第2講基本初等函數、函數與方程及函數的應用 [做真題]1．(2017·高考全國卷Ⅱ)函數f(x)＝ln(x2－2x－8)的單調遞增區間是()CD．(4,＋∞)解析：選D。由x2－2x－8〉0,得x〈－2或x〉4。因此，函數f(x)＝ln(x2－2x－8)的定義域是(－∞，－2)∪(4，＋∞)．注意到函數y＝x2－2x－8在(4，＋∞)上單調遞增，由復合函數的單調性知,f(x)＝ln(x2－2x－8)的單調遞增區間是(4，＋∞)，選D。2．(2019·高考全國卷Ⅲ)函數f(x)＝2sinx－sin2x在[0，2π]的零點個數為 ()解析:選B.f(x)＝2sinx－2sinxcosx＝2sinx(1－cosx)，令f(x)＝0，則sinx＝0或cosx＝1，所以x＝kπ(k∈Z),又x∈[0，2π],所以x＝0或x＝π或x＝2π.故選B。3．(2019·高考全國卷Ⅲ)設f(x)是定義域為R的偶函數，且在(0，＋∞)單調遞減，則()A．f錯誤!＞f錯誤!＞f錯誤!Bf錯誤!＞f錯誤!＞f錯誤!Cff!＞f錯誤!ff數y＝log3x在(0，＋∞)上是增函數，所以log3錯誤!<log3錯誤!＝－1。因為函數f(x)是偶函數,所以f(－x)＝f(x)．因為函數f(x)在(0，＋∞)上單調遞減，且0〈2－錯誤!<2－[明考情]上基本初等函數的圖象及性質(綜合型)[知識整合]指數與對數式的8個運算公式 (1)am·an＝am＋n。 (6)logaMn＝nlogaM。 (8)logaN＝錯誤!。注：(1)(2)(3)中，a>0，b>0;(4)(5)(6)(7)(8)中,a>0且a≠1，b>0且b≠1， [典型例題] (1)(2019·湖南省五市十校聯考)若f(x)＝e－aex－x為奇函數，則滿足f(x－1)〉錯誤!－e2的x的取值范圍是()(2)(2018·高考全國卷Ⅲ)已知函數f(x)＝ln(錯誤!－x)＋1，f(a)＝4，則f(－a)【解析】(1)由f(x)＝e－aex－x為奇函數，得f(－x)＝－f(x),即e－x－aex＝ae－x－ex,得a＝1，所以f(x)＝e－ex－x，則f(x)在R上單調遞增，又f(x－1)〉錯誤!－e2＝f(－2),所以x－1>－2,解得x>－1，故選B. (2)由f(a)＝ln(錯誤!－a)＋1＝4，得ln(錯誤!－a)＝3，所以f(－a)＝ln(錯誤!＋【答案】(1)B(2)－2質應注意的問題(1)指數函數、對數函數的圖象和性質受底數a的影響,解決與指數、對數函數特別是與(2)研究對數函數的性質,應注意真數與底數的限制條件．如求f(x)＝ln(x2－3x＋2)的單調區間，只考慮t＝x2－3x＋2與函數y＝lnt的單調性，易忽視t>0的限制條件． [對點訓練] ()〈b<a.故選A.2．已知函數f(x)＝logax(a>0且a≠1)滿足f(錯誤!)>f(錯誤!)，則f(1－錯誤!)>0的解集為()解析:選C。因為函數f(x)＝logax(a〉0且a≠1)在(0，＋∞)上為單調函數，而錯誤!<錯誤!且f(錯誤!)〉f(錯誤!)，所以f(x)＝logax在(0，＋∞)上單調遞減,結合對數函數函數的零點(綜合型)[知識整合]對于函數f(x),使f(x)＝0的實數x叫做函數f(x)的零點．函數F(x)＝f(x)－g (x)的零點就是方程f(x)＝g(x)的根，即函數y＝f(x)的圖象與函數y＝g(x)的圖象交點如果函數y＝f(x)在區間[a，b]上的圖象是連續不斷的一條曲線，并且有f(a)·f (b)<0，那么函數y＝f(x)在區間(a，b)內有零點，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，這個c也就是方程f(x)＝0的根． [典型例題] (1)(2018·福建市第一學期高三期末考試)已知函數f(x)＝錯誤!則函數y＝f(x)＋3x的零點個數是() (2)(2019·江西八所重點中學聯考)已知f(x)＝錯誤!，若關于x的方程a＝f(x)恰有兩個不同的實根，則實數a的取值范圍是()【解析】(1)令f(x)＋3x＝0，則錯誤!或錯誤!解得x＝0或x＝－1，所以函數y＝f(x)＋3x的零點個數是2.故選C.