對稱地描點畫圖.一般我們選取的五點為：頂點、與軸的交點、以及關于對稱軸對稱的點、與軸的交點，（若與軸沒有交點，則取兩組關于對稱軸對稱的點）.畫草圖時應抓住以下幾點：開口方向，對稱軸，頂點，與軸的交點，與軸的交點.五、二次函數的性質1.當時，拋物線開口向上，對稱軸為，頂點坐標為．當時，隨的增大而減小；當時，隨的增大而增大；當時，有最小值．2.當時，拋物線開口向下，對稱軸為，頂點坐標為．當時，隨的增大而增大；當時，隨的增大而減小；當時，有最大值．六、二次函數解析式的表示方法1.一般式：（，，為常數，）；2.頂點式：（，，為常數，）；3.兩根式：（，，是拋物線與軸兩交點的橫坐標）.注意：任何二次函數的解析式都可以化成一般式或頂點式，但并非所有的二次函數都可以寫成交點式，只有拋物線與軸有交點，即時，拋物線的解析式才可以用交點式表示．二次函數解析式的這三種形式可以互化.七、二次函數的圖象與各項系數之間的關系1.二次項系數二次函數中，作為二次項系數，顯然．⑴當時，拋物線開口向上，的值越大，開口越小，反之的值越小，開口越大；⑵當時，拋物線開口向下，的值越小，開口越小，反之的值越大，開口越大．總結起來，決定了拋物線開口的大小和方向，的正負決定開口方向，的大小決定開口的大小．2.一次項系數在二次項系數確定的前提下，決定了拋物線的對稱軸．⑴在的前提下，當時，，即拋物線的對稱軸在軸左側；當時，，即拋物線的對稱軸就是軸；當時，，即拋物線對稱軸在軸的右側．⑵在的前提下，結論剛好與上述相反，即當時，，即拋物線的對稱軸在軸右側；當時，，即拋物線的對稱軸就是軸；當時，，即拋物線對稱軸在軸的左側．總結起來，在確定的前提下，決定了拋物線對稱軸的位置．的符號的判定：對稱軸在軸左邊則，在軸的右側則，概括的說就是“左同右異”總結：3.常數項⑴當時，拋物線與軸的交點在軸上方，即拋物線與軸交點的縱坐標為正；⑵當時，拋物線與軸的交點為坐標原點，即拋物線與軸交點的縱坐標為；⑶當時，拋物線與軸的交點在軸下方，即拋物線與軸交點的縱坐標為負．總結起來，決定了拋物線與軸交點的位置．總之，只要都確定，那么這條拋物線就是唯一確定的．二次函數解析式的確定：根據已知條件確定二次函數解析式，通常利用待定系數法．用待定系數法求二次函數的解析式必須根據題目的特點，選擇適當的形式，才能使解題簡便．一般來說，有如下幾種情況：1.已知拋物線上三點的坐標，一般選用一般式；2.已知拋物線頂點或對稱軸或最大（小）值，一般選用頂點式；3.已知拋物線與軸的兩個交點的橫坐標，一般選用兩根式；4.已知拋物線上縱坐標相同的兩點，常選用頂點式．八、二次函數圖象的對稱二次函數圖象的對稱一般有五種情況，可以用一般式或頂點式表達1.關于軸對稱關于軸對稱后，得到的解析式是；關于軸對稱后，得到的解析式是；2.關于軸對稱關于軸對稱后，得到的解析式是；關于軸對稱后，得到的解析式是；3.關于原點對稱關于原點對稱后，得到的解析式是；關于原點對稱后，得到的解析式是；4.關于頂點對稱（即：拋物線繞頂點旋轉180°）關于頂點對稱后，得到的解析式是；關于頂點對稱后，得到的解析式是．5.關于點對稱關于點對稱后，得到的解析式是根據對稱的性質，顯然無論作何種對稱變換，拋物線的形狀一定不會發生變化，因此永遠不變．求拋物線的對稱拋物線的表達式時，可以依據題意或方便運算的原則，選擇合適的形式，習慣上是先確定原拋物線（或表達式已知的拋物線）的頂點坐標及開口方向，再確定其對稱拋物線的頂點坐標及開口方向，然后再寫出其對稱拋物線的表達式．二次函數圖像參考：十一、【例題精講】一、一元二次函數的圖象的畫法【例1】求作函數的圖象【解】以為中間值，取的一些值，列表如下：…-7-6-5-4-3-2-1……0-20…【例2】求作函數的圖象。【解】先畫出圖角在對稱軸的右邊部分，列表-2-101276543【點評】畫二次函數圖象步驟：(1)配方；(2)列表；(3)描點成圖；也可利用圖象的對稱性，先畫出函數的左（右）邊部分圖象，再利用對稱性描出右（左）部分就可。二、一元二次函數性質【例3】求函數的最小值及圖象的對稱軸和頂點坐標，并求它的單調區間。【解】由配方結果可知：頂點坐標為，對稱軸為；∴當時，函數在區間上是減函數，在區間上是增函數。