2022-2023學年廣東省梅州市豐順縣三友聯合中學八年級（下）開學數學試卷一、單選題：本大題共10小題，每小題3分，共30分。1．若分式有意義，則x的取值范圍是（）A．x＞1 B．x＜1 C．x≠1 D．x≠02．化簡（﹣x）3?（﹣x）2的結果正確的是（）A．﹣x6 B．x6 C．﹣x5 D．x53．一副三角板如圖擺放，且AB∥CD，則∠1的度數為（）A．80° B．60° C．105° D．75°4．已知一個等腰三角形一腰上的高與另一腰的夾角為40°，則這個等腰三角形頂角的度數為（）A．50° B．130° C．50°或130° D．65°或130°5．如圖，有一個平行四邊形ABCD和一個正方形CEFG，其中點E在邊AD上．若∠ECD＝43°，∠AEF＝28°，則∠B的度數為（）A．55° B．75° C．65° D．60°6．如圖，在△ABC中，AB＝AC＝6，∠BAC＝120°，過點A作AD⊥BA交BC于點D，過點D作DE⊥BC交AC于點E，則AE的長為（）A．1 B．2 C．3 D．47．在函數y＝中，自變量x的取值范圍是（）A．x≤2 B．x≥2 C．x＜2且x≠0 D．x≤2且x≠08．如圖，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，CE＝2BE，EF＝2，連接AF，將線段AF繞著點A順時針旋轉90°得到AP，則線段PE的最小值為（）A． B． C．4 D．9．要使四邊形木架（用四根木條釘成）不變形，至少要再釘上的木條的根數為（）A．一條 B．兩條 C．三條 D．零條10．如圖，有兩個正方形A，B，現將B放在A的內部得圖甲，將A，B并列放置后構造新的正方形得圖乙．若圖甲和圖乙中陰影部分的面積分別為3和30，則正方形A、B的面積之和為（）A．33 B．30 C．27 D．24二、填空題：本大題共7小題，每小題4分，共28分。11．若一個正n邊形的一個內角為144°，則n等于．12．利用完全平方公式計算：（m+3）2＝．13．多項式12ab3c+8a3b的公因式是．14．計算：（﹣1）0+|﹣1|＝．15．如圖，在△ABC中，∠C＝60°，以點B為圓心，適當長為半徑畫弧，分別交BA，BC于點E，F，再分別以點E，F為圓心，大于EF的長為半徑畫弧，兩弧交于點P，作射線BP，射線BP與AC交于點D，若AD＝BD，則∠A＝．16．如圖，四邊形ABCD為菱形，AB＝2，∠BCD＝30°，點E在CD延長線上，∠E＝45°，點H是AC上的一個動點，則HD+HE的最小值為．17．如圖，A點的坐標是（0，6），AB＝BO，∠ABO＝120°，C在x軸上運動，在坐標平面內作點D，使AD＝DC，∠ADC＝120°，連接OD，則OD的長的最小值為．三、解答題：第18，19.20小題6分，第21，22，23小題9分，第24，25小題10分。18．先化簡，再求值：，其中x＝﹣2．19．解方程（1）；（2）．20．已知，如圖，△ABC為等邊三角形，AE＝CD，AD、BE相交于點P．（1）求證：△AEB≌△CDA；（2）求∠EPQ的度數；（3）若BQ⊥AD于Q，PQ＝7，PE＝3，求BE的長．21．如圖，等腰直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，D、E分別為AB、AC邊上的點，AD＝AE，AF⊥BE交BC于點F，過點F作FG⊥CD交BE的延長線于點G，交AC于點M．（1）求證：△ADC≌△AEB；（2）判斷△EGM是什么三角形，并證明你的結論；（3）判斷線段BG、AF與FG的數量關系并證明你的結論．22．（1）如圖1，將邊長為（a+b）的正方形面積分成四部分，可以驗證的乘法公式是（填序號）．