(2)關于x的方程a＝f(x)恰有兩個不同的實根，即函數f(x)的圖象與直線y＝a恰有兩個不同的交點，作出函數f(x)的圖象如圖所示，由圖象可得實數a的取值范圍是錯誤!∪錯誤!值范圍的方法(1)利用零點存在的判定定理構建不等式求解．(2)分離參數后轉化為求函數的值域(最值)問題求解．[對點訓練]1．已知實數a>1，0〈b〈1,則函數f(x)＝ax＋x－b的零點所在的區間是()CD．(1,2)－1－b<0，f(0)＝1－b>0，則由零點存在性定理可知f(x)在區間(－1，0)上存在零點．2．已知在區間(0，2]上的函數f(x)＝錯誤!且g(x)＝f(x)－mx在區間(0，2]內有且僅有兩個不同的零點，則實數m的取值范圍是()解析：選A。由函數g(x)＝f(x)－mx在(0，2]內有且僅有兩個不同的零點,得y＝f(x)，y＝mx在(0，2]內的圖象有且僅有兩個不同的交點．當y＝mx與y＝錯誤!－3在x∈ 或0〈m≤錯誤!時，函數g(x)＝f(x)－mx在(0，2]內有且僅有兩個不同的零點．函數的實際應用(綜合型) [知識整合]求解方法(2)構建分段函數模型,應用分段函數分段求解的方法．(3)構建f(x)＝x＋(a>0)模型，常用基本不等式、導數等知識求解． [典型例題] (2019·高考北京卷)在天文學中,天體的明暗程度可以用星等或亮度來描述．兩顆10.1lgmm的值分別代入上式得，－1.45－(－26.7)＝錯誤!lg錯誤!，得lg錯誤!＝10.1，所以錯誤!＝1010.1，故選A.錯誤!般程序和解題關鍵讀題(1)一般程序：文字語言?錯誤!?錯誤!?錯誤!。 (2)解題關鍵：解答這類問題的關鍵是確切地建立相關函數解析式，然后應用函數、方[對點訓練]1．某工廠某種產品的年固定成本為250萬元，每生產x千件該產品需另投入的成本為G (x)(單位:萬元)，當年產量不足80千件時，G(x)＝x2＋10x；當年產量不小于80千件廠生產的產品能全部售完，則該工廠在這一產品的生產中所獲年利潤的最大值是________萬所以x千件產品的銷售額為0.05×1000x＝50x萬元．①當0<x〈80時，年利潤L(x)＝x②當x≥80時，L(x)＝50x－51x－錯誤!＋1450－250＝1200－錯誤!≤1200－2錯誤!＝200＝1000，當且僅當x＝錯誤!,即x＝100時，L(x)取得最大值1000萬元．由于所以當產量為100千件時,該工廠在這一產品的生產中所獲年利潤最大，最大年利潤為12．某工廠產生的廢氣經過過濾后排放，過濾過程中廢氣的污染物數量P(毫克/升)與時間t(小時)的關系為P＝P0e－kt。如果在前5小時消除了10％的污染物，那么污染物減少間為________小時．0.81P0，代入得0.81＝(0.9錯誤!)t，解得t＝10，即需要花費10小時．1．冪函數的圖象經過點錯誤!,則它的單調遞增區間是()A．(0,＋∞)B．[0，＋∞)單調遞增區間是(－∞，0)．故選D。2．函數f(x)＝－|x|－錯誤!＋3的零點所在區間為()錯誤!<0,所以f(1)f(2)<0，可知函數f(x)＝－|x|－錯誤!＋3的零點所在區間為(1,2)．3．(2019·蓉城名校第一次聯考)已知函數f(x)＝錯誤!,則f(f(log36))＝()解析：選B.因為log36〉1，所以f(log36)＝3log36－8＝－2,所以f(f(log36))＝f (－2)＝錯誤!錯誤!＋log4(2＋2)＝錯誤!＋1＝錯誤!.故選B.4．(2019·廣州市綜合檢測(一))如圖，一高為H且裝滿水的魚缸,其底部裝有一排水小孔，當小孔打開時,水從孔中勻速流出,水 ()后快，故選B.xlnylogze)〈f2錯誤!,則f(a)，f(b),f(c)的大小關系是()AfafbfcBfb)>f(c)〉f(a)afcD的所有零點之和等于()解析：選C.f(x)＝sinx－sin3x＝sin(2x－x)－sin(2x＋x)＝－2cos2xsinx,令f(x)＝0,可得cos2x＝0或sinx＝0，因為x∈[0，2π]，所以2x∈[0，4π]，由cos2x＝0可得2x＝錯誤!或2x＝錯誤!或2x＝錯誤!或2x＝錯誤!,所以x＝錯誤!或x＝錯誤!