第六窄帶隨機(jī)過(guò)5.1、預(yù)備知5.1.15.1.1、高頻窄帶信號(hào)（濾波Si So 、預(yù)備知5.1.15.1.1、高頻窄帶信號(hào)（調(diào)制Y(t)aX(t)cos(0t)SY()4SX(0)SX(0SX( SY(/2

/2

、預(yù)備知變換變換Hilbert5.1.2正交濾波h(t)h(t)H()jsgn()

1862-1943,1862-1943,Y(t)HT[X(t)]? tu u1 tu u du |H()1

2注意

頻率分量都進(jìn)行了變換并不總能將一個(gè)隨機(jī)過(guò)程變換成與之正交、預(yù)備知變換變換Hilbert5.1.2?(t)

?()

()j(jX())X(),0()j[jX()]X(),第300頁(yè)式(5.1.44phasej-x(t)x?(t)phasej-1

?(t t

、預(yù)備知2. 變換:Hilbert(P1X(t)為廣義平穩(wěn)(實(shí))過(guò)程，則?(t)也是廣義平穩(wěn)(實(shí))過(guò)程，且X(t)?(t)聯(lián)合R??S?R?RX??R?RX?(P5)SX?()jsgn()SX3.、解析過(guò)程隨機(jī)過(guò)程3.、解析過(guò)程時(shí)域 X(t)X(t)?(t):?(t)滯后(相關(guān))域：RX(2[RXjRX?(2[RX?X頻域

SX()4U()SXX(t)X(t)XI(t)cos0tXQXIX(t)cost?(t)sin0同相(In-phase0+ X-X(t)sint?(t)cosQ0正交(Quadrature)分0XI同相、正交分量方法：萊斯表達(dá)基帶過(guò)程：功率集中在 包絡(luò)、相位表示方法：準(zhǔn)正弦基帶過(guò)程：功率集中零 X(t)A(t)cos[0t附 X2(t)X2 :包絡(luò)(過(guò)近 arctan[XQ(t)/XIt)]:相位(過(guò)程 中心頻率或載波

5.2.1、萊斯（Rice）表達(dá)X(t)X(t)j?X(t)ej0t[X(t)j?X(t)cos0t?(t)sin0tjX(t)sin0t?XI(t XQ(tX(t)X(t)jX(t)ej0t 解析

B(t):complex 復(fù)包絡(luò)：X(t)XI(t)cos0tXQ(t)sin0tjXI(t)sin0tXQ(t)cos0tX(t)XI(t)cos0tXQ(t)sinRice5.2.25.2.2、準(zhǔn)正弦振蕩表達(dá)隨機(jī)信號(hào)的復(fù)包絡(luò)為：B(tXI(tjXQ將其表示為復(fù)指數(shù)形B(t)A(t)ej(t)其中A(t) X2(t)X2 所以

X(t)A(t)ej(t)ej0tA(t)ej[0t(t)]X(t)A(t)cos[0tA(t)cos(t)cos0tA(t)sin(t)sin0tXI (t)B(t)XI(t)jXQ RX( E[B Bej0RB

X(t)X(t)? [X(t)jX 的復(fù)基帶信號(hào)SSBSXSXForamplitude-phase5.2Ex.5.1：已知某信號(hào)為X(t)C(t)ej0t，其中C(t)為某寬平信號(hào)，其自相關(guān)函數(shù)為 ()Ex.5.1：已知某信號(hào)為X(t)C(t)ej0t，其中C(t)為某寬平信號(hào)，其自相關(guān)函數(shù)為 ()sin(2a)eja，其中a0。問(wèn)X(t)C可能是某實(shí)信號(hào)的解析信號(hào)嗎？如果可能，應(yīng)滿足什CSX()SC(0而C(t)的功率譜密度如下所以當(dāng) a，X(t)有可能為某實(shí)信號(hào)的解析形式5.2Ex.Ex.5.2：已知某信號(hào)為X(tcos[0tY(t)]，并且Y(t)小于0。求信號(hào)X(t)解：由題設(shè)根據(jù)定義有

?(t)sin[0t(t)X(t)cos0t?(t)sin0tXQ(t)X(t)sin0t?(t)cos0t所以X(t)的復(fù)包絡(luò)B(t)XI(t)jXQ(t)ejY(t)而包絡(luò)為