①（a+b）2＝a2+2ab+b2②（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2③（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2④a（a+b）＝a2+ab（2）利用上面得到的乘法公式解決問題：①已知a+b＝5，ab＝3，求a2+b2的值；②如圖2，點C是線段AB上的一點，以AC、BC為邊向兩邊作正方形，連接BD，若AB＝7，兩正方形的面積和S1+S2＝23，求陰影部分的面積．23．已知：在等邊△ABC中，點E是AB邊所在直線上的一個動點（E與A、B兩點均不重合），點D在CB的延長線上，且ED＝EC．（1）如圖①，當E是AB邊的中點時，求證：AE＝BD；（2）如圖②，當E是線段AB邊上任意一點時，（1）中的結論是否一定成立？請說明理由；（3）若點E是線段AB的延長線上任一點，ED＝EC，AE＝2，AC＝1，求CD的長．24．在四邊形ABCD中．（1）如圖1，AB＝AD，∠ABC＝∠ADC＝90°，E，F分別是BC，CD上的點，且∠EAF＝∠DAB，探究圖中EF，BE，DF之間的數量關系．小林同學探究此問題的方法是：延長CB到點G，使BG＝DF．連接AG，先對比△ABG與△ADF的關系，再對比△AEF與△AEG的關系，可得出EF、BE、DF之間的數量關系，他的結論是；（2）如圖2，在四邊形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠ADF＝180°，E、F分別是BC，CD上的點，且∠EAF＝∠DAB，則上述結論是否仍然成立，請說明理由．（3）如圖3，在四邊形ABCD中，∠ABC+∠ADC＝180°，AB＝AD，若點F在CB的延長線上，點E在CD的延長線上，若EF＝BF+DE，請寫出∠EAF與∠DAB的數量關系，并給出證明過程．25．（1）如圖①，在四邊形ABCD中，AB＝AD，∠B＝∠ADC＝90°．E，F分別是BC，CD上的點，且EF＝BE+FD探究圖中∠BAE，∠FAD，∠EAF之間的數量關系．小王同學探究此問題的方法：延長FD到點G，使DG＝BE．連接AG．先證明△ABE≌△ADG，再證△AEF≌△AGF，可得出結論，他的結論應是．（2）如圖②，在四邊形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°．E，F分別是BC，CD上的點，且EF＝BE+FD，上述結論是否仍然成立？請說明理由．（3）如圖③，在四邊形ABCD中，∠ABC+∠ADC＝180°，AB＝AD．若點E在CB的延長線上，點F在CD的延長線上，仍然滿足EF＝BE+FD，請寫出∠EAF與∠DAB的數量關系．

參考答案一、單選題：本大題共10小題，每小題3分，共30分。1．若分式有意義，則x的取值范圍是（）A．x＞1 B．x＜1 C．x≠1 D．x≠0【分析】分母為零，分式無意義；分母不為零，分式有意義．解：根據題意得：x﹣1≠0，解得：x≠1．故選：C．【點評】本題考查的知識點為：分式有意義，分母不為0．2．化簡（﹣x）3?（﹣x）2的結果正確的是（）A．﹣x6 B．x6 C．﹣x5 D．x5【分析】根據同底數冪的乘法底數不變指數相加，可得答案．解：（﹣x）3?（﹣x）2＝（﹣x）5＝﹣x5，故選：C．【點評】本題考查了同底數冪的乘法，同底數冪的乘法底數不變指數相加是解題關鍵．3．一副三角板如圖擺放，且AB∥CD，則∠1的度數為（）A．80° B．60° C．105° D．75°【分析】利用平行線的性質得到∠AEF＝∠D＝45°，然后結合三角形外角定理來求∠1的度數．【解答】解：如圖所示，∵AB∥CD，∠D＝45°，∴∠AEF＝∠D＝45°，∵∠1＝∠AEF+∠EAF，∠EAF＝30°，∴∠1＝45°+30°＝75°．故選：D．【點評】本題主要考查了平行線的性質，解題時，注意運用題干中隱藏的已知條件∠D＝45°，∠3＝60°．4．已知一個等腰三角形一腰上的高與另一腰的夾角為40°，則這個等腰三角形頂角的度數為（）A．