在許多物理、力學(xué)、生物等現(xiàn)象中，不能直接找到聯(lián)系所研究的那些量的規(guī)律，但卻容易建立起這些量與它們的導(dǎo)數(shù)或微分間的關(guān)系。

含有未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)（或微分）的關(guān)系式。第八章常微分方程

第一節(jié)微分方程的基本概念常微分方程方程的階數(shù)線性方程、非線性方程方程的解、通解、特解、所有解初始條件（定解條件）積分曲線（解的幾何意義）初值問題、初值問題的解齊次方程、非齊次方程常微分方程含有未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)（或微分）的方程，稱為微分方程。未知函數(shù)可以不出現(xiàn)，但其導(dǎo)數(shù)一定要出現(xiàn)。未知函數(shù)為一元函數(shù)的微分方程，稱為常微分方程。未知函數(shù)為多元函數(shù)的微分方程，稱為偏微分方程。

例常微分方程偏微分方程常微分方程的階數(shù)微分方程中所出現(xiàn)的未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)（或微分）的最高次數(shù)，稱為微分方程的階數(shù)。一階二階一階線性方程、非線性方程若一個(gè)方程對(duì)未知函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)的全體而言是一次的，且系數(shù)只與自變量有關(guān)（與未知函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)無關(guān)），則稱該方程為線性方程，否則，稱之為非線性方程。一階二階一階線性線性非線性齊方程、非齊次方程在方程中，不含未知函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)的項(xiàng)，稱為自由項(xiàng)。自由項(xiàng)為零的方程，稱為齊方程。自由項(xiàng)不為零的方程，稱為非齊方程。一階齊線性方程二階非齊線性方程一階非齊非線性方程微分方程的一般表示形式方程的解、通解、特解、所有解能使微分方程成為恒等式的函數(shù)，稱為方程的解。如果n階微分方程的解中含有n個(gè)相互獨(dú)立的任意常數(shù)，則稱此解為n階微分方程的通解。一般說來，不含有任意常數(shù)的解，稱為方程的特解。

通常由一定的條件出發(fā)，確定方程通解中的任意常數(shù)來得到特解。但有些特解不能由通解求出，必須利用其它方法直接由方程解出。所有解＝通解＋不能包含在通解內(nèi)的所有特解。

例解代入方程，得

微分方程的解不一定都能用初等函數(shù)表示出來。

此時(shí)可求數(shù)值解初始條件（定解條件）

由自然科學(xué)、社會(huì)科學(xué)以及數(shù)學(xué)本身建立微分方程時(shí)，往往同時(shí)知道微分方程的解應(yīng)滿足某些已知的條件。這些已知條件就稱為微分方程的初始條件或定解條件。常微分方程初始條件稱為初值問題（柯西問題）

例解微分方程初始條件通解特解

例解微分方程初始條件通解特解有何想法？積分曲線（解的幾何意義）常微分方程解的幾何圖形稱為它的積分曲線。通解的圖形是一族積分曲線。特解是這族積分曲線中過某已知點(diǎn)的那條曲線。

在求微分方程數(shù)值解時(shí)，往往需要研究解的存在性、唯一性和穩(wěn)定性。參考書：

由北京大學(xué)、復(fù)旦大學(xué)、中山大學(xué)編寫的《常微分方程》均可。常微分方程的初等方法介紹