6.2.3

組合6.2.4

組合數(shù)復習回顧2.排列數(shù)公式3.全排列

1.排列數(shù)的定義

問題一：從甲、乙、丙3名同學中選出2名去參加某天的一項活動,其中1名同學參加上午的活動,1名同學參加下午的活動，有多少種不同的選法？問題二：從甲、乙、丙3名同學中選出2名去參加某天一項活動，有多少種不同的選法？甲乙，甲丙，乙丙問題引入從已知的3個不同元素中每次取出2個元素,按照一定的順序排成一列.從已知的3個不同元素中每次取出2個元素合成一組有順序無順序排列組合甲乙，乙甲，甲丙，丙甲，乙丙，丙乙探究新知

一般地，從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素作為一組，叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個組合(combination).注意：(1)組合的特點：組合要求n個元素是不同的，取出的m個元素也是不同的，即從n個不同的元素中進行m次不放回地取出.(2)組合的特性：元素的無序性.取出的m個元素不講究順序，即元素沒有位置的要求.組合定義:思考：如何區(qū)分排列問題還是組合問題？排列問題若交換某兩個元素的位置對結(jié)果有影響，則是排列問題，即排列問題與選取的順序有關(guān).組合問題若交換任意兩個元素的位置對結(jié)果沒有影響，則是組合問題，即組合問題與選取的順序無關(guān).練習：校門口停放著9輛共享自行車，其中黃色、紅色和綠色的各有3輛。下面的問題：(1)從中選3輛，有多少種不同的方法？(2)從中選3輛給3位同學，有多少種不同的方法？沒有順序，是組合問題有順序，是排列問題

例題判斷下列各事件是排列問題還是組合問題．(1)從1，2，3，…，9這九個數(shù)字中任取3個，組成一個三位數(shù)，這樣的三位數(shù)共有多少個？(2)從1，2，3，…，9這九個數(shù)字中任取3個,組成一個集合，這樣的集合有多少個？(3)10支球隊進行單循環(huán)賽(每兩隊比賽一次),共需進行多少場次的比賽？(4)10支球隊進行單循環(huán)賽，冠、亞軍獲得情況共有多少種？解：(1)是排列問題，因為取出3個數(shù)字后，如果改變這3個數(shù)字的順序，便會得到不同的三位數(shù)．(2)是組合問題，因為取出3個數(shù)字后，無論怎樣改變這3個數(shù)字的順序，其構(gòu)成的集合都不變．

例題判斷下列各事件是排列問題還是組合問題．(1)從1，2，3，…，9這九個數(shù)字中任取3個，組成一個三位數(shù)，這樣的三位數(shù)共有多少個？(2)從1，2，3，…，9這九個數(shù)字中任取3個,組成一個集合，這樣的集合有多少個？(3)10支球隊進行單循環(huán)賽(每兩隊比賽一次),共需進行多少場次的比賽？(4)10支球隊進行單循環(huán)賽，冠、亞軍獲得情況共有多少種？解：(3)是組合問題，因為每兩隊比賽一次，并不需要考慮誰先誰后，沒有順序的區(qū)別．(4)是排列問題，因為甲隊得冠軍、乙隊得亞軍與甲隊得亞軍、乙隊得冠軍是不一樣的，是有順序區(qū)別的．例5平面內(nèi)有A，B，C，D共4個點.(1)以其中2個點為端點的有向線段共有多少條?(2)以其中2個點為端點的線段共有多少條?分析:(1)確定一條有向線段，不僅要確定兩個端點，還要考慮它們的順序，是排列問題;(2)確定一條線段，只需確定兩個端點，而不需考慮它們的順序，是組合問題.解：結(jié)論：取出2個元素的組合的個數(shù)是排列數(shù)的一半利用排列和組合之間的關(guān)系，以“元素相同”為標準分類，你能建立起例5(1)中排列和(2)中組合之間的對應關(guān)系嗎？進一步地，能否從這種對應關(guān)系出發(fā)，由排列數(shù)求出組合的個數(shù)？？思考

組合數(shù)概念:

前面，我們利用“元素相同、順序不同的兩個組合相同”“元素相同、順序不同的兩個排列不同”，以“元素相同”為標準，建立了排列和組合之間的對應關(guān)系.

組合排列abcabdacdbcdabcbaccabacbbcacbaabdbaddabadbbdadbaacdcaddacadccdadcabcdcbddbcbdccdbdcb

于是，根據(jù)分布乘法計數(shù)原理有于是，根據(jù)分布乘法計數(shù)原理有

于是，根據(jù)分布乘法計數(shù)原理有所以，上面的組合公式還可以寫成這里n，m∈N*，并且m≤n.這個公式叫組合數(shù)公式.

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思考?觀察例6的(1)與(2)，(3)與(4)的結(jié)果，你有什么發(fā)現(xiàn)？(1)與(2)分別用了不同形式的組合數(shù)公式，你對公式的選擇有什么想法？

例7在100件產(chǎn)品中,有98件合格品,2件次品.從這100件產(chǎn)品中任意抽出3件.(1)有多少種不同的抽法？

(2)抽出的3件中恰好有1件是次品的抽法有多少種？解:(1)所有的不同抽法種數(shù)，就是從100件產(chǎn)品中抽出3件的組合數(shù)，所以抽法種數(shù)為

例7在100件產(chǎn)品中,有98件合格品,2件次品.從這100件產(chǎn)品中任意抽出3件.(3)抽出的3件中至少有1件是次品的抽法有多少種？

方法2抽出的3件產(chǎn)品中至少有1件是次品的抽法的種數(shù)，就是從100件中抽出3件的抽法種數(shù)減去3件中都是合格品的抽法的種數(shù)，即

(3)方法1從100件產(chǎn)品抽出的3件中至少有1件是次品,包括有1件次品和有2件次品的情況,因此根據(jù)分類加法計數(shù)原理,抽出的3件產(chǎn)品中至少有1件是次品的抽法的種數(shù)為

解：(1)組合；排列；排列.

題型一：組合的有關(guān)概念以及寫法題型二：簡單的組合應用問題例3.現(xiàn)從10名教師，其中男教師6名，女教師4名.(1)現(xiàn)要從中選2名去參加會議，有多少種不同的選法？(2)選出2名男教師或2名女教師參加會議，有多少種不同的選法？

例3.現(xiàn)從10名教師，其中男教師6名，女教師4名.(3)現(xiàn)要從中選出男、女教師各2名去參加會議，有多少種不同的選法？

方法技巧：解簡單的組合應用題的策略(1)解簡單的組合應用題時，首先要判斷它是不是組合問題，組合問題與排列問題的根本區(qū)別在于排列問題與取出元素之間的順序有關(guān)，而組合問題與取出元素的順序無關(guān).(2)要注意兩個基本原理的運用，即分類與分步的靈活運用.[提醒]在分類和分步時，一定注意有無重復或遺漏.變3.現(xiàn)從10名教師，其中男教師6名，女教師4名.若從中選2名教師參加會議，則(1)至少有1名男教師的選法有幾種？(2)最多有一名男教師的選法有幾種？

課堂小結(jié)(2)如何判斷計數(shù)問題是排列問題還是組合問題？排列問題組合問題若交換某兩個元素的位置對結(jié)果有影響，則是排列問題，即排列問題