50° B．130° C．50°或130° D．65°或130°【分析】首先根據題意畫出圖形，一種情況等腰三角形為銳角三角形，即可推出頂角的度數為50°．另一種情況等腰三角形為鈍角三角形，由題意，即可推出頂角的度數為130°．解：①如圖1，等腰三角形為銳角三角形，∵BD⊥AC，∠ABD＝40°，∴∠A＝50°，即頂角的度數為50°．②如圖2，等腰三角形為鈍角三角形，∵BD⊥AC，∠DBA＝40°，∴∠BAD＝50°，∴∠BAC＝130°．故選：C．【點評】本題主要考查了等腰三角形的性質、三角形內角和定理，此題難度適中，解題的關鍵在于正確的畫出圖形，結合圖形，利用數形結合思想求解．5．如圖，有一個平行四邊形ABCD和一個正方形CEFG，其中點E在邊AD上．若∠ECD＝43°，∠AEF＝28°，則∠B的度數為（）A．55° B．75° C．65° D．60°【分析】由平角的定義求出∠CED的度數，由三角形內角和定理求出∠D的度數，再由平行四邊形的對角相等即可得出結果．解：∵四邊形CEFG是正方形，∴∠CEF＝90°，∵∠CED＝180°﹣∠AEF﹣∠CEF＝180°﹣28°﹣90°＝62°，∴∠D＝180°﹣∠CED﹣∠ECD＝180°﹣62°﹣43°＝75°，∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴∠B＝∠D＝75°（平行四邊形對角相等）．故選：B．【點評】本題考查了正方形的性質、平行四邊形的性質、三角形內角和定理等知識；熟練掌握平行四邊形和正方形的性質，由三角形內角和定理求出∠D的度數是解決問題的關鍵．6．如圖，在△ABC中，AB＝AC＝6，∠BAC＝120°，過點A作AD⊥BA交BC于點D，過點D作DE⊥BC交AC于點E，則AE的長為（）A．1 B．2 C．3 D．4【分析】根據等腰三角形的性質可得∠B＝∠C，根據含30°角的直角三角形的性質可得AD的長，再求出EC的長，即可確定AE的長．解：∵AB＝AC＝6，∠BAC＝120°，∴∠B＝∠C＝30°，∵AD⊥BA，∴∠BAD＝90°，設AD＝x，則BD＝2x，根據勾股定理，可得62+x2＝（2x）2，解得x＝或x＝﹣（舍去），∴AD＝，∵∠DAC＝120°﹣90°＝30°，∴∠C＝∠DAC，∴DC＝AD＝，∵DE⊥BC，∴∠EDC＝90°，設ED＝m，則EC＝2m，根據勾股定理，得，∴m＝2或m＝﹣2（舍去），∴EC＝2m＝4，∴AE＝6﹣4＝2，故選：B．【點評】本題考查了等腰三角形的性質，直角三角形的性質，熟練掌握這些性質是解題的關鍵．7．在函數y＝中，自變量x的取值范圍是（）A．x≤2 B．x≥2 C．x＜2且x≠0 D．x≤2且x≠0【分析】根據分母不為0且被開方數大于等于0進行計算即可．解：由題意得：，∴x≤2且x≠0，故選：D．【點評】本題考查了函數自變量的取值范圍問題，掌握分式有意義的條件和二次根式有意義的條件是解題的關鍵．8．如圖，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，CE＝2BE，EF＝2，連接AF，將線段AF繞著點A順時針旋轉90°得到AP，則線段PE的最小值為（）A． B． C．4 D．【分析】連接AE，過點A作AG⊥AE，截取AG＝AE，連接PG，GE，通過SAS證明△AEF≌△AGP，得PG＝EF＝2，再利用勾股定理求出GE的長．最后在△GPE中，利用三邊關系即可得出答案．解：如圖，連接AE，過點A作AG⊥AE，截取AG＝AE，連接PG，GE，∵將線段AF繞著點A順時針旋轉90°得到AP，∴AF＝AP，∠PAF＝90°，∴∠FAE+∠PAE＝∠PAE+∠PAG＝90°，∴∠FAE＝∠PAG．又∵AG＝AE，∴△AEF≌△AGP（SAS），∴PG＝EF＝2．∵BC＝3，CE＝2BE，∴BE＝1．∴在Rt△ABE中，．∵AG＝AE，∠GAE＝90°，∴．