什么是數字濾波器（DF）？所謂數字濾波器，是指輸入、輸出均為數字信號，通過一定運算關系改變輸入信號所含頻率成分的相對比例或者濾除某些頻率成分的器件。

數字濾波器和模擬濾波器相同，只是信號的形式和實現濾波方法不同。當前1頁，總共133頁。濾波器在許多技術領域中都被廣泛應用。

模擬濾波器主要處理連續(xù)時間信號；數字濾波器處理離散時間信號和數字信號。數字信號處理的優(yōu)點：

精度和穩(wěn)定性高；改變系統函數比較容易，比較靈活；不存在阻抗匹配問題；便于大規(guī)模集成；可以實現多維濾波。當前2頁，總共133頁。數字濾波器的分類

1.從功能上分：低通、帶通、高通、帶阻。

2.從實現方法上分：FIR、IIR

3.從設計方法上來分：Chebyshev(切比雪夫）,Butterworth（巴特沃斯），…

4.從處理信號來分：經典濾波器、現代濾波器等。當前3頁，總共133頁。數字濾波器的理想低通、高通、帶通、帶阻濾波器幅度特性當前4頁，總共133頁。1.經典濾波器一般的濾波器，特點是輸入信號中有用頻率成分和希望濾除的頻率成分各占有不同的頻帶，通過一個合適的選頻濾波器達到濾波的目的。wc|H(ejw)||X(ejw)|wwc有用無用|Y(ejw)|wwc但是，如果信號的干擾和頻帶互相重疊，則不能完成對干擾的有效濾除。當前5頁，總共133頁。2.現代濾波器

這一類濾波器可按照隨機信號內部的一些統計分布規(guī)律，從干擾中最佳地提取信號。現代濾波器理論源于維納在40年代及其以后的工作，這一類濾波器的代表為：維納濾波器，此外，還有卡爾曼濾波器、線性預測器、自適應濾波器。當前6頁，總共133頁。自適應濾波器原理框圖當前7頁，總共133頁。聲學回聲路徑當前8頁，總共133頁。聲學回聲抵消器(AEC)原理圖當前9頁，總共133頁。AEC系統的自適應回聲抵消效果

當前10頁，總共133頁。當前11頁，總共133頁。研究DF實現結構意義1.濾波器的基本特性（如有限沖激響應FIR與無限沖激響應IIR）決定了結構上有不同的特點。2.不同結構所需的存儲單元及乘法次數不同，前者影響復雜性，后者影響運算速度。3.有限精度實現情況下，不同運算結構的誤差及穩(wěn)定性不同。4.好的濾波器結構應該易于控制濾波器性能，適合于模塊化實現，便于時分復用。當前12頁，總共133頁。數字濾波器一般可用兩種方法實現：根據描述數字濾波器的數學模型或信號流程圖，用數字硬件構成專用的數字信號處理機。編寫濾波器運算程序，在計算機上運行。當前13頁，總共133頁。4.1概述數字濾波器可以用差分方程表示由上述兩個方程就可以得到若干數字濾波器的結構對應的系統函數為當前14頁，總共133頁。

