學必求其心得，業必貴于專精學必求其心得，業必貴于專精學必求其心得，業必貴于專精§5.1平面向量的概念及線性運算最新考綱考情考向分析1.了解向量的實際背景．2.理解平面向量的概念，理解兩個向量相等的含義．3.理解向量的幾何表示．4.掌握向量加法、減法的運算，并理解其幾何意義．5.掌握向量數乘的運算及其幾何意義，理解兩個向量共線的含義．6。了解向量線性運算的性質及其幾何意義主要考查平面向量的線性運算(加法、減法、數乘向量）及其幾何意義、共線向量定理常與三角函數、解析幾何交匯考查，有時也會有創新的新定義問題；題型以選擇題、填空題為主,屬于中低檔題目．偶爾會在解答題中作為工具出現.1．向量的有關概念名稱定義備注向量既有大小，又有方向的量;向量的大小叫做向量的長度(或稱模）平面向量是自由向量零向量長度為0的向量；其方向是任意的記作0單位向量長度等于1個單位長度的向量非零向量a的單位向量為±eq\f(a，｜a｜)平行向量(共線向量）方向相同或相反的非零向量0與任一向量平行或共線相等向量長度相等且方向相同的向量兩向量只有相等或不等,不能比較大小相反向量長度相等且方向相反的向量0的相反向量為02.向量的線性運算向量運算定義法則（或幾何意義）運算律加法求兩個向量和的運算(3)交換律：a＋b＝b＋a；(4）結合律：（a＋b）＋c＝a＋（b＋c)減法求a與b的相反向量－b的和的運算a－b＝a＋（－b)數乘求實數λ與向量a的積的運算（6)|λa|＝|λ｜|a｜；（7）當λ〉0時，λa與a的方向相同;當λ〈0時，λa與a的方向相反；當λ＝0時，λa＝0（8)λ(μa)＝（λμ)a；（9）(λ＋μ）a＝λa＋μa；(10）λ(a＋b)＝λa＋λb3。共線向量定理向量a(a≠0）與b共線,當且僅當有唯一一個實數λ,使b＝λa。知識拓展1．一般地,首尾順次相接的多個向量的和等于從第一個向量起點指向最后一個向量終點的向量,即eq\o（A1A2，\s\up6（→))＋eq\o（A2A3,\s\up6（→））＋eq\o（A3A4，\s\up6(→))＋…＋eq\o(An－1An,\s\up6（→）)＝eq\o（A1An,\s\up6（→)）,特別地,一個封閉圖形，首尾連接而成的向量和為零向量．2．若P為線段AB的中點，O為平面內任一點，則eq\o（OP,\s\up6(→)）＝eq\f（1，2)(eq\o（OA,\s\up6(→））＋eq\o(OB,\s\up6(→)））．3。eq\o(OA，\s\up6(→））＝λeq\o（OB,\s\up6（→））＋μeq\o（OC,\s\up6(→))(λ,μ為實數）,若點A，B，C共線，則λ＋μ＝1.題組一思考辨析1．判斷下列結論是否正確(請在括號中打“√"或“×")（1)向量與有向線段是一樣的,因此可以用有向線段來表示向量．（×)(2）|a｜與｜b|是否相等與a，b的方向無關．(√)（3）若a∥b,b∥c，則a∥c.(×）(4)若向量eq\o(AB,\s\up6(→))與向量eq\o（CD,\s\up6(→)）是共線向量,則A，B，C，D四點在一條直線上．（×）（5)當兩個非零向量a,b共線時，一定有b＝λa，反之成立．（√）(6）若兩個向量共線,則其方向必定相同或相反．(×)題組二教材改編2．［P86例4]已知?ABCD的對角線AC和BD相交于點O，且eq\o(OA，\s\up6（→)）＝a,eq\o（OB,\s\up6(→))＝b，則eq\o（DC,\s\up6（→））＝______，eq\o(BC，\s\up6(→)）＝________。（用a，b表示）答案b－a－a－b解析如圖,eq\o（DC,\s\up6(→））＝eq\o（AB,\s\up6（→））＝eq\o（OB,\s\up6(→））－eq\o（OA，\s\up6（→）)＝b－a，eq\o(BC，\s\up6（→）)＝eq\o(OC，\s\up6(→)）－eq\o(OB,\s\up6（→）)＝－eq\o（OA，\s\up6（→)）－eq\o（OB,\s\up6(→））＝－a－b.3．[P108B組T5］在平行四邊形ABCD中，若｜eq\o（AB,\s\up6（→)）＋eq\o(AD,\s\up6(→））｜＝｜eq\o(AB，\s\up6（→））－eq\o（AD,\s\up6（→））|,則四邊形ABCD的形狀為________．答案矩形解析如圖，因為eq\o(AB,\s\up6(→）)＋eq\o(AD，\s\up6（→））＝eq\o（AC，\s\up6（→）)，eq\o（AB，\s\up6（→）)－eq\o(AD，\s\up6(→)）＝eq\o(DB，\s\up6(→))，所以|eq\o(AC,\s\up6(→）)|＝｜eq\o(DB，\s\up6（→））｜。由對角線長相等的平行四邊形是矩形可知,四邊形ABCD是矩形．題組三易錯自糾4．