∵PE≥GE﹣PG，且當點G，P，E三點共線時取等號，∴PE的最小值為．故選：D．【點評】本題主要考查旋轉的性質，全等三角形的判定與性質，勾股定理，三角形三邊關系的應用等知識．正確作出輔助線構造出全等三角形是解題的關鍵．9．要使四邊形木架（用四根木條釘成）不變形，至少要再釘上的木條的根數為（）A．一條 B．兩條 C．三條 D．零條【分析】根據三角形的穩定性解答即可．解：∵三角形具有穩定性，∴要使四邊形木架（用四根木條釘成）不變形，至少要再釘上一根木條．故選：A．【點評】本題考查的是三角形的穩定性，熟知三角形具有穩定性是解題的關鍵．10．如圖，有兩個正方形A，B，現將B放在A的內部得圖甲，將A，B并列放置后構造新的正方形得圖乙．若圖甲和圖乙中陰影部分的面積分別為3和30，則正方形A、B的面積之和為（）A．33 B．30 C．27 D．24【分析】設正方形A的邊長是a，正方形B的邊長是b（a＞b），先用字母表示出圖甲和圖乙中陰影部分的面積，再根據題目中的數據求出正方形A、B的面積之和即可．解：設正方形A的邊長是a，正方形B的邊長是b（a＞b），由題可得圖甲中陰影部分的面積是S甲＝（a﹣b）2，圖乙中陰影部分的面積是S乙＝（a+b）2﹣a2﹣b2＝2ab，∵圖甲和圖乙中陰影部分的面積分別為3和30，∴S甲＝（a﹣b）2＝3，S乙＝2ab＝30，∴正方形A、B的面積之和為：SA+SB＝a2+b2＝（a﹣b）2+2ab＝3+30＝33，故選：A．【點評】本題主要考查了平方差公式的幾何背景和完全平方公式的幾何背景，表示出陰影部分面積是解題的關鍵，難度不大．二、填空題：本大題共7小題，每小題4分，共28分。11．若一個正n邊形的一個內角為144°，則n等于10．【分析】易得正n邊形的一個外角的度數，正n邊形有n個外角，外角和為360°，那么，邊數n＝360°÷一個外角的度數．解：∵正n邊形的一個內角為144°，∴正n邊形的一個外角為180°﹣144°＝36°，∴n＝360°÷36°＝10．【點評】用到的知識點為：多邊形一個頂點處的內角與外角的和為180°；正多邊形的邊數等于360÷正多邊形的一個外角度數．12．利用完全平方公式計算：（m+3）2＝m2+6m+9．【分析】根據公式計算即可得答案．解：（m+3）2＝m2+2×3?m+32＝m2+6m+9，故答案為：m2+6m+9，【點評】本題考查完全平方公式的應用，解題的關鍵是熟練掌握完全平方公式．13．多項式12ab3c+8a3b的公因式是4ab．【分析】根據公因式的定義解答即可，多項式中，各項都含有一個公共的因式，叫做這個多項式各項的公因式．解：多項式12ab3c+8a3b的公因式是4ab．故答案為：4ab．【點評】本題考查了公因式，確定多項式中各項的公因式，可概括為三“定”：①定系數，即確定各項系數的最大公約數；②定字母，即確定各項的相同字母因式（或相同多項式因式）；③定指數，即各項相同字母因式（或相同多項式因式）的指數的最低次冪．14．計算：（﹣1）0+|﹣1|＝2．【分析】根據零指數冪的意義即可求出答案．解：原式＝1+1＝2，故答案為：2【點評】本題考查零指數冪的意義，解題的關鍵是正確理解零指數冪的意義，本題屬于基礎題型．15．如圖，在△ABC中，∠C＝60°，以點B為圓心，適當長為半徑畫弧，分別交BA，BC于點E，F，再分別以點E，F為圓心，大于EF的長為半徑畫弧，兩弧交于點P，作射線BP，射線BP與AC交于點D，若AD＝BD，則∠A＝40°．【分析】證明∠A＝∠ABD＝∠DBC，再利用三角形內角和定理求解即可．解：由作圖可知，DB平分∠ABC，∴∠ABD＝∠DBC，∵DA＝DB，∴∠A＝∠ABD＝∠DBC，∵∠C＝60°，∴∠A+∠ABC＝180°﹣60°＝120°，∴3∠A＝120°，∴∠A＝40°，故答案為：40°．【點評】本題考查作圖﹣基本作圖，三角形內角和定理，角平分線的定義等知識，解題的關鍵是讀懂圖象信息，屬于中考常考題型．