#§5正弦函數的圖像與性質5.1正弦函數的圖像學習目標核心素養1.了解利用單位圓中的正弦線畫正弦曲1.通過學習利用單位圓中的正弦線畫正線的方法.（重點）2.掌握“五點法”畫正弦曲線的方法弦曲線的方法，體會數學抽象素養.2.通過用“五點法”作出簡單的正弦和步驟，能用“五點法”作出簡單的正曲線，提升直觀想象素養.弦曲線.（難點）自主預習Q探新如預習素養感打匚讀f知初探口1.正弦線如圖所示，設任意角?的頂點在原點O,始邊與x軸的非負半軸重合，終邊與單位圓O相交于點P（x，y）,過P點作x軸的垂線，垂足為M.我們稱MP為角a的正弦線，P叫正弦線的終點.思考1:在正弦線的定義中MP也可以寫成PM的形式嗎？正弦線是一條線段，這種判斷對嗎？［提示］MP不能寫成PM的形式，因為正弦線是有向線段，既有大小又有方向.在函數y=sinx,x$［0,2n］的圖像上，起著關鍵作用的有五個關鍵點:(0,0),(0,0),~11,（2n,0）.描出這五個點后，函數y=sinx,xe［0,2n］的圖像就基本上確定了.因此，在精確度要求不太高時，我們常常先找出這五個關鍵點，然后用光滑曲線順次將它們連接起來，就得到這個函數的簡圖.我們稱這種畫正弦函數曲線的方法為“五點法”.如圖.思考2：描點法作函數的圖像有哪幾個步驟？［提示］列表、描點、連線.-i越同身手1.對于正弦函數y=sinx的圖像，下列說法錯誤的是（）向左、右無限延展與y=-sinx的圖像形狀相同，只是位置不同與x軸有無數個交點關于y軸對稱D［y=sinx為奇函數，關于原點對稱，故D錯誤?］2.y=sinx的圖像的大致形狀為（）了」1-4廠?0-12-]D［答案］B用五點法畫y=sinx,x^［0,2n］的簡圖時，所描的五個點的橫坐標的和是.

5n［0+￡+兀+寸+2兀=5n.］函數y=sinx在［0,2n］上的單調減區間為，最大值為33一33一21［由正弦函數的圖像(圖略)可知?］合作探究Q釋疑難^^.1/“五點法”作圖【例1】用五點法作函數y=l—sinx,xe［0,2n］的圖像.［解］⑴列表：X0n2n3nT2nsinx010-101-sinx10121(2)描點、連線，圖像如圖."?規僅t方法n3n1.解答本題的關鍵是要抓住五個關鍵點?使函數中X取0,n，n,等,2n,然后相應求出y值，再作出圖像.2?五點法作圖是畫三角函數的簡圖的常用方法,這五點主要指函數的零點及最大值、最小值點，連線要保持光滑，注意凸凹方向.跟進訓密跟進訓密1.(1)作出函數y=2sinx(0WxW2n)的圖像；(2)用五點法畫出函數y=sin2x(0WxWn)的圖像.

［解］(1)列表:Xo兀一2兀33一222XnS1oo-oo2o2-o描點作圖:JV3-K肚7-2\2⑵列表:x0n4n23n才n2x0兀一2n3n~22nsin2x010-10描點得y=sin2x(0WxWn)的簡圖，如圖：涉醱2利用正弦函數圖像解不等式【例2】利用y=sinx的圖像，在［0,2n］內求滿足sinx±—￡的x的取值范圍.［解］列表：X兀一233一222Xnsio-o描點，連線如圖，同時作出直線y二-2的圖像?由圖像可得sinx±-*的取值范圍為廠規法—…■…、用三角函數圖像解三角不等式的方法⑴作出相應正弦函數在［0,2n］上的圖像；寫出適合不等式在區間［0,2n］上的解集；根據圖像寫出不等式的解集.\/⑥跟進訓編2.利用正弦函數的圖像，求滿足sinx±1的x的集合.［解］作出正弦函數y=sinx,x曰0,2n］的圖像，如圖所示，由圖像可以得到滿足條件的x的集合為p+2kn,各+2頁，kEZ.6611y尸！iiiti工』E[0,21T]-11：it5wX:Vtry2iraITT3陽-■正弦函數圖像的應用［探究問題］1.若已知函數y=f(x)的圖像，如何作出函數y二f(x)的圖像？［提示］將函數y二fx)的x軸上方的圖像保持不變，將x軸下方的圖像關于

x軸翻折到x軸上方即可.2.如何利用函數的圖像判斷該函數對應方程的解的個數？［提示］可以利用函數的圖像與x軸的交點的個數判斷?也可以將該函數對應的方程拆分成兩個簡單函數，禾U用這兩個函數圖像交點的個數判斷.【例3】函數fx)=sinx+2lsinxl,x$［0,2n］的圖像與直線y=k有且僅有兩個不同的交點，求k的取值范圍.［思路探究］在同一坐標系中，作出兩個函數圖像.3sinx，［3sinx，［解］-sinx，OWxWn，n<xW2n.作出圖像分析(如圖).?fx)圖像與直線y=k有且僅有兩個不同交點..?.lvkv3.I［母題探究］(變條件，變結論)將例3變為“求方程lgx=sinx的實數解的個數”應如何求解.［解］作出y=lgx，y=sinx在同一坐標系內的圖像，則方程根的個數即為兩函數圖像交點的個數，由圖像知方程有三個實根.2.(變結論)將例3中的函數f(x)不變，求方程“fx)=llog2xl”的解的個數,應如何求解.［解］在同一坐標系內作出f(x)=sinx+2lsinxl和g(x)=llog2xl的圖像如圖所示，易知f(x)與g(x)的圖像有四個交點，故所給方程有四個根.廠?規律(方法?………r、數形結合是重要的數學思想，它能把抽象的數學式子轉化成形象直觀的圖形?利用正弦函數圖像可解決許多問題，例如特殊方程根的問題，通常可轉化為函數圖像交點個數問題.II課堂小結協提素養雙基盲點膽燈匚證備秦養Q“五點法"是我們畫y—sinx圖像的基本方法，在區間［0，2n］上，其橫坐n3n標分別為0，2，兀，二，2n的五個點是最高點、最低點以及與x軸的交點，這五個點在確定函數的圖像形狀時起到關鍵作用，在精確度要求不太高時，我們常常先描出這五個點，然后用光滑的曲線將它們連接起來，再將曲線向左、向右平行移動(每次移動2n個單位長度)，就得到正弦函數的簡圖.作圖像時，函數自變量要用弧度制，這樣自變量與函數值均為實數.匚i學以致用.11.判斷(正確的打“丿”，錯誤的打“X”)TOC\o"1-5"\h\z函數y—sin2x在［0,n］和［n,2n］上的圖像形狀相同，只是位置不同.()函數y—sinx的圖像介于直線y——1和y—1之間.()函數y—sinx的圖像關于x軸對稱.()用五點法畫函數y—sinx在區間［一兀，n］上的簡圖時，［一2，一"是其中的一個關鍵點.()［答案］⑴丁⑵V⑶X⑷丁

2.函數y=—sinx,2.函數y=—sinx,x^可的簡圖是（17.5*n3n2,211JT*［函數y=-sinx與y=sinx的圖像關于x軸對稱，故選D.］3.在［0,2n］上，滿足sinx三乎的x3.3n3n［結合圖像（圖略）可知為時,乎］］4.在［0,2n］內，用五點法作出函數y=2sinx—1的圖像.［解］⑴列表:x0