對于非零向量a，b，“a＋b＝0"是“a∥b"的(）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件答案A解析若a＋b＝0，則a＝－b,所以a∥b。若a∥b，則a＋b＝0不一定成立，故前者是后者的充分不必要條件．5．設向量a，b不平行，向量λa＋b與a＋2b平行,則實數λ＝____________.答案eq\f(1,2）解析∵向量a,b不平行，∴a＋2b≠0,又向量λa＋b與a＋2b平行，則存在唯一的實數μ，使λa＋b＝μ(a＋2b）成立,即λa＋b＝μa＋2μb,則eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(λ＝μ,,1＝2μ，))解得λ＝μ＝eq\f（1，2）.6．設D,E分別是△ABC的邊AB，BC上的點，AD＝eq\f(1，2）AB,BE＝eq\f（2，3）BC。若eq\o（DE，\s\up6(→)）＝λ1eq\o（AB,\s\up6(→）)＋λ2eq\o(AC，\s\up6（→))(λ1，λ2為實數),則λ1＋λ2的值為________．答案eq\f（1，2)解析eq\o（DE,\s\up6(→)）＝eq\o(DB，\s\up6（→））＋eq\o（BE，\s\up6(→）)＝eq\f（1,2)eq\o（AB,\s\up6(→）)＋eq\f(2，3）eq\o(BC，\s\up6（→）)＝eq\f（1,2)eq\o(AB,\s\up6（→）)＋eq\f（2，3)(eq\o（BA,\s\up6（→))＋eq\o（AC,\s\up6(→)）)＝－eq\f(1，6)eq\o（AB,\s\up6（→）)＋eq\f(2，3)eq\o(AC，\s\up6(→)），∴λ1＝－eq\f（1,6），λ2＝eq\f（2,3），即λ1＋λ2＝eq\f（1，2)。題型一平面向量的概念1．有下列命題：①兩個相等向量,它們的起點相同,終點也相同;②若|a|＝|b|,則a＝b；③若|eq\o(AB,\s\up6（→)）｜＝｜eq\o（DC，\s\up6（→))｜，則四邊形ABCD是平行四邊形；④若m＝n，n＝k，則m＝k;⑤若a∥b，b∥c，則a∥c；⑥有向線段就是向量，向量就是有向線段．其中，假命題的個數是(）A．2 B．3C．4 D．5答案C解析對于①，兩個相等向量，它們的起點相同，終點也相同，①正確;對于②，若｜a｜＝｜b|，方向不確定，則a，b不一定相等，∴②錯誤；對于③，若｜eq\o（AB,\s\up6(→)）|＝｜eq\o(DC,\s\up6(→)）｜，eq\o(AB，\s\up6(→)）,eq\o（DC，\s\up6(→)）不一定相等，∴四邊形ABCD不一定是平行四邊形，③錯誤；對于④，若m＝n，n＝k，則m＝k，④正確；對于⑤，若a∥b，b∥c，當b＝0時,a∥c不一定成立,∴⑤錯誤;對于⑥，有向線段不是向量，向量可以用有向線段表示,∴⑥錯誤．綜上，假命題是②③⑤⑥，共4個，故選C。2．設a0為單位向量，①若a為平面內的某個向量，則a＝|a|a0；②若a與a0平行，則a＝｜a|a0；③若a與a0平行且|a|＝1，則a＝a0.上述命題中,假命題的個數是(）A．0B．1 C．2D．3答案D解析向量是既有大小又有方向的量，a與｜a｜a0的模相同，但方向不一定相同，故①是假命題;若a與a0平行，則a與a0的方向有兩種情況:一是同向,二是反向，反向時a＝－|a｜a0，故②③也是假命題．綜上所述，假命題的個數是3.

思維升華向量有關概念的關鍵點（1)向量定義的關鍵是方向和長度．（2)非零共線向量的關鍵是方向相同或相反,長度沒有限制．（3)相等向量的關鍵是方向相同且長度相等．(4)單位向量的關鍵是長度都是一個單位長度．（5）零向量的關鍵是長度是0,規定零向量與任何向量共線．題型二平面向量的線性運算命題點1向量的線性運算典例（1）(2018屆貴州遵義航天高級中學一模）如圖所示，向量eq\o(OA,\s\up6（→））＝a，eq\o（OB，\s\up6(→))＝b，eq\o（OC，\s\up6(→)）＝c，A，B，C在一條直線上，且eq\o（AC,\s\up6(→))＝－3eq\o(CB，\s\up6（→）），則（）A．c＝eq\f(3，2)b－eq\f（1，2)a B．c＝eq\f(3,2)a－eq\f(1,2)bC．c＝－a＋2b D．c＝a＋2b答案A解析由eq\o(AC,\s\up6(→)）＝－3eq\o(CB，\s\up6（→)），可得eq\o(OC,\s\up6（→)）－eq\o（OA，\s\up6（→))＝－3(eq\o（OB，\s\up6（→))－eq\o（OC，\s\up6(→)）)，則eq\o（OC,\s\up6(→)）＝eq\f(3，2)eq\o(OB,\s\up6（→))－eq\f(1,2）eq\o(OA，\s\up6(→）)＝eq\f(3，2)b－eq\f（1，2)a，故選A。