16．如圖，四邊形ABCD為菱形，AB＝2，∠BCD＝30°，點E在CD延長線上，∠E＝45°，點H是AC上的一個動點，則HD+HE的最小值為．【分析】根據菱形的性質及兩點之間線段最短進行作答．解：連接BE交AC于H'，連接DH'，過點A作AM⊥EC于點M，過點E作EN⊥BA交BA的延長線于點N，∵四邊形ABCD為菱形，∴B、D關于AC對稱，∴DH'＝BH'，∴DH'+EH'＝BH′+EH'＝BE，故當H與H'重合時，HD+HE的值最小，最小值為BE，∵四邊形ABCD為菱形，∴AD∥BC，∴∠ADM＝∠BCD＝30°，AD＝AB＝2，∴AM＝AD＝1，∵∠AEC＝45°，∴∠MAE＝90°﹣45°＝45°，∴∠AEC＝∠MAE，∴AM＝EM＝1，∵AM⊥EC，EN⊥BN，∴∠AME＝90°，∠ANE＝90°，∵CE∥BN，∴∠MAN＝180°﹣90°＝90°，∴∠AME＝∠ANE＝∠MAN＝90°，∴四邊形AMEN是矩形，又∵AM＝EM＝1，∴四邊形AMEN是正方形，∴AN＝EM＝AM＝EN＝1，∴BN＝2+1＝3，在Rt△BNE中，BE＝，故HD+HE的最小值，故答案為：．【點評】本題考查了菱形的性質及兩點之間線段最短，熟練掌握平行四邊形的性質及兩點之間線段最短是本題解題關鍵．17．如圖，A點的坐標是（0，6），AB＝BO，∠ABO＝120°，C在x軸上運動，在坐標平面內作點D，使AD＝DC，∠ADC＝120°，連接OD，則OD的長的最小值為．【分析】先判定△ABO∽△ADC，得出＝，再根據∠BAD＝∠OAC，得出△ACO∽△ADB，進而得到∠ABD＝∠AOC＝90°，得到當OD⊥BE時，OD最小，最后過O作OF⊥BD于F，根據∠OBF＝30°，求得OF＝OB＝，即OD最小值為；作B關于y軸的對稱點B'，則同理可得OD最小值為．解：如圖，作直線BD，由∠DAC＝∠DCA＝∠BAO＝∠BOA＝30°，可得△ABO∽△ADC，∴＝，即＝，又∵∠BAD＝∠OAC，∴△ACO∽△ADB，∴∠ABD＝∠AOC＝90°，∵當OD⊥BE時，OD最小，過O作OF⊥BD于F，則△BOF為Rt△，∵A點的坐標是（0，6），AB＝BO，∠ABO＝120°，∴易得OB＝2，∵∠ABO＝120°，∠ABD＝90°，∴∠OBF＝30°，∴OF＝OB＝，即OD最小值為；如圖，作B關于y軸的對稱點B'，作直線DB'，則同理可得：△ACO∽△ADB'，∴∠AB'D＝∠AOC＝90°，∴當OD⊥B'E時，OD最小，過O作OF'⊥B'D于F'，則△B'OF'為Rt△，∵A點的坐標是（0，6），AB'＝B'O，∠AB'O＝120°，∴易得OB'＝2，∵∠AB'O＝120°，∠AB'D＝90°，∴∠OB'F'＝30°，∴OF'＝OB'＝，即OD最小值為．故答案為：．【點評】本題主要考查了相似三角形的判定與性質、含30°角的直角三角形的性質的綜合應用，解決問題的關鍵是作輔助線，利用垂線段最短進行判斷分析．解題時注意：在直角三角形中，30°角所對的直角邊等于斜邊的一半．三、解答題：第18，19.20小題6分，第21，22，23小題9分，第24，25小題10分。18．先化簡，再求值：，其中x＝﹣2．【分析】直接將括號里面通分運算，再利用分式的混合運算法則化簡得出答案．解：原式＝?﹣＝﹣＝﹣，當x＝﹣2時，原式＝﹣＝﹣＝﹣．【點評】此題主要考查了分式的化簡求值，正確掌握分式的混合運算法則是解題關鍵．19．解方程（1）；（2）．【分析】分式方程去分母轉化為整式方程，求出整式方程的解得到x的值，經檢驗即可得到分式方程的解．解：（1），，，（x﹣2）2﹣8＝x2﹣4，x2﹣4x+4﹣8＝x2﹣4，﹣4x＝0，x＝0，經檢驗，x＝0是原方程的根；（2），，2﹣2（x﹣1）＝3，2﹣2x+2＝3，，經檢驗，是原方程的根．