高級微觀經濟學——包絡定理與條件極值第一頁，共25頁。

Contents包絡定理單變量與多變量情形條件極值拉格朗日乘數法第二頁，共25頁。包絡定理(envelopetheorem)

研究當函數中某一參數變化時，最優值如何變化。第三頁，共25頁。e.g.

假設y是單一變量(x)與參數(a)的函數對于參數的不同值a，這個方程表示一簇反向的拋物線，請計算當參數a變化時最優值y*是怎樣變化的。第四頁，共25頁。

⒈通過求解單變量最大化問題的方法，求出x*，然后代入方程第五頁，共25頁。2.包絡捷徑：對于a的很小變化可以在x的最優值點上令x為常數，對目標函數直接計算第六頁，共25頁。直觀解釋：第七頁，共25頁。第八頁，共25頁。多變量情形

對于y是多變量的函數，類似的包絡定理仍然成立。假設y取決于一組x(x1,…,xn)與特殊常數a，通過求解n個一階方程得出這些x(x1*,…，xn*)的最優值。假設方程滿足二階條件，每一個能夠表示為參數a的顯函數，即第九頁，共25頁。包絡定理結論：

第十頁，共25頁。e.g.

在斜邊長為L的直角三角形中求周長最大的直角三角形。設兩直角邊長為x,y，則求周長z=L+x+y在條件L2=x2+y2下的最大值。條件極值：

自變量附加條件的極值問題稱為條件極值。第十一頁，共25頁。傳統解法：可從約束條件g（x,y）=0中解出y=y(x)，代入z=f(x,y(x))轉化為一元函數的無條件極值。若從g（x,y）=0中解不出y=y(x)？第十二頁，共25頁。拉格朗日乘數法：問題：構造拉格朗日函數：一階條件：第十三頁，共25頁。經濟學中的絕大多數最大化問題都是限制條件下的最大化問題。●效用最大化有預算限制●社會福利最大化受資源限制●利潤最大化受技術限制

分析經濟學中限制條件下的最大化問題，拉格朗日乘數法非常有用。第十四頁，共25頁。拉格朗日乘數法：問題：構造拉格朗日函數：一階條件：第十五頁，共25頁。拉格朗日乘數（）的解釋：e.g.最佳的籬笆尺度：給定籬笆的周長p，求它所能圍的最大面積（假定這個區域必須是矩形）。這個問題可概括為：第十六頁，共25頁。引入拉格朗日函數為：結論：最佳方法是圍一個正方形（x=y）第十七頁，共25頁。這里f1表示x每增加一單位目標函數的邊際增加；g1表示隨x的增加y的取值范圍的減少。這里，表明周長增加一單位，面積的增量。這里說明放松限制一單位，最大面積就會增加。第十八頁，共25頁。檢驗如下：取再取可見這個式子很接近于限制條件增加一單位時，A的變化量。第十九頁，共25頁。的經濟學解釋（影子價格）：的邊際收益的邊際成本（多獲取一點點x需承擔的預算負擔）的邊際收益的邊際成本第二十頁，共25頁。對偶性每一個限制條件下的最大化問題都有一個相應的對偶問題，那就是在目標函數取最大值時把限制條件函數最小化。第二十一頁，共25頁。原問題：對偶問題：第二十二頁，共25頁。e.g.最優籬笆的對偶：對于給定面積為A的矩形土地，農場主要以最短長度的籬笆圍住它。數學表達為：建立拉格朗日函數：第二十三頁，共25頁。在經