【例4】求函數圖象的頂點坐標、對稱軸、最值。，∴函數圖象的頂點坐標為，對稱軸為∴當時，函數取得最大值函數在區間上是增函數，在區間上是減函數。【點評】要研究二次函數頂點、對稱軸、最值、單調區間等性質時，方法有兩個：配方法；如例3公式法：適用于不容易配方題目(二次項系數為負數或分數)如例4，可避免出錯。任何一個函數都可配方成如下形式：【二次函數題型總結】1.關于二次函數的概念例1如果函數是二次函數，那么m的值為。例2拋物線的開口方向是；對稱軸是；頂點為。-1-1OX=1YX2.關于二次函數的性質及圖象例3函數的圖象如圖所示，則a、b、c，，，的符號為，例4已知a－b＋c=09a＋3b＋c=0,則二次函數y=ax2＋bx＋c的圖像的頂點可能在（）第一或第二象限（B）第三或第四象限（C）第一或第四象限（D）第二或第三象限3o3o-13yx例5已知：函數的圖象如圖：那么函數解析式為（）（A）（B）（C）（D）4.一次函數圖像與二次函數圖像綜合考查例6已知一次函數y=ax+c二次函數y=ax2+bx+c(a≠0),它們在同一坐標系中的大致圖象是().例7如圖：△ABC是邊長為4的等邊三角形，AB在X軸上，點C在第一象限，AC與Y軸交于點D，點A的坐標為（-1，0）（1）求B、C、D三點的坐標；（2）拋物線經過B、C、D三點，求它的解析式；【練習題】一、選擇題1.二次函數的頂點坐標是()A.(2,－11)B.（－2，7）C.（2，11）D.（2，－3）2.把拋物線向上平移1個單位，得到的拋物線是（）A.B.C.D.3.函數和在同一直角坐標系中圖象可能是圖中的()4.已知二次函數的圖象如圖所示,則下列結論:①a,b同號;②當和時,函數值相等;③④當時,的值只能取0.其中正確的個數是()A.1個B.2個C.3個D.4個5.已知二次函數的頂點坐標（-1，-3.2）及部分圖象(如圖),由圖象可知關于的一元二次方程的兩個根分別是（）Ａ．－１.３B.-2.3C.-0.3D.-3.36.已知二次函數的圖象如圖所示，則點在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限7.方程的正根的個數為（）A.0個B.1個C.2個.3個8.已知拋物線過點A(2,0),B(-1,0),與軸交于點C,且OC=2.則這條拋物線的解析式為A.B.C.或D.或二、填空題9．二次函數的對稱軸是，則_______。10．已知拋物線y=-2（x+3）2+5，如果y隨x的增大而減小，那么x的取值范圍是_______.11．一個函數具有下列性質：①圖象過點（－1，2），②當＜0時，函數值隨自變量的增大而增大；滿足上述兩條性質的函數的解析式是（只寫一個即可）。12．拋物線的頂點為C，已知直線過點C，則這條直線與兩坐標軸所圍成的三角形面積為。13.二次函數的圖象是由的圖象向左平移1個單位,再向下平移2個單位得到的,則b=,c=。14．如圖，一橋拱呈拋物線狀，橋的最大高度是16米，跨度是40米，在線段AB上離中心M處5米的地方，橋的高度是(π取3.14).三、解答題：第15題圖15.已知二次函數圖象的對稱軸是,圖象經過(1,-6),且與軸的交點為(0,).第15題圖(1)求這個二次函數的解析式;(2)當x為何值時,這個函數的函數值為0?(3)當x在什么范圍內變化時,這個函數的函數值隨x的增大而增大?16.某種爆竹點燃后，其上升高度h（米）和時間t（秒）符合關系式（0<t≤2），其中重力加速度g以10米/秒2計算．這種爆竹點燃后以v0=20米/秒的初速度上升，（1）這種爆竹在地面上點燃后，經過多少時間離地15米？（2）在爆竹點燃后的1.5秒至1.8秒這段時間內，判斷爆竹是上升，或是下降，并說明理由.17.如圖，拋物線經過直線與坐標軸的兩個交點A、B，此拋物線與軸的另一個交點為C，拋物線頂點為D.（1）求此拋物線的解析式；（2）點P為拋物線上的一個動點，求使：5：4的點P的坐標。一，選擇題、1．A2．C3．A4．B5．D6．B7．C8．C二、填空題、9．10．＜-311．如等（答案不唯一）12．113．-8714．15三、解答題15．(1)設拋物線的解析式為,由題意可得解得所以(2