(2）（2017·青海西寧一模)如圖,在△ABC中，點D在BC邊上,且CD＝2DB,點E在AD邊上，且AD＝3AE,則用向量eq\o(AB，\s\up6(→)），eq\o（AC,\s\up6（→）)表示eq\o(CE,\s\up6(→)）為()A．eq\f(2，9）eq\o(AB，\s\up6(→）)＋eq\f（8,9)eq\o(AC,\s\up6(→）） B．eq\f（2，9)eq\o（AB,\s\up6（→))－eq\f（8，9)eq\o（AC,\s\up6(→））C．eq\f（2,9)eq\o（AB，\s\up6(→）)＋eq\f（7,9）eq\o(AC,\s\up6(→）) D．eq\f（2,9)eq\o(AB，\s\up6(→））－eq\f(7,9)eq\o（AC，\s\up6(→）)答案B解析由平面向量的三角形法則及向量共線的性質可得eq\o(CE，\s\up6(→）)＝eq\o（AE,\s\up6(→）)－eq\o(AC，\s\up6（→)）＝eq\f(1，3)eq\o（AD,\s\up6(→））－eq\o（AC,\s\up6(→)）＝eq\f(1,3）（eq\o(AB，\s\up6（→）)＋eq\f（1,3）eq\o(BC,\s\up6（→）)）－eq\o（AC，\s\up6(→））＝eq\f（1,3）eq\b\lc\[\rc\]（\a\vs4\al\co1(\o（AB,\s\up6(→）)＋\f（1，3）\o（AC，\s\up6(→))－\o(AB，\s\up6（→)）)）－eq\o(AC，\s\up6（→））＝eq\f(2，9）eq\o（AB，\s\up6(→)）－eq\f(8，9)eq\o(AC,\s\up6(→))。命題點2根據向量線性運算求參數典例(1)（2018屆河北省武邑中學調研）如圖，在平行四邊形ABCD中，AC，BD相交于點O，E為線段AO的中點．若eq\o（BE，\s\up6(→）)＝λeq\o(BA，\s\up6（→)）＋μeq\o(BD，\s\up6（→))（λ，μ∈R）,則λ＋μ等于(）A．1B．eq\f(3,4） C．eq\f（2，3）D．eq\f(1,2)答案B解析∵E為線段AO的中點，∴eq\o（BE,\s\up6（→))＝eq\f（1,2)eq\o(BA，\s\up6(→））＋eq\f(1,2)eq\o(BO，\s\up6(→)）＝eq\f(1,2)eq\o(BA，\s\up6(→）)＋eq\f(1,2）eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1，2）\o（BD,\s\up6（→)))）＝eq\f(1,2）eq\o（BA，\s\up6（→))＋eq\f（1，4)eq\o(BD,\s\up6(→）)＝λeq\o（BA，\s\up6(→))＋μeq\o(BD,\s\up6（→）),∴λ＋μ＝eq\f（1，2)＋eq\f(1，4）＝eq\f(3,4）,故選B。（2）在△ABC中,點D在線段BC的延長線上，且eq\o(BC，\s\up6(→））＝3eq\o(CD,\s\up6(→)），點O在線段CD上(與點C，D不重合），若eq\o（AO，\s\up6(→）)＝xeq\o（AB,\s\up6(→))＋（1－x）eq\o（AC,\s\up6（→)），則x的取值范圍是(）A．eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(0，\f（1，2））） B．eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（0,\f（1，3））)C．eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（－\f（1，2)，0)) D．eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（－\f（1，3），0）)答案D解析設eq\o(CO，\s\up6（→))＝yeq\o(BC,\s\up6（→))，∵eq\o（AO，\s\up6（→)）＝eq\o（AC,\s\up6(→)）＋eq\o(CO，\s\up6（→))＝eq\o(AC,\s\up6（→）)＋yeq\o（BC,\s\up6(→）)＝eq\o（AC,\s\up6(→）)＋y(eq\o（AC,\s\up6（→))－eq\o(AB,\s\up6(→)))＝－yeq\o（AB,\s\up6（→））＋(1＋y)eq\o（AC,\s\up6(→)）.∵eq\o(BC，\s\up6（→)）＝3eq\o(CD,\s\up6(→）），點O在線段CD上(與點C，D不重合），∴y∈eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(0，\f(1，3)）)，∵eq\o（AO，\s\up6(→））＝xeq\o（AB,\s\up6(→））＋（1－x)eq\o（AC，\s\up6（→）)，∴x＝－y，∴x∈eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（－\f(1，3），0))。