或x＝錯誤!或x＝錯誤!，由sinx＝0可得x＝0或x＝π或x＝2π，因為錯誤!＋錯誤!＋錯誤!＋錯誤!＋0＋π＋2π＝7π，所以f(x)的所有零點之和等于7π,故選C.8．(2019·重慶市學業質量調研)已知函數f(x)＝2x＋log3錯誤!，若不等式f錯誤!>3成立，則實數m的取值范圍是()解析：選D。由錯誤!>0得x∈(－2，2)，又y＝2x在(－2,2)上單調遞增，y＝log3錯誤!＝log3錯誤!＝log3錯誤!在(－2，2)上單調遞增，所以函數f(x)為增函數，又f(1)＝.9．已知函數f(x)是定義在R上的奇函數，且在區間[0，＋∞)上單調遞增，若錯誤! (1),則x的取值范圍是()解析：選C.因為函數f(x)是定義在R上的奇函數,所以f(lnx)－f錯誤!＝f(lnx)－f(－lnx)＝f(lnx)＋f(lnx)＝2f(lnx)，所以錯誤!〈f(1)等價于|f(lnx)|<f(1),又f(x)在區間[0,＋∞)上單調遞增，10．(2019·河北省九校第二次聯考)若函數則k的取值范圍是():選C.令f(x)＝kx－|x－e－x|＝0，得kx＝|x－e－x|，當x〉0時，k＝錯誤!＝錯誤!,令g(x)令g(x)＝1－xex，x〉0，則g′(x)＝x2ex〉0,所以g(x)在(0，＋∞)上單調遞增，因為g (錯誤!)＝1－錯誤!<0，g(1)＝1－錯誤!>0，所以在(錯誤!，1)上存在一個a，使得g(a)＝所以y＝|g(x)|的圖象如圖所示．由題意知，直線y＝k與y＝|g(x)|的圖象有兩個交點，所以0<k〈1，故選C。解析：依題意知,當x－9＝0，即x＝9時,y＝4－1＝3，故定點為(9，3)，所以m＝9，n＝3,故logmn＝log93＝錯誤!.)＝8,則a＝________．f(x)＝－f(－x)＝e－ax，所以f(ln2)＝e－aln2＝錯誤!錯誤!＝8，所以a＝－3。13．某工廠常年生產紅木家具,根據預測可知，該產品近10年的產量平穩增長．記2014年為第1年，且前4年中，第x年與年產量f(x)(單位：萬件)之間的關系如下表所示：x1234xf(x)5.618.870000若f(x)近似符合以下三種函數模型之一:①f(x)＝ax＋b，②f(x)＝2x＋a,③f(x)＝log錯誤!x＋a。則你認為最適合的函數模型的序號為________．解析:若模型為f(x)＝2x＋a，則由f(1)＝21＋a＝4,得a＝2，即f(x)＝2x＋2，此時f(2)＝6，f(3)＝10，f(4)＝18，與表格數據相差太大，不符合；若模型為f(x)＝log錯誤!x＋a，則f(x)是減函數，與表格數據相差太大,不符合；若模型為f(x)＝ax＋b,由已知得錯誤!，解得錯誤!.所以f(x)＝錯誤!x＋錯誤!，x∈N，所以最適合的函數模型的序號為于x的方程f(x)－m＝0恰有三個互不相等的實數根，則實數m的取值范圍是________．解析：由2x－1≤x－1可得x≤0，由2x－1>x－1可得x>0.所以根據題意得f(x)＝錯誤!即f(x)＝錯誤!畫出函數的圖象,從圖象上觀察當關于x的方程f(x)＝m(m∈R)恰有三個互不相等的實時，函數的圖象和直線y＝m有三個不同的交點，再根據函數的極大值為可得m的取值范圍是錯誤!.f錯誤!＝錯誤!，AB資生產這兩種產品的有關數據如表:(單位：萬美元)m8mA產品的原材料價格決x件B產品時需上交0.05x2萬美元的特別關稅．假設 (1)寫出該廠分別投資生產A,B兩種產品的年利潤y1，y2與生產相應產品的件數x之間(2)如何投資最合理(可獲得最大年利潤)？請你做出規劃．分別為y1＝10x－(20＋mx)＝(10－m)x－20,其定義域為{x∈N|0≤x≤200}；y2＝18x－(8x＋40)－0.05x2＝－0。05x2＋10x－40，其定義域為{x∈N|0≤x≤120}．當x＝200時，生產A產品有最大利潤，且y1max＝(10－m)×200－20＝1980－200m(萬美所以當x＝100時，生產B產品有最大利潤，且y2max＝460(萬美元)．所以當6≤m<7.6時，可投資生產A產品200件；當m＝7。6時,生產A產品或生產B產品均可(投資生產A產品200件或生產