A(t)|B(t)|5.2ExEx5.3：已知某信號(hào)X(tA(t)cos0tB(t)sin0t，其中A(t)和B(t)是兩個(gè)功率譜相同（如圖所示）且相互正交的平穩(wěn)信號(hào)。求信號(hào)X(t)自相關(guān)函數(shù)RX()的解析形式（預(yù)包絡(luò)。解：由題設(shè)，RX()RA()cos0。根據(jù)變換的定義可知?X()的傅氏變換應(yīng)為Bjsgn()[SA(0)SABj/2[SA(0)SA(0所由此

?X()RA()sin0RX()RX()?X()RA

0j5.21XI(tXQ(t都是實(shí)隨機(jī)過(guò)21XI(tXQ(t都是實(shí)隨機(jī)過(guò)2E[XI(t)]E[XQ(t)]3XI(t)和XQ(t)各自廣義平穩(wěn)，且聯(lián)合平穩(wěn)，并RX()RX RX()cos0RX?()sin0E[X2(t)]E[X2(t)] hintsfor(1)X(t)&?(t):WSS;(2)RX()R?();(3)R?X()RXX?X(t)為零均值高頻窄帶號(hào)5.2基帶過(guò)程XI(tXQ(t的性RXX()E[XI(t)XQ(t RX()sin0?X()cos0 RXX()RXX RXX()RXX() RXX(0)0,RB()2[RX()jRXX RX()RX()cos0RXX()sin0 SX()SX()LPSX(0)SX(0 SXX()jLPSX(0)SX(0 X(t)為零均值高頻窄帶實(shí)SB()4LPSXX(t)為零均值高頻窄帶實(shí)5.2性質(zhì)6(1)的證RX()RX()cos0R?()sin0 RX()cos0?X()sin01R()ej0ej01

()ej0ej0 2 ()1S()S( 2 1jsgn()S()jsgn()S(2j 2 1S()2 2 1sgn()S()sgn(2 LPSX(0)SX(0低頻限帶過(guò)5.2SSXSX(0)[1sgn(0)]/SX(0)[1sgn(0)]/0)SX(IQForamplitude-phase5.2性質(zhì)6(2)的證RXX()RX()sin0?X

R()

1

2

2j 2 2 2 2 2 2 Foramplitude-phase5.2SXSXsgn(0)]/sgn(0)]/jSXX()LP[SX(0)SX(0IForamplitude-phase5.2SX|0|SX|0|，SXX(0RXX(0 若若隨機(jī)過(guò)程具有對(duì)稱于載波頻率的功率譜密度，隨機(jī)的同相分量和正交分量?jī)蓚€(gè)隨機(jī)過(guò)程是正交的12解析過(guò)程具有關(guān)于載波頻率對(duì)稱的單邊功率譜密基帶過(guò)程具有關(guān)于零點(diǎn)對(duì)稱的功率譜密 R()E{[X(t)jX(t)][X(t) RX()jRXX()jRXX()RX 2RXISB()2SXI

：關(guān)于原Foramplitude-phase5.2SB B(t) XI X(t)X(t)A(t)cos[0t

SXSX

XI(t)

t?(t)sin0t

()XX XX

XQ(t)X(t)sin0t?(t)cos0t

SBSX

SX

SX()

解調(diào) X(t)X(t)cost?(t)sintXQ(t)X(t)sin0t?

?(t)

∑-cos

同相分2中頻->

X(t)X(t)cos2t (t)sin2

-正交分

02X(t)sinX (t)X(t)sin2t (t)cos2

0I、

高頻部補(bǔ)充：基帶信息的提取（解調(diào)檢波（包絡(luò)、相位

相位高頻窄高頻窄網(wǎng)網(wǎng)補(bǔ)充：基帶信息的提取（檢波平方律包絡(luò)X(t)A(t)cos[0t

A22X2(t)A2(t)1cos[2t A2(t)A2(t)cos[2t0高頻補(bǔ)充：基帶信息的提取（檢波、窄 信號(hào)包絡(luò)與相位的概率密Fast(short)fadingsignalswithoutdirectdiffracted Gaussiannarrowband

、窄帶信號(hào)包絡(luò)與相位的概率密 包

fA(a)2exp22,a

檢波分理想帶限幅

相位檢

f

,0回顧2.1.3、隨機(jī)過(guò)程的概率 量X1、X2和Y1、Y2滿足單調(diào)可逆函數(shù)關(guān)系：Y1g1(X1,X2),Y2g2(X1,X2)X1h1(Y1,Y2),X2Sx1x2內(nèi)的概率相等，其中x1h1(y1,y2)，x1h1(y1,y2)，即fY1Y2(y1,y2)Sy1y2fX1X2[x1h1(y1,y2),x2h2(y1,y2)]Sx1x2 xh