思維升華平面向量線性運算問題的常見類型及解題策略(1）向量加法或減法的幾何意義．向量加法和減法均適合三角形法則．（2)求已知向量的和．一般共起點的向量求和用平行四邊形法則;求差用三角形法則；求首尾相連向量的和用三角形法則．(3)求參數問題可以通過研究向量間的關系，通過向量的運算將向量表示出來，進行比較，求參數的值．跟蹤訓練(1）（2017·江西贛州二模)如圖，已知eq\o（AB，\s\up6(→）)＝a,eq\o（AC,\s\up6(→）)＝b,eq\o（DC,\s\up6（→））＝3eq\o(BD，\s\up6(→)),eq\o（AE,\s\up6(→））＝2eq\o(EC,\s\up6（→）），則eq\o（DE,\s\up6(→））等于（)A．eq\f(3，4)b－eq\f(1，3）a B．eq\f(5,12)a－eq\f（3，4）bC．eq\f(3，4）a－eq\f(1，3）b D．eq\f(5，12)b－eq\f(3,4）a答案D解析由平面向量的三角形法則可知，eq\o(DE，\s\up6(→）)＝eq\o（DC，\s\up6（→））＋eq\o(CE，\s\up6（→)）＝eq\f(3,4)eq\o（BC,\s\up6(→））＋eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（－\f（1，3)\o(AC，\s\up6(→)）))＝eq\f(3,4)(eq\o(AC，\s\up6(→）)－eq\o（AB,\s\up6（→）)）－eq\f(1,3)eq\o（AC,\s\up6（→)）＝－eq\f(3,4）eq\o（AB，\s\up6(→)）＋eq\f(5，12）eq\o（AC,\s\up6（→)）＝－eq\f(3,4)a＋eq\f(5,12)b，故選D。（2）如圖，直線EF與平行四邊形ABCD的兩邊AB，AD分別交于E，F兩點，且與對角線AC交于點K，其中，eq\o（AE,\s\up6（→)）＝eq\f（2,5)eq\o（AB，\s\up6（→)),eq\o（AF，\s\up6（→))＝eq\f（1，2）eq\o(AD，\s\up6(→）），eq\o(AK,\s\up6（→））＝λeq\o（AC，\s\up6(→））,則λ的值為______．答案eq\f(2，9)解析∵eq\o（AE，\s\up6（→））＝eq\f(2,5)eq\o(AB，\s\up6（→))，eq\o（AF,\s\up6（→）)＝eq\f（1,2）eq\o（AD,\s\up6（→）），∴eq\o（AB,\s\up6（→）)＝eq\f(5,2)eq\o(AE，\s\up6(→)），eq\o（AD，\s\up6(→））＝2eq\o（AF,\s\up6（→）).由向量加法的平行四邊形法則可知，eq\o（AC,\s\up6（→))＝eq\o（AB，\s\up6(→)）＋eq\o（AD，\s\up6（→))，∴eq\o(AK，\s\up6（→)）＝λeq\o（AC,\s\up6（→）)＝λ（eq\o(AB,\s\up6（→)）＋eq\o（AD,\s\up6（→)））＝λeq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（\f(5，2）\o(AE，\s\up6(→)）＋2\o（AF,\s\up6（→)）))＝eq\f（5，2）λeq\o(AE,\s\up6(→))＋2λeq\o(AF，\s\up6(→）），∵E，F，K三點共線，∴eq\f（5，2)λ＋2λ＝1,∴λ＝eq\f(2，9).題型三共線向量定理的應用典例設兩個非零向量a與b不共線．(1)若eq\o（AB，\s\up6(→）)＝a＋b,eq\o（BC,\s\up6(→））＝2a＋8b,eq\o（CD,\s\up6（→))＝3（a－b)，求證：A，B，D三點共線；(2)試確定實數k，使ka＋b和a＋kb共線．（1）證明∵eq\o(AB，\s\up6(→）)＝a＋b，eq\o(BC,\s\up6(→））＝2a＋8b，eq\o(CD，\s\up6(→）)＝3(a－b），∴eq\o(BD，\s\up6(→）)＝eq\o(BC，\s\up6(→））＋eq\o（CD，\s\up6(→））＝2a＋8b＋3(a－b）＝2a＋8b＋3a－3b＝5(a＋b）＝5eq\o(AB,\s\up6(→)），∴eq\o(AB,\s\up6(→)），eq\o(BD，\s\up6(→)）共線．