實現數字濾波器時，必須把輸入－輸出關系轉變?yōu)榭蓪崿F的算法。需要３種基本運算單元：

加法器、單位延遲器和常數乘法器。方框圖表示流程圖表示這些單元有方框圖法和流程圖法兩種表示法。當前15頁，總共133頁。

所以數字濾波器也有兩種表示法。例如，一個二階的IIR數字濾波器用差分方程表示為其方框圖和信號流程圖如下圖所示當前16頁，總共133頁。

數字濾波器有無限沖激響應（IIR）和有限沖激響應（FIR）兩種。

一般從以下幾方面區(qū)分兩類系統：

1、IIR系統的系統函數為系統有極點有FIR系統的系統函數為所有系統只有零點當前17頁，總共133頁。

2、IIR系統的差分方程為FIR系統的差分方程為

除了與當前和過去的激勵有關，還與過去的輸出有關；

只與當前和過去的激勵有關，與過去的輸出無關；當前18頁，總共133頁。

3、IIR系統的單位脈沖響應為無窮多項；FIR系統的單位脈沖響應只有有限項；

4、IIR系統因為與過去的輸出有關，所以網絡結構有反饋之路，也稱為遞歸結構；FIR系統只與激勵有關，因此沒有反饋之路，也稱為非遞歸結構。當前19頁，總共133頁。4.２無限沖激響應（IIR）數字濾波器的基本網絡結構運算結構的不同會影響系統運算的精度、誤差、速度和經濟性等指標。對于同一個系統函數，可以有多種不同的結構。一般情況下，都要求使用盡可能少的常數乘法器和延遲器來實現系統，并要求運算誤差盡可能小。這些要求有時是相互矛盾的。例如，為了獲得具有較小運算誤差的結構，使用的乘法器和延遲器的數目往往不是最少的。當前20頁，總共133頁。IIRDF基本結構IIRDF類型直接型級聯型并聯型直接I型直接II型當前21頁，總共133頁。1.直接I型由差分方程或系統函數直接畫出IIRDF的方框圖和流程圖當前22頁，總共133頁。N階IIR系統的直接I型方框圖N階IIR系統的直接I型流程圖

第一個網絡實現的是系統函數的各零點；第二個網絡實現的是各極點。直接I型結構需要２N個延遲器和２N個乘法器。當前23頁，總共133頁。2.直接II型直接I型結構的系統函數可看作兩個獨立的系統函數的乘積，即對應的差分方程對應的差分方程當前24頁，總共133頁。假設IIRDF是線性非移變系統，那么交換和的次序不會影響系統的傳輸效果，即則直接I型結構圖可畫成下圖所示形式：兩條延遲鏈都是對中間變量進行延遲，因此可以進行合并。當前25頁，總共133頁。IIR系統的直接II型流程圖與直接I型相比，直接II型的不同之處：首先實現系統的各極點，然后實現各零點；僅需要N個延遲單元。則：硬件實現時，直接II型少用寄存器；軟件實現時，直接II型少占用存儲單元。

通常IIR的直接形式是指直接II型，也稱最少延遲網絡、典范形式、正準型。當前26頁，總共133頁。３.級聯型如果將N階IIR系統函數分解成二階因式連乘積，則可得到級聯結構，即這樣，整個系統將由M個二階系統級聯構成，如下圖所示當前27頁，總共133頁。

具體地，將系統函數的分子和分母多項式都按照零、極點進行因式分解，得到由于的系數都為實數，所以的零點和極點是實數或是共軛復數。當前28頁，總共133頁。將上式中每對共軛復數因子合并起來構成一個實系數因子，則寫成如果把實數因子看作是二階實數因子的特例，即看作二次項系數和等于零的二階因子，那么可被看成全部由實系數二階因子連乘來構成，即當前29頁，總共133頁。其中稱為濾波器的二階基本節(jié)。每個二階節(jié)都用直接II型結構的級聯形式

如果每個二階基本節(jié)都采用直接II型結構來實現，那么整個濾波器的級聯結構如下圖所示。每一級都可以單獨調整零極點的位置而不影響其它零極點。同時可以靈活調整二階基本節(jié)的次序。這是級聯結構的常用形式。當前30頁，總共133頁。如果將系統函數化成部分分式之和，則可得到IIRDF的并聯結構，即上式表明，濾波器可由P個一階網絡、Q個二階網絡和一個常數支路并聯構成。4.并聯型當前31頁，總共133頁。其結構如圖：IIR系統的并聯結構當前32頁，總共133頁。網絡轉置定理：將原網絡中所有支路的方向加以反轉，并將輸入和輸出相互交換，則網絡的系統函數不會改變。利用網絡轉置定理，可以將以上討論的各種結構進行轉置處理，從而得到各種新的網絡結構。當前33頁，總共133頁。IIR系統的直接II型流程圖當前34頁，總共133頁。可以再改為輸入在左，輸出在右的習慣形式，如下圖。將圖4.10畫成輸入在左、輸出在右的習慣形式設計方法當前35頁，總共133頁。4.3有限沖激響應（FIR）數字濾波器的基本網絡結構