【點評】此題考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“轉化思想”，把分式方程轉化為整式方程求解．解分式方程一定注意要驗根．20．已知，如圖，△ABC為等邊三角形，AE＝CD，AD、BE相交于點P．（1）求證：△AEB≌△CDA；（2）求∠EPQ的度數；（3）若BQ⊥AD于Q，PQ＝7，PE＝3，求BE的長．【分析】（1）由△ABC是等邊三角形，得AB＝CA，∠BAE＝∠C＝60°，即可根據全等三角形的判定定理“SAS”證明△AEB≌△CDA；（2）由△AEB≌△CDA，得∠ABE＝∠CAD，則∠BPQ＝∠BAD+∠ABE＝∠BAD+∠CAD＝60°，所以∠EPQ＝180°﹣∠BPQ＝120°；（3）由∠PQB＝90°，∠BPQ＝60°，得∠PBQ＝30°，而PQ＝7，PE＝3，所以BP＝2PQ＝14，BE＝BP+PE＝17．【解答】（1）證明：∵△ABC是等邊三角形，∴AB＝CA，∠BAE＝∠C＝60°，在△AEB和△CDA中，，∴△AEB≌△CDA（SAS）．（2）解：∵△AEB≌△CDA，∴∠ABE＝∠CAD，∴∠BPQ＝∠BAD+∠ABE＝∠BAD+∠CAD＝∠BAC＝60°，∴∠EPQ＝180°﹣∠BPQ＝120°，∴∠EPQ的度數是120°．（3）解：∵BQ⊥AD于Q，PQ＝7，PE＝3，∴∠PQB＝90°，∴∠BPQ＝60°，∴∠PBQ＝30°，∴BP＝2PQ＝2×7＝14，∴BE＝BP+PE＝14+3＝17，∴BE的長是17．【點評】此題重點考查等邊三角形的性質、全等三角形的判定與性質、三角形的外角等于與它不相鄰的兩個內角的和、直角三角形的兩個銳角互余、直角三角形中30°角所對的直角邊等于斜邊的一半等知識，正確地找到全等三角形的對應邊和對應角是解題的關鍵．21．如圖，等腰直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，D、E分別為AB、AC邊上的點，AD＝AE，AF⊥BE交BC于點F，過點F作FG⊥CD交BE的延長線于點G，交AC于點M．（1）求證：△ADC≌△AEB；（2）判斷△EGM是什么三角形，并證明你的結論；（3）判斷線段BG、AF與FG的數量關系并證明你的結論．【分析】（1）首先得出AC＝AB，再利用SAS，得出△ACD≌△ABE即可；（2）利用△ACD≌△ABE，得出∠1＝∠3，再由∠BAC＝90°，可得∠3+∠2＝90°，結合FG⊥CD可得出∠3＝∠CMF，∠GEM＝∠GME，繼而可得出結論；（3）先大致觀察三者的關系，過點B作AB的垂線，交GF的延長線于點N，利用（1）的結論可將AF轉化為NF，BG轉化為NG，從而在一條直線上得出三者的關系．【解答】（1）證明：∵等腰直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，∴AC＝AB，∠ACB＝∠ABC＝45°，在△ADC和△AEB中∴△ADC≌△AEB（SAS），（2）△EGM為等腰三角形；理由：∵△ADC≌△AEB，∴∠1＝∠3，∵∠BAC＝90°，∴∠3+∠2＝90°，∠1+∠4＝90°，∴∠4+∠3＝90°∵FG⊥CD，∴∠CMF+∠4＝90°，∴∠3＝∠CMF，∴∠GEM＝∠GME，∴EG＝MG，△EGM為等腰三角形．（3）線段BG、AF與FG的數量關系為BG＝AF+FG．理由：如圖所示：過點B作AB的垂線，交GF的延長線于點N，∵BN⊥AB，∠ABC＝45°，∴∠FBN＝45°＝∠FBA．∵FG⊥CD，∴∠BFN＝∠CFM＝90°﹣∠DCB，∵AF⊥BE，∴∠BFA＝90°﹣∠EBC，∠5+∠2＝90°，由（1）可得∠DCB＝∠EBC，∴∠BFN＝∠BFA，在△BFN和△BFA中∴△BFN≌△BFA（ASA），∴NF＝AF，∠N＝∠5，又∵∠GBN+∠2＝90°，∴∠GBN＝∠5＝∠N，∴BG＝NG，又∵NG＝NF+FG，∴BG＝AF+FG．