又∵它們有公共點B，∴A，B，D三點共線．(2)解假設ka＋b與a＋kb共線,則存在實數λ,使ka＋b＝λ(a＋kb)，即(k－λ）a＝（λk－1)b.又a，b是兩個不共線的非零向量,∴k－λ＝λk－1＝0。消去λ,得k2－1＝0，∴k＝±1.引申探究若將本例（1)中“eq\o（BC,\s\up6(→))＝2a＋8b"改為“eq\o（BC，\s\up6（→))＝a＋mb”,則m為何值時，A，B,D三點共線？解eq\o（BC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＝(a＋mb)＋3(a－b）＝4a＋(m－3）b，即eq\o（BD，\s\up6(→））＝4a＋（m－3）b。若A,B，D三點共線，則存在實數λ，使eq\o(BD,\s\up6（→)）＝λeq\o(AB,\s\up6(→））。即4a＋(m－3)b＝λ(a＋b)．∴eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1(4＝λ，,m－3＝λ,））解得m＝7.故當m＝7時，A，B，D三點共線．思維升華(1)證明三點共線問題,可用向量共線解決，但應注意向量共線與三點共線的區別與聯系．當兩向量共線且有公共點時，才能得出三點共線．（2)向量a，b共線是指存在不全為零的實數λ1，λ2，使λ1a＋λ2b＝0成立，若λ1a＋λ2b＝0，當且僅當λ1＝λ2＝0時成立，則向量a，b不共線．跟蹤訓練（1)(2017·資陽模擬)已知向量eq\o（AB,\s\up6(→））＝a＋3b，eq\o（BC，\s\up6（→）)＝5a＋3b，eq\o（CD，\s\up6（→））＝－3a＋3b，則（）A．A，B,C三點共線 B．A，B,D三點共線C．A,C,D三點共線 D．B，C，D三點共線答案B解析∵eq\o（BD，\s\up6(→))＝eq\o（BC,\s\up6（→)）＋eq\o(CD,\s\up6（→））＝2a＋6b＝2(a＋3b)＝2eq\o（AB，\s\up6(→)),∴eq\o(BD,\s\up6（→)），eq\o（AB，\s\up6（→）)共線，又有公共點B,∴A，B，D三點共線．故選B.（2)已知A，B，C是直線l上不同的三個點,點O不在直線l上，則使等式x2eq\o(OA，\s\up6(→）)＋xeq\o(OB，\s\up6(→)）＋eq\o（BC，\s\up6(→）)＝0成立的實數x的取值集合為()A．｛0} B．?C．｛－1｝ D．{0，－1}答案C解析∵eq\o(BC，\s\up6(→））＝eq\o(OC，\s\up6（→))－eq\o(OB，\s\up6（→)），∴x2eq\o(OA,\s\up6(→）)＋xeq\o(OB，\s\up6(→)）＋eq\o(OC，\s\up6（→))－eq\o（OB，\s\up6（→))＝0，即eq\o(OC,\s\up6(→))＝－x2eq\o(OA,\s\up6（→)）－（x－1)eq\o(OB,\s\up6(→))，∵A，B，C三點共線,∴－x2－（x－1)＝1，即x2＋x＝0,解得x＝0或x＝－1.容易忽視的零向量典例下列敘述錯誤的是________．(填序號)①若非零向量a與b方向相同或相反，則a＋b與a，b之一的方向相同；②｜a|＋｜b｜＝｜a＋b|?a與b方向相同；③向量b與向量a共線的充要條件是有且只有一個實數λ,使得b＝λa；④eq\o(AB,\s\up6（→）)＋eq\o（BA，\s\up6(→)）＝0；⑤若λa＝λb，則a＝b.錯解展示：④中兩個向量的和仍是一個向量，所以eq\o(AB，\s\up6（→）)＋eq\o（BA,\s\up6(→))＝0。錯誤答案④現場糾錯解析對于①，當a＋b＝0時，其方向任意，它與a，b的方向都不相同．對于②，當a，b之一為零向量時結論不成立．對于③，當a＝0且b＝0時，λ有無數個值；當a＝0但b≠0或a≠0但b＝0時，λ不存在．對于④，由于兩個向量之和仍是一個向量，所以eq\o（AB，\s\up6（→））＋eq\o（BA，\s\up6（→）)＝0.對于⑤，當λ＝0時,不管a與b的大小與方向如何，都有λa＝λb，此時不一定有a＝b。故①②③④⑤均錯．答案①②③④⑤糾錯心得在考慮向量共線問題時,要注意考慮零向量．1．給出下列命題:①兩個具有公共終點的向量，一定是共線向量；②兩個向量不能比較大小，但它們的模能比較大小;③λa＝0（λ為實數)，則λ必為零；④λ，μ為實數，若λa＝μb，則a與b共線．其中正確的命題的個數為（)A．1 B．2C．3 D．