FIR數字濾波器是一種非遞歸系統，其沖激響應是有限長序列，其系統函數的一般形式為其特點是系統函數無極點，它的網絡結構沒有反饋支路。當前36頁，總共133頁。1.直接型FIR數字濾波器的差分方程為下圖為FIRDF的方框圖和流程圖。公式中表示的輸入和輸出信號之間的線性卷積關系，所以直接性結構也稱為卷積型結構，或橫向濾波器結構。當前37頁，總共133頁。2.級聯型若將分解成二階因子的乘積，則得到FIR系統的級聯結構為：對應上式的流程圖如下圖中每一基本節(jié)控制一對零點。容易控制系統傳輸零點。級聯型所用的系數乘法次數較多，運算時間較長。當前38頁，總共133頁。3.快速卷積型前面已經知道，兩個長度為N的序列的線性卷積，可以用2N-1點的循環(huán)卷積來代替。公式表示FIR濾波器的輸出是輸入和沖激響應的線性卷積。因此，可以通過增添零取樣值方法將序列和延長，然后計算它們的循環(huán)卷積，從而得到FIR系統的輸出。循環(huán)卷積的計算可以使用FFT，于是得到快速卷積型結構。當前39頁，總共133頁。FIR系統的快速卷積結構圖中輸出為當前40頁，總共133頁。4.線性相位型結構

FIRDF最吸引人的特點之一就是將其設計成具有線性相位。右圖表示的是線性相位FIR系統的典型沖激響應。

具有線性相位的因果FIRDF的沖激響應具有偶對稱特性，即當前41頁，總共133頁。先分析具有這樣的沖激響應的FIR系統的幅度和相位特點。將FIR系統的系統函數重寫為當前42頁，總共133頁。（1）當N為偶數時，利用公式得下面分兩種情況討論：當前43頁，總共133頁。幅度響應令，得系統的頻率響應經推導，得到頻率響應當前44頁，總共133頁。結論：當時，；對呈奇對稱。相位特性是嚴格線性的。于是系統的幅度響應和相位響應分別為當前45頁，總共133頁。（2）當N為奇數時，利用公式得經推導，得到頻率響應當前46頁，總共133頁。結論：對各點是偶對稱的。相位特性是嚴格線性的。于是系統的幅度響應和相位響應分別為:當前47頁，總共133頁。h(n)為偶對稱的線性相位FIRDF的特性(a)(b)當前48頁，總共133頁。分別畫出N為偶數和奇數，線性相位FIR濾波器的結構流程圖：具有線性相位的偶數N的FIR系統的直接結構具有線性相位的奇數N的FIR系統的直接結構

線性相位N階FIR濾波器只需要N/2次（N為偶數）或（N+1）／2次（N為奇數）乘法。當前49頁，總共133頁。用上面的方法同樣可以證明，當FIR系統的單位取樣響應為奇對稱，即時，系統同樣具有線性相位特性。偶對稱奇對稱為偶數為奇數小結：共有4種組合，則有4類線性相位FIR濾波器。當前50頁，總共133頁。由于線性相位FIR濾波器的沖激響應必須滿足對稱條件，因此它的零點位置受到嚴格的限制。上式表明，和除相差（N-1)個樣本間隔外，沒有不同。

根據對稱條件，有

因此，是的零點，也是的零點。當前51頁，總共133頁。這就是說，線性相位FIR濾波器的零點必互為倒數出現，在為實數情況下，的零點必然互為共軛出現。因此，線性相位FIR濾波器的零點必須是互為倒數的共軛對。1、零點不在實軸上，也不在單位圓上；2、零點在單位圓上；3、零點在實軸上，4、零點既在單位圓上，又在實軸上。線性相位FIR濾波器的零點分布圖當前52頁，總共133頁。5.頻率取樣型