【點評】本題考查了全等三角形的判定及性質，難度較大，尤其是第3問的證明，要學會要判斷三條線段之間的關系，一般都需要轉化到同一條直線上進行．22．（1）如圖1，將邊長為（a+b）的正方形面積分成四部分，可以驗證的乘法公式是①（填序號）．①（a+b）2＝a2+2ab+b2②（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2③（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2④a（a+b）＝a2+ab（2）利用上面得到的乘法公式解決問題：①已知a+b＝5，ab＝3，求a2+b2的值；②如圖2，點C是線段AB上的一點，以AC、BC為邊向兩邊作正方形，連接BD，若AB＝7，兩正方形的面積和S1+S2＝23，求陰影部分的面積．【分析】（1）用代數式利用兩種方法分別表示圖形的面積即可；（2）①根據完全平方公式的結構特征，將a2+b2轉化為（a+b）2﹣2ab，再整體代入計算即可；②設AC＝a、BC＝b，由題意可知AB＝a+b＝7，S1+S2＝a2+b2＝23，根據（a+b）2＝a2+b2+2ab，求出ab即可．解：（1）圖1組整體是邊長為a+b的正方形，因此面積為（a+b）2，圖1中4個部分面積的和為a2+2ab+b2，因此有（a+b）2＝a2+2ab+b2，故答案為：①；（2）①∵a+b＝5，ab＝3，∴a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝25﹣6＝19；②設AC＝a、BC＝b，則AB＝a+b＝7，S1+S2＝a2+b2＝23，∵（a+b）2＝a2+b2+2ab，∴2ab＝（a+b）2﹣（a2+b2）＝49﹣23＝26，∴S陰影部分＝ab＝．【點評】本題考查平方差公式、完全平方公式的幾何背景，掌握完全平方公式、平方差公式的結構特征是正確解答的前提．23．已知：在等邊△ABC中，點E是AB邊所在直線上的一個動點（E與A、B兩點均不重合），點D在CB的延長線上，且ED＝EC．（1）如圖①，當E是AB邊的中點時，求證：AE＝BD；（2）如圖②，當E是線段AB邊上任意一點時，（1）中的結論是否一定成立？請說明理由；（3）若點E是線段AB的延長線上任一點，ED＝EC，AE＝2，AC＝1，求CD的長．【分析】（1）根據等邊三角形的性質和等腰三角形的性質證出∠D＝∠DEB，則BD＝BE，即可得出結論；（2）過E作EF∥BC交AC于F，證△AEF是等邊三角形，得AE＝EF＝AF，再證△DEB≌△ECF（AAS），得BD＝EF，即可得出結論；（3）過E作EF∥BC交CA的延長線于F，則△AEF為等邊三角形，得AF＝AE＝EF＝2，∠F＝60°，再證△CEF≌△EDB（AAS），得BD＝EF＝2，即可得出答案．【解答】（1）證明：∵△ABC為等邊三角形，點E為AB的中點，∴∠ABC＝∠ACB＝60°，CE平分∠ACB，AE＝BE，∴，∵DE＝CE，∴∠D＝∠ECB＝30°，∵∠ABC＝∠D+∠DEB，∴∠DEB＝∠ABC﹣∠D＝30°，∴∠D＝∠DEB，∴BD＝BE，∴AE＝BD；（2）解：當點E為線段AB上任意一點時，（1）中的結論成立，理由如下：如圖②，過E作EF∥BC交AC于F，∵△ABC是等邊三角形，∴∠ABC＝∠ACB＝∠A＝60°，AB＝AC＝BC，∴∠AEF＝∠ABC＝60°，∠AFE＝∠ACB＝60°，即∠AEF＝∠AFE＝∠A＝60°，∴△AEF是等邊三角形，∴AE＝EF＝AF，∵∠ABC＝∠ACB＝∠AFE＝60°，∴∠DBE＝∠EFC＝120°，∠D+∠BED＝∠FCE+∠ECD＝60°，∵DE＝EC，∴∠D＝∠ECD，∴∠BED＝∠ECF，在△DEB和△ECF中，，∴△DEB≌△ECF（AAS），∴BD＝EF，∴AE＝BD；（3）解：如圖③，過E作EF∥BC交AC的延長線于F，則△AEF為等邊三角形，∠ECD＝∠CEF，∴AF＝AE＝EF＝2，∠F＝60°，∵EC＝ED，∴∠D＝∠ECD，∴∠CEF＝∠D，∵△ABC是等邊三角形，∴BC＝AC＝1，∠ABC＝60°，∴∠DBE＝∠ABC＝60°，∴∠F＝∠DBE，在△CEF和△EDB中，，∴△CEF≌△EDB（AAS），∴BD＝EF＝2，∴CD＝BD+AC＝2+1＝3．