4答案A解析因為兩個向量終點相同，起點若不在一條直線上,則也不共線,命題①錯誤；由于兩個向量不能比較大小，但它們的模能比較大小，因此②是正確的；若λa＝0(λ為實數），則a也可以為零向量,因此命題③是錯誤的；若λ，μ為0，盡管有λa＝μb，則a與b也不一定共線，即命題④是錯誤的，故選A.2．（2018·安徽淮北第一中學最后一卷)設a，b都是非零向量，下列四個條件，使eq\f(a，｜a｜）＝eq\f(b,|b｜）成立的充要條件是()A．a＝b B．a＝2bC．a∥b且｜a|＝｜b｜ D．a∥b且方向相同答案D解析eq\f（a，｜a｜)表示a方向的單位向量，因此eq\f(a，|a|)＝eq\f（b，|b|）的充要條件是a與b同向即可，故選D。3．（2018·四川樂山調研)如圖，已知AB是圓O的直徑，點C，D是半圓弧的兩個三等分點，eq\o(AB,\s\up6（→））＝a,eq\o(AC,\s\up6(→）)＝b，則eq\o(AD,\s\up6（→))等于()A．a－eq\f(1,2)b B．eq\f（1，2)a－bC．a＋eq\f(1,2)b D．eq\f(1,2)a＋b答案D解析連接OC，OD，CD,由點C，D是半圓弧的三等分點,可得∠AOC＝∠COD＝∠BOD＝60°，且△OAC和△OCD均為邊長等于圓O半徑的等邊三角形，所以四邊形OACD為菱形，所以eq\o(AD,\s\up6（→）)＝eq\o（AO,\s\up6（→))＋eq\o（AC,\s\up6(→)）＝eq\f（1,2）eq\o(AB，\s\up6（→））＋eq\o(AC,\s\up6(→））＝eq\f(1,2）a＋b,故選D.4．已知eq\o(AB,\s\up6(→)）＝a＋2b，eq\o(BC,\s\up6(→)）＝－5a＋6b，eq\o(CD，\s\up6（→))＝7a－2b,則下列一定共線的三點是()A．A,B，C B．A，B，DC．B,C，D D．A,C，D答案B解析因為eq\o（AD,\s\up6(→）)＝eq\o(AB，\s\up6（→))＋eq\o(BC，\s\up6(→）)＋eq\o(CD,\s\up6（→））＝3a＋6b＝3(a＋2b)＝3eq\o(AB,\s\up6(→）），又eq\o(AB，\s\up6（→))，eq\o（AD，\s\up6（→))有公共點A,所以A，B，D三點共線．5．(2018·濟寧模擬）如圖所示，在△ABC中，點O是BC的中點，過點O的直線分別交直線AB，AC于不同的兩點M，N，若eq\o（AB,\s\up6(→）)＝meq\o(AM,\s\up6(→）），eq\o（AC,\s\up6(→））＝neq\o(AN，\s\up6（→)），則m＋n的值為（)A．1 B．2C．3 D．4答案B

解析∵O為BC的中點,∴eq\o（AO,\s\up6（→）)＝eq\f（1，2)（eq\o（AB，\s\up6（→))＋eq\o(AC，\s\up6（→))）＝eq\f（1，2)（meq\o(AM，\s\up6(→））＋neq\o（AN,\s\up6（→))）＝eq\f（m,2)eq\o（AM,\s\up6(→)）＋eq\f（n,2）eq\o(AN,\s\up6（→）），∵M，O,N三點共線，∴eq\f(m，2）＋eq\f（n，2）＝1，∴m＋n＝2。6．(2018屆南寧二中、柳州高中聯考）已知a,b是不共線的向量，eq\o(AB,\s\up6(→)）＝λa＋2b，eq\o(AC,\s\up6（→))＝a＋（λ－1）b，且A,B，C三點共線，則λ等于（)A．－1 B．－2C．－2或1 D．－1或2答案D解析由于A，B，C三點共線，故eq\o(AB，\s\up6(→))＝μeq\o（AC,\s\up6(→）），即λ·（λ－1)－2×1＝0，解得λ＝－1或2。故選D。7．已知兩個非零向量a，b滿足｜a＋b｜＝|a－b｜，則下列結論正確的是________．（填序號）①a∥b；②a⊥b；③｜a｜＝｜b|；④a＋b＝a－b。答案②解析根據向量加法、減法的幾何意義可知，｜a＋b|與｜a－b｜分別為以向量a，b為鄰邊的平行四邊形的兩條對角線的長，因為｜a＋b｜＝|a－b｜，所以該平行四邊形為矩形，所以a⊥b.8．(2018·青島質檢）已知D，E，F分別為△ABC的邊BC，CA，AB的中點,且eq\o(BC,\s\up6（→)）＝a，eq\o(CA,\s\up6(→)）＝b，給出下列命題：①eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)a－b;②eq\o(BE，\s\up6(→））＝a＋eq\f(1,2）b；③eq\o(CF,\s\up6（→））＝－eq\f（1，2)a＋eq\f(1,2）b；④eq\o（AD,\s\up6（→））＋eq\o(BE,\s\up6(→））＋eq\o（CF，\s\up6(→)）＝0。其中正確命題的序號為________．