頻率域等間隔采樣，相應的時域信號會以采樣點數為周期進行周期性延拓，如果在頻率域采樣點數N大于等于原序列的長度M，則不會引起信號失真。此時原序列的z變換與頻域采樣值滿足下面關系式：一個有限時寬的序列，其Z變換可以用單位圓上的N個等間隔取樣表示。當前53頁，總共133頁。上式為實現FIR系統提供了另一種結構，是由兩個網絡級聯構成的。其中當前54頁，總共133頁。第一個網絡是由N節(jié)延遲線組成的梳狀濾波器。的零點和呈梳狀特性的頻率響應：當前55頁，總共133頁。其中，每個一階網絡在單位圓上各有一個極點，這些極點為：這些極點正好與梳狀濾波器的零點相抵消，從而使在這些頻率上的響應等于。

（4.24）第二個網絡是一組并聯的一階網絡，當前56頁，總共133頁。下圖所示的是FIR濾波器的頻率取樣型結構。這種結構是由一個簡單的FIR系統和一個IIR系統級聯組成。優(yōu)點：并聯諧振網絡的系數是FIR濾波器在處的響應，因而可以直接控制濾波器的響應。缺點：1、所有系數都是復數，復數乘法運算比較麻煩。2、所有諧振網絡的極點都在單位圓上，容易出現誤差，系統不容易穩(wěn)定。當前57頁，總共133頁。克服以上缺點的方法有：1、使諧振網絡的極點從單位圓上向內收縮到半徑為r的圓上，這里r略小于1。2、用實系數的二階網絡實現復系數的一階網絡，從而使系數的復數乘法運算變成實數乘法運算。設計方法當前58頁，總共133頁。

4.4IIR數字濾波器的設計方法數字濾波器的一般設計步驟：1、根據任務，確定濾波器性能指標（幅度特性、截止頻率等）；2、用一個穩(wěn)定的因果系統逼近這些指標，具體的說是由這些指標計算系統函數；3、用有限精度運算實現數字濾波器（選擇運算結構、進行誤差分析和選擇存儲單元的字長等）。4、用適當的軟硬件實現。當前59頁，總共133頁。數字濾波器的技術要求通常用的數字濾波器一般屬于選頻濾波器。假設數字濾波器的傳輸函數用下式表示：式中，稱為幅頻特性，稱為相頻特性。幅頻特性表示信號通過該濾波器后各頻率成分衰減情況；相頻特性反映各頻率成分通過濾波器后在時間上的延時情況。當前60頁，總共133頁。因此，即使兩個濾波器幅頻特性相同，而相頻特性不一樣，對相同的輸入，濾波器輸出的信號波形是不一樣的。一般選頻濾波器的技術要求由幅頻特性給出，相頻特性一般不作要求。但如果對輸出波形有要求，則需要考慮相頻特性的技術指標，例如，語音合成、波形傳輸、圖像信號處理等。當前61頁，總共133頁。性能指標

在進行濾波器設計時，需要確定其性能指標。因為理想濾波器物理不可實現的。（由于從一個頻帶到另一個頻帶之間的突變）wc|H(ejw)|要物理可實現：應從一個帶到另一個帶之間設置一個過渡帶且在通帶和止帶內也不應該嚴格為1或零。應給以較小容限。必須設計一個因果可實現的濾波器去實現。當前62頁，總共133頁。一個濾波器的技術指標，除了通帶和阻帶外，過渡帶是必不可少的。左圖中的曲線表示滿足預定技術指標的頻率響應，通帶內的幅度必須以誤差逼近于1，即阻帶內幅度以誤差逼近于零，即和分別為通帶截止頻率和阻帶截止頻率。當前63頁，總共133頁。為了按照這種誤差要求逼近理想低通濾波器，必須有一個寬度不為零的過渡帶。過渡帶內幅度響應從通帶平滑地下降到阻帶。得到技術指標之后，下一步就是尋找一個頻率響應符合允許指標的離散時間線性系統。對于IIR系統，可以用有理函數逼近希望的頻率響應；對于FIR系統，可以用多項式逼近希望的頻率響應。當前64頁，總共133頁。