,y

x2

回顧2.1.3、隨機(jī)過(guò)程的概率 若fY1Y2(y1,y2)未知，則fY1Y2(y1,y2)h1(y1,y2 h1(y1,y2)J(y,y)det

y2

h2(y1,y2 h2(y1,y2)行列式

這樣，我們最終得到（具體例子見(jiàn)fY1Y2(y1,y2)|Jh(y1,y2)|fX1X2[x1包絡(luò)、相位和A(t) X2(t)X2(t) X(t)(t)arctanX(t)

XI(t)XQ(t)進(jìn)一步地，分別記t時(shí)刻包絡(luò)、相位，同相、正交的可能取值為a、，xI、xQ，xIa xI

x2g(x, ),a

xIacosh1(a,arctanxQg(x, ),[0,

xQasinh2(a,5.3、窄信號(hào)5.3、窄信號(hào)包絡(luò)與相位的概率x I

同相、正交分量和包絡(luò)、相位的、窄 信號(hào)包絡(luò)與相位的概率密所fA(a,)|J|fXX[xIh1(a,),xQh2(a, 其h1(a, h1(a,)

asinJdeth(a,

h(a,

acos a[cos2sin2]a同同相、正交分量二維聯(lián)合概率密、窄帶信號(hào)包絡(luò)與相位的概率密由XI(t)X(t)cos0t?(t)sin0tXQ(t)X(t)sin0t?(t)cos0t所以XI(t)和XQ(t)均 量。由前面的討論又E[XI(t)]E[XQ(t)]E[X2(t)]E[X2(t)]E[X2(t)] RXX(0) 這表明XI(t)和XQ(t)是兩個(gè)均值為零，方差為2且相互 信號(hào)同相、正交分量的性 (x,x) (x

(x)

x xe

x xe

Qx2

將上式代fA(a,)|J|fXX[xIh1(a,),xQh2(a, 并利用

x2

，最終得到 fΑ(a,)

e22,a5.3、5.3、窄信號(hào)包絡(luò)與相位的概率同相、正交分量，包絡(luò)和相位二維聯(lián)合概率密、窄 信號(hào)包絡(luò)與相位的概率密利用邊沿概率fA(a;t)

(a,)da2

(a),a

f(;t)

0

(a,)da

e22

1f(),[0, 注意：若信號(hào)X(t)的功率為2，則包絡(luò)的均值分別

/2

和22（求解見(jiàn)后面例題、窄 信號(hào)包絡(luò)平方的概率密 C(t)A2(t)X2(t)X2 C(t)0,A(t)c0根據(jù)變換

a ch(c),c0,afC(c;t)|dh(c)/dc|fA(a c)所f(c;t) c

e c fC(c),c

指數(shù)分窄 噪聲包絡(luò)平方的一維概率密、窄 信號(hào)包絡(luò)平方的概率密解：由于f(a)ae22U(a)

E[A(t)]afA(a)da

a2e2 令ba20，則E[A(t)]

b

22db2

2 220 be2 0

0

22 b)Ex.5.4：對(duì)于零均Ex.5.4：對(duì)于零均值，方差為2的窄平穩(wěn)信號(hào)，證明其絡(luò)的均值和方差分別為2和(22)2 e22da0 /

/

e22da25.4、窄 信號(hào)包絡(luò)平方的概率密 E[A2(t)]

a2f(a)daA A

a3e2

d(e22)0

a2d(e22

22

2 0

e0

d(a0事實(shí)

e22db(22

2

E[A2(t)]E[X2(t)X2(t)]E[X2(t)]E[X2 2E[X2(t)]由此

(2/Ex.5.5：圖中Ex.5.5：圖中X(t)為白噪聲，現(xiàn)測(cè)得Z(t)的均值為mZ，求Z(t)的平均功及其一維概率密度函數(shù)。若Y(t)的功1WZ(t)21/2VY解：由于Z(t)近似為窄帶 平均功率為22，而YmZ /所以Z(t)的平均功率

2(2/ 22(4/)m2 5.4、窄帶信號(hào)包絡(luò)平方的概率密總結(jié)對(duì)于均值為0，方差為2的高頻窄帶平 信號(hào)同相、正交分量均是實(shí)平 過(guò)復(fù)包絡(luò)為復(fù)平 過(guò)包絡(luò)（實(shí)）一維為瑞利分布，相位一維為均勻包絡(luò)平方一維同相、正交分量均值