答案②③④解析eq\o(BC，\s\up6（→）)＝a，eq\o(CA，\s\up6(→））＝b,eq\o（AD,\s\up6（→)）＝eq\f(1,2）eq\o（CB，\s\up6(→)）＋eq\o（AC,\s\up6（→)）＝－eq\f（1,2)a－b，eq\o（BE，\s\up6(→))＝eq\o（BC,\s\up6(→))＋eq\f（1，2）eq\o(CA,\s\up6(→))＝a＋eq\f（1,2）b，eq\o（CF,\s\up6(→))＝eq\f(1，2)（eq\o（CB,\s\up6（→)）＋eq\o（CA,\s\up6(→))）＝eq\f（1,2)（－a＋b）＝－eq\f（1,2)a＋eq\f(1，2）b，所以eq\o(AD，\s\up6（→))＋eq\o（BE，\s\up6(→))＋eq\o(CF,\s\up6（→)）＝－b－eq\f(1,2）a＋a＋eq\f(1，2)b＋eq\f(1,2）b－eq\f（1,2）a＝0。所以正確命題的序號為②③④。9．（2018·遼寧大連雙基測試)在銳角△ABC中，eq\o（CM,\s\up6（→））＝3eq\o（MB,\s\up6（→））,eq\o(AM，\s\up6(→））＝xeq\o（AB，\s\up6（→)）＋yeq\o(AC,\s\up6(→))，則eq\f（x,y）＝________.答案3解析由題設可得eq\o（CA,\s\up6(→））＋eq\o(AM,\s\up6（→））＝3(eq\o(AB，\s\up6(→))－eq\o（AM,\s\up6（→)））,即4eq\o(AM,\s\up6（→））＝3eq\o(AB,\s\up6（→))＋eq\o（AC,\s\up6(→))，亦即eq\o(AM,\s\up6（→))＝eq\f(3，4)eq\o(AB，\s\up6(→）)＋eq\f(1,4)eq\o(AC,\s\up6（→）），則x＝eq\f（3，4），y＝eq\f（1,4）,故eq\f(x,y)＝3.10．在直角梯形ABCD中，A＝90°,B＝30°，AB＝2eq\r（3),BC＝2，點E在線段CD上，若eq\o(AE，\s\up6（→）)＝eq\o(AD,\s\up6（→)）＋μeq\o(AB,\s\up6(→）），則μ的取值范圍是________．答案eq\b\lc\［\rc\]（\a\vs4\al\co1（0，\f（1，2）））解析由題意可求得AD＝1，CD＝eq\r（3）,∴eq\o（AB,\s\up6(→))＝2eq\o（DC,\s\up6（→))，∵點E在線段CD上,∴eq\o(DE,\s\up6（→））＝λeq\o（DC,\s\up6（→））（0≤λ≤1）．∵eq\o(AE，\s\up6(→))＝eq\o（AD，\s\up6(→)）＋eq\o（DE，\s\up6(→))，又eq\o（AE，\s\up6(→）)＝eq\o(AD，\s\up6(→）)＋μeq\o（AB，\s\up6(→))＝eq\o(AD，\s\up6（→））＋2μeq\o(DC，\s\up6（→)）＝eq\o（AD，\s\up6（→））＋eq\f(2μ，λ）eq\o(DE，\s\up6(→))，∴eq\f(2μ,λ）＝1，即μ＝eq\f（λ，2)，∵0≤λ≤1，∴0≤μ≤eq\f(1，2)。即μ的取值范圍是eq\b\lc\[\rc\］（\a\vs4\al\co1(0，\f（1，2)）).11．（2018·重慶調研）如圖所示,在△ABC中，D，F分別是AB，AC的中點，BF與CD交于點O,設eq\o（AB，\s\up6(→))＝a,eq\o（AC，\s\up6（→）)＝b,試用a，b表示向量eq\o（AO,\s\up6(→）).解由D，O，C三點共線，可設eq\o（DO，\s\up6（→）)＝k1eq\o(DC，\s\up6（→)）＝k1（eq\o（AC,\s\up6（→)）－eq\o(AD，\s\up6(→))）＝k1eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（b－\f（1,2)a))＝－eq\f（1，2）k1a＋k1b（k1為實數)，同理,可設eq\o（BO，\s\up6(→))＝k2eq\o（BF，\s\up6（→）)＝k2(eq\o(AF,\s\up6（→））－eq\o（AB，\s\up6（→)）)＝k2eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（\f（1，2）b－a））＝－k2a＋eq\f(1，2）k2b（k2為實數)，①又eq\o（BO，\s\up6（→))＝eq\o(BD，\s\up6(→））＋eq\o(DO,\s\up6(→)）＝－eq\f（1,2)a＋eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（－\f(1，2）k1a＋k1b))＝－eq\f(1,2）(1＋k1)a＋k1b,②所以由①②，得－k2a＋eq\f(1,2）k2b＝－eq\f(1,2）(1＋k1)a＋k1b，即eq\f(1，2）（1＋k1－2k2)a＋eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f（1，2）k2－k1））b＝0。