利用模擬濾波器的設計理論來設計IIR數字濾波器就是首先根據實際要求設計一個模擬濾波器，然后再將模擬濾波器轉換成數字濾波器。

轉換設計方法又可分為沖激響應不變法雙線性變換法由于模擬網絡綜合理論已經發(fā)展得很成熟，設計非常方便，所以應用廣泛。有若干典型的模擬濾波器供我們選擇：巴特沃斯濾波器—具有單調下降的幅頻特性；切比雪夫濾波器—在通帶或阻帶有波動，可選擇；貝塞爾濾波器在通帶內有較好的線性相位特性；橢圓濾波器的選擇性相對前三種是最好的。當前65頁，總共133頁。4.4.1沖激響應不變法沖激響應不變法遵循的準則是：使數字濾波器的單位取樣響應與所參照的模擬濾波器的沖激響應的取樣值完全一樣，即實際上，由模擬濾波器轉換成數字濾波器，就是要建立模擬系統函數與數字系統函數之間的關系。其中，T為取樣周期。當前66頁，總共133頁。若滿足要求的模擬濾波器的系統函數已知，它通常是有理函數形式，并且分母的階次高于分子的階次，僅含單極點，則可以表示成部分分式形式：拉氏反變換z變換于是完成了數字濾波器設計。當前67頁，總共133頁。

具體的說，從s平面到z平面的映射不是簡單的代數映射，而是s平面上每一條寬為的橫帶重復地映射成整個z平面。當前68頁，總共133頁。S平面Z平面模擬系統因果穩(wěn)定，其系統函數的所有極點位于s平面的左半平面，這些極點全部映射到z平面單位圓內，因此，數字濾波器也因果穩(wěn)定。

當前69頁，總共133頁。沖激響應不變法的頻譜混疊失真示意圖混疊問題：由數字濾波器頻率響應和模擬濾波器頻率響應間的關系知：周期延拓當前70頁，總共133頁。那么數字濾波器的頻率響應能夠重現模擬濾波器的頻率響應。如果模擬濾波器的頻率響應帶寬被限制在折疊頻率內，即由于一般實際模擬濾波器都不是帶限的，所以混疊是必然的。即產生了失真。不適合設計高通和帶阻濾波器。這是沖激響應不變法的最大優(yōu)點！這是沖激響應不變法的最大缺點！當前71頁，總共133頁。例4.1已知一模擬濾波器的傳遞函數為使用沖激響應不變法求數字濾波器的系統函數。解：將展開成部分分式得于是極點，。直接使用式設T＝0.1667s，則得當前72頁，總共133頁。因此，數字濾波器的頻率響應為(b)所示的是相應的數字濾波器的幅度響應。圖中可以看出，DF的幅度響應在高頻段有較大的失真，而在低頻段很接近模擬濾波器的幅度響應。左圖中(a)是模擬濾波器的頻率響應當前73頁，總共133頁。4.4.2雙線性變換法得到由s平面到z平面的映射，定義為T常取1為了克服沖激響應不變法的混疊，采用非線形頻率壓縮方法，將整個頻率軸壓縮到之間，再用轉換到Z平面上，就能得到s平面到z平面。當前74頁，總共133頁。雙線性變換法與沖激響應不變法不同的是：它是一種從s平面到z平面的單值可逆映射。

因此當前75頁，總共133頁。將和代入式得由此看出，數字域頻率與模擬域頻率之間呈現非線性關系，如下圖。當從0變到時，從0變到。這意味著模擬濾波器的全部頻率特性，被壓縮成數字濾波器在頻率范圍內的特性。或這種非線性在高頻段較為嚴重，而在低頻段接近于線性，因此數字濾波器的頻率特性能夠逼近模擬濾波器的頻率特性。當前76頁，總共133頁。

設數字濾波器的通帶和阻帶的截止頻率分別為和，對應的模擬濾波器的截止頻率為和。雙線性變換頻率非線性畸變的補償方法：預畸變利用給定的數字濾波器的截止頻率和及上式計算出和當前77頁，總共133頁。再根據此設計出模擬濾波器。最后把模擬濾波器轉換成數字濾波器。這時雙線性變換得到的數字濾波器具有所希望的截止頻率特性。當前78頁，總共133頁。由公式可以得到將代入上式得從上式可以看出，當時，；當時，；當時，；這說明s平面的軸映射成z平面的單位圓周，左半平面映射成單位圓內部，右半平面映射成單位圓外部。當前79頁，總共133頁。這種映射是簡單的代數映射，因此變換后的數字濾波器的幅度響應沒有混疊失真。因此，如果模擬濾波器是穩(wěn)定的，即的所有極點都在s平面的左半平面內，那么經雙線性變換映射后的極點都在z平面的單位圓內，因此數字濾波器也是穩(wěn)定的。當前80頁，總共133頁。雙線性變換導致頻率間的非線性關系是它的主要缺點，限制了它的應用范圍。頻率響應不平坦（起伏較大）的系統不宜采用該方法。希望具有嚴格線性相位的數字濾波器，也不能用雙線性變換設計方法。說明：當前81頁，總共133頁。4.4.3數字巴特沃斯濾波器

巴特沃斯濾波器的幅度響應在通帶內具有最平坦的特性，且在通帶和阻帶內幅度特性是單調變化的。為角頻率，在處幅度響應的平方為0.5，N為濾波器的階數。當時幅度響應為1。模擬巴特沃斯濾波器的幅度平方函數為當前82頁，總共133頁。上圖可以看出，隨著N的增大，幅度響應曲線在截止頻率附近變得越來越陡峭，即在通帶內有更大部分的幅度接近于1，在阻帶內以更快的速度下降至零。當前83頁，總共133頁。個極點等間隔分布在半徑為的圓周上。是關于虛軸對稱的，虛軸上沒有極點。當為奇數時，實軸上有兩個極點。當為偶數時，實軸上無極點。各極點間的角度距為。模擬巴特沃斯濾波器極點的分布特點：由此可得極點當前84頁，總共133頁。因此，可將極點重新分配上式中是s平面左半平面的極點，是右半平面的極點。因為巴特沃斯濾波器有2N個極點，且對稱于虛軸，所以可將左平面的極點分配給，以便得到一個穩(wěn)定的系統。把右半平面的極點分給，可以作不再考慮。經過推導，可以得到巴特沃斯濾波器的設計方法。當前85頁，總共133頁。根據實際需要規(guī)定濾波器在數字截止頻率和處的衰減；由數字截止頻率和處的衰減計算模擬巴特沃斯濾波器的階數N和頻率；設計數字巴特沃斯濾波器的步驟如下：當前86頁，總共133頁。求模擬巴特沃斯濾波器的極點，并由s平面左半平面的極點構成傳遞函數。左半平面極點：

傳遞函數：N為偶數N為奇數使用沖激響應不變法或雙線性變換法將轉換成數字濾波器的系統函數。當前87頁，總共133頁。4.4.4數字切比雪夫濾波器切比雪夫濾波器的幅度平方函數為式中，稱為紋波參數，它與通帶內幅度響應的紋波有關；為有效通帶截止頻率，N是濾波器的階數。

切比雪夫濾波器在通帶內的幅度響應是等波紋的，而在阻帶內是單調下降的；或者在通帶內是單調下降的，而在阻帶內是等波紋的。切比雪夫濾波器是由、和N共3個參數確定。當前88頁，總共133頁。可以看出，切比雪夫濾波器的幅度響應在之間起伏變換，而在阻帶內是單調下降的；當N為奇數時，濾波器在處的幅度響應為1。當N為偶數時，濾波器在處的幅度響應為。當前89頁，總共133頁。參量、和N的確定：（1）、確定由允許的通帶波紋確定。如果在處允許的通帶衰減為，可以這樣確定不同的所對應的值如下：因此當前90頁，總共133頁。（2）、的確定是切比雪夫有效通帶截止頻率，在有效通帶內濾波器的幅度被限制在兩常數之間波動，常常是給定的。（3）、濾波器階數N的確定切比雪夫濾波器的階數N是由阻帶允許的衰減確定的。設在阻帶截止頻率處的允許衰減為，即由此得到計算濾波器階數N的公式