又a，b不共線，所以eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（\f(1,2）1＋k1－2k2＝0,，\f(1,2)k2－k1＝0，）)解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（k1＝\f(1，3），,k2＝\f(2，3）.）)所以eq\o(BO，\s\up6（→))＝－eq\f（2，3)a＋eq\f(1,3)b.所以eq\o(AO，\s\up6（→))＝eq\o（AB，\s\up6（→）)＋eq\o（BO,\s\up6（→)）＝a＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,3）a＋\f(1，3）b））＝eq\f(1,3）（a＋b)．12．設a，b是不共線的兩個非零向量．（1)若eq\o（OA,\s\up6(→）)＝2a－b，eq\o（OB,\s\up6（→))＝3a＋b，eq\o（OC,\s\up6（→））＝a－3b,求證：A，B，C三點共線；（2）若eq\o（AB,\s\up6（→))＝a＋b，eq\o(BC,\s\up6（→))＝2a－3b，eq\o(CD，\s\up6(→））＝2a－kb，且A,C，D三點共線，求k的值．（1)證明由已知得，eq\o(AB，\s\up6（→）)＝eq\o（OB，\s\up6（→）)－eq\o(OA,\s\up6(→）)＝3a＋b－2a＋b＝a＋2b，eq\o（BC,\s\up6（→)）＝eq\o（OC,\s\up6（→）)－eq\o（OB,\s\up6(→）)＝a－3b－3a－b＝－2a－4b，故eq\o(BC，\s\up6(→））＝－2eq\o(AB，\s\up6（→)),又eq\o（BC,\s\up6（→））與eq\o(AB，\s\up6（→）)有公共點B，所以A，B，C三點共線．（2)解eq\o(AC，\s\up6(→)）＝eq\o（AB，\s\up6(→）)＋eq\o（BC，\s\up6（→））＝3a－2b,eq\o（CD，\s\up6（→））＝2a－kb.因為A，C，D三點共線，所以eq\o(AC，\s\up6(→))＝λeq\o(CD,\s\up6(→）)，即3a－2b＝2λa－kλb，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3＝2λ，,2＝kλ，）)所以eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（λ＝\f（3，2），,k＝\f(4，3）.））綜上,k的值為eq\f（4，3）.13．（2017·安徽馬鞍山質檢)已知P,Q為△ABC中不同的兩點，且3eq\o（PA,\s\up6（→))＋2eq\o（PB，\s\up6（→))＋eq\o（PC,\s\up6(→)）＝0，eq\o(QA，\s\up6（→))＋eq\o（QB，\s\up6(→)）＋eq\o（QC，\s\up6（→)）＝0，則S△PAB∶S△QAB為(）A．1∶2 B．2∶1C．2∶3 D．3∶2答案A解析因為3eq\o（PA,\s\up6(→))＋2eq\o(PB，\s\up6（→)）＋eq\o（PC，\s\up6（→）)＝2（eq\o（PA，\s\up6(→))＋eq\o(PB，\s\up6（→）)）＋eq\o（PA，\s\up6（→）)＋eq\o（PC,\s\up6（→)）＝0,所以P在與BC平行的中位線上，且是該中位線上的一個三等分點,可得S△PAB＝eq\f(1,6）S△ABC，eq\o(QA,\s\up6(→））＋eq\o（QB，\s\up6(→)）＋eq\o（QC，\s\up6（→）)＝0，可得Q是△ABC的重心，因此S△QAB＝eq\f（1，3）S△ABC，S△PAB∶S△QAB＝1∶2，故選A.14．（2018·泉州模擬)已知點D為△ABC所在平面上一點,且滿足eq\o（AD,\s\up6(→））＝eq\f(1,5)eq\o（AB，\s\up6（→))－eq\f（4,5)eq\o（CA,\s\up6（→)),若△ACD的面積為1，則△ABD的面積為________．答案4解析由eq\o（AD，\s\up6(→))＝eq\f(1,5）eq\o(AB,\s\up6（→)）－eq\f(4