當前91頁，總共133頁。數字切比雪夫濾波器的設計步驟（1）根據濾波器的指標確定參數、和N。（2）計算常量、和，并求出極點。（3）由s平面左半平面的極點構成傳遞函數。（4）利用沖激響應不變法或雙線性變換法將轉換成。當前92頁，總共133頁。4.4.5IIR數字濾波器的頻率變換

方法1的缺點是，由于產生混疊失真，因此不能用沖激不變法來變換成高通、帶通或帶阻濾波器。高通、帶通、和帶阻濾波器的常用的兩種設計方法：當前93頁，總共133頁。頻帶變換原理設是數字原型低通濾波器的系統函數，是所求的濾波器系統函數。從平面到平面的映射定義為其中為變換函數。如果是穩(wěn)定的因果低通濾波器的有理系統函數，經變換后的也應是穩(wěn)定因果的數字濾波器的有理函數。因此，所求的系統函數為當前94頁，總共133頁。為此，該變換應滿足：

①必須是的有理函數；②平面的單位圓內部映射到平面單位圓內部；

③變換后的數字濾波器頻帶應滿足要求。當前95頁，總共133頁。從低通濾波器得到高通、帶通或帶阻濾波器的其它形式:當前96頁，總共133頁。當前97頁，總共133頁。4.6FIR數字濾波器的設計方法IIR數字濾波器的設計方法利用了模擬濾波器的研究成果，設計方法簡單有效，能得到較好的幅度特性，特別是雙線性變換方法沒有頻譜混疊，很受歡迎。但是，由于IIR數字濾波器的相位特性是非線性的，因而相位特性不好控制。當前98頁，總共133頁。FIR數字濾波器的獨特優(yōu)點是容易得到的嚴格的線性相位，此外，FIR數字濾波器的極點都位于原點，所以FIR濾波器總是穩(wěn)定的。FIR數字濾波器還可以用FFT來計算。FIR數字濾波器的設計方法主要有窗函數法、頻率取樣法等。當前99頁，總共133頁。可見它是一無限長、非因果的系統。可以證明不是絕對可和的，因而理想地濾波器是不穩(wěn)定的。4.6.1窗函數法理想濾波器的頻率響應對應的沖激響應當前100頁，總共133頁。可以將無限長沖激響應序列截斷，得到一個有限長序列，并用它逼近理想低通濾波器。設一理想低通濾波器的截止頻率為，時延為，即對應的沖激響應為

——這是利用窗函數設計FIR數字濾波器的基本原理。當前101頁，總共133頁。顯然，是以為中心的無限長非因果序列，如下圖(a)所示。尋找一有限長因果序列來逼近理想沖激響應，即

和

應滿足FIR基本條件，即它是偶對稱或奇對稱的，以滿足線性相位的要求，還應當是因果的。當前102頁，總共133頁。可把看作是與一矩形序列相乘的結果，窗函數不一定是矩形窗函數，也可以是其它窗函數，因此一般可表示為其中即當前103頁，總共133頁。根據卷積的性質，的頻譜函數可表示為采用不同的窗函數，對應的有不同的形狀。矩形窗的頻譜為即FIR窗函數的頻譜函數是理想低通濾波器的頻譜函數與窗函數的卷積。其中當前104頁，總共133頁。從到之間的稱為窗函數頻譜的主瓣，主瓣兩側呈衰減振蕩的部分稱為旁瓣。主瓣旁瓣旁瓣矩形窗的頻譜如圖所示當前105頁，總共133頁。代入公式(4.79)，FIRDF的頻率響應為理想低通濾波器的頻率響應可表示為其幅度響應為因此，FIRDF的幅度響應為當前106頁，總共133頁。上式表明，由理想低通濾波器的沖激響應加窗得到的FIR濾波器，它的幅度響應等于理想低通濾波器的幅度響應與窗函數頻譜的幅度響應的周期卷積。當前107頁，總共133頁。時，等于上圖中(a)和(b)兩個函數乘積的積分，即在到這一段的面積。時，正好與的一半重疊，卷積值正好是零頻響應的一半。在通帶截止頻率以內，的整個主瓣都在的通帶內。因此卷積結果有最大值，頻率響應出現正肩峰。當前108頁，總共133頁。的主瓣全部在的通帶外，在通帶內旁瓣負的面積大于正的面積，因此卷積值達到最大負值，在這里出現負肩峰。當進一步增大時，卷積值也將隨著的旁瓣在通帶內的面積的變化而變化，這樣就造成以零值為中心的上下起伏波動。整個卷積結果如圖(f)所示。當前109頁，總共133頁。從以上分析看出，理想低通濾波器經加窗處理后，主要受到兩方面的影響。一、濾波器的頻率響應在不連續(xù)點處出現過渡帶，它主要是由窗函數頻譜的主瓣引起的，過渡帶的寬度取決于窗函數主瓣的寬度。矩形窗對應的過渡帶的寬度。一般來說，過渡帶的寬度與N成反比。當前110頁，總共133頁。二、濾波器在通帶和阻帶內產生波紋，這種現象稱為吉布斯現象，主要是由窗函數的頻譜的旁瓣造成的。當前111頁，總共133頁。不同的窗函數的頻譜的主瓣和旁瓣的形狀是不同的。這兩個要求是互相矛盾的，不可能同時滿足。具體的說，降低旁瓣高度必然會使主瓣變寬；反之，壓窄主瓣寬度，不可避免地會使旁瓣變高。一般情況下，對窗函數的要求是：

旁瓣高度盡可能小，即盡可能讓能量集中于主瓣，以減少通帶和阻帶中的波紋；

主瓣寬度盡量窄，以獲得極可能陡的過渡帶。為了減小波紋幅度，一方面可以加大窗的長度N，另一方面可采用不同的窗函數來改善不均勻收斂性。當前112頁，總共133頁。幾種常用的窗函數：當前113頁，總共133頁。1.矩形窗2.巴特利特窗（三角形窗）當前114頁，總共133頁。3.漢寧窗（升余弦窗）或當時，上式可近似為當前115頁，總共133頁。可見漢寧窗的頻譜是由3部分相加組成，這樣使旁瓣大大抵消，從而使能量有效地集中在主瓣內，代價是使主瓣的寬度加大了一倍。當前116頁，總共133頁。4.漢明(Hamming)窗5.布萊克曼(Blackman)窗當前117頁，總共133頁。(a)矩形窗(b)巴特利特窗(c)漢寧窗(d)漢明窗(e)布萊克曼窗這5種窗函數的主瓣寬度依次加寬，旁瓣衰減依次增大。當前118頁，總共133頁。(a)矩形窗(b)巴特利特窗(c)漢寧窗(d)漢明窗(e)布萊克曼窗矩形窗設計的濾波器的過渡帶最窄，但阻帶衰減最差，約－21dB。而用布萊克曼窗函數設計的阻帶衰減最好，但過渡帶最寬,約－74dB。用不同窗函數設計的FIRDF

當前119頁，總共133頁。6.凱澤(Kaiser)窗其中，是第一類修正零階貝塞爾函數。凱澤窗是一族窗函數。是可調參數，調節(jié)值可以改變主瓣的寬度和旁瓣的幅度，的典型值在范圍內。當前120頁，總共133頁。這6種窗的主要特性參數如下表：當前121頁，總共133頁。用窗函數設計FIR數字濾波器的步驟：將與窗函數相乘得FIR數字濾波器的沖激響應；給出希望設計的濾波器的頻率響應；根據允許的過渡帶寬度及阻帶衰減，初步選定窗函數和N值；或計算一下積分，求出；當前122頁，總共133頁。計算FIR數字濾波器的頻率響應，并驗證是否達到所要求的指標；或由