【點評】本題是三角形綜合題目，考查的是等邊三角形的性質與判定、全等三角形的判定與性質、等腰三角形的性質、平行線的性質等知識，本題綜合性強，熟練掌握等邊三角形的判定與性質，證明三角形全等是解題的關鍵．24．在四邊形ABCD中．（1）如圖1，AB＝AD，∠ABC＝∠ADC＝90°，E，F分別是BC，CD上的點，且∠EAF＝∠DAB，探究圖中EF，BE，DF之間的數量關系．小林同學探究此問題的方法是：延長CB到點G，使BG＝DF．連接AG，先對比△ABG與△ADF的關系，再對比△AEF與△AEG的關系，可得出EF、BE、DF之間的數量關系，他的結論是EF＝BE+DF；（2）如圖2，在四邊形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠ADF＝180°，E、F分別是BC，CD上的點，且∠EAF＝∠DAB，則上述結論是否仍然成立，請說明理由．（3）如圖3，在四邊形ABCD中，∠ABC+∠ADC＝180°，AB＝AD，若點F在CB的延長線上，點E在CD的延長線上，若EF＝BF+DE，請寫出∠EAF與∠DAB的數量關系，并給出證明過程．【分析】（1）延長FD到點G，使DG＝BE，連接AG，可判定△ABE≌△ADG，進而得出∠BAE＝∠DAG，AE＝AG，再判定△AEF≌△AGF，可得結論；（2）延長FD到點G，使DG＝BE，連接AG，先判定△ABE≌△ADG，進而得出∠BAE＝∠DAG，AE＝AG，再判定△AEF≌△AGF，可得結論；（3）在DC延長線上取一點G，使得DG＝BE，連接AG，先判定△ADG≌△ABE，再判定△AEF≌△AGF，得出∠FAE＝∠FAG，最后根據∠FAE+∠FAG+∠GAE＝360°，推導得到2∠FAE+∠DAB＝360°，即可得出結論．解：（1）結論：EF＝BE+DF．理由：如圖1，延長CB到點G，使BG＝DF，連接AG，在△ABG和△ADF中，，∴△ABG≌△ADF（SAS），∴∠BAE＝∠DAG，AF＝AG，∴∠FAG＝∠DAB，∵∠EAF＝∠DAB，∴∠EAF＝∠EAG，在△AEF和△AEG中，，∴△AEF≌△AEG（SSS），∴EF＝EG＝BE+DF．故答案為：EF＝BE+DF；（2）仍成立，理由：如圖2，延長FD到點G，使DG＝BE，連接AG，∵∠B+∠ADF＝180°，∠ADG+∠ADF＝180°，∴∠B＝∠ADG，在△ABE和△ADG中，，∴△ABE≌△ADG（SAS），∴∠BAE＝∠DAG，AE＝AG，∴∠FAG＝∠DAB，∵∠EAF＝∠DAB，∴∠EAF＝∠EAG，在△AEF和△AEG中，，∴△AEF≌△AEG（SSS），∴EF＝EG＝BE+DF；（3）結論：∠EAF＝180°﹣∠DAB．理由：如圖3，在DC延長線上取一點G，使得DG＝BE，連接AG，∵∠ABC+∠ADC＝180°，∠ABC+∠ABE＝180°，∴∠ADC＝∠ABE，在△ABE和△ADG中，，∴△ABE≌△ADG（SAS），∴AG＝AE，∠DAG＝∠BAE，在△AEF和△AGF中，，∴△AEF≌△AGF（SSS），∴∠FAE＝∠FAG，∵∠FAE+∠FAG+∠GAE＝360°，∴2∠FAE+（∠GAB+∠BAE）＝360°，∴2∠FAE+（∠GAB+∠DAG）＝360°，即2∠FAE+∠DAB＝360°，∴∠EAF＝180°﹣∠DAB．【點評】本題屬于三角形綜合題，主要考查了全等三角形的判定以及全等三角形的性質的綜合應用，解決問題的關鍵是作輔助線構造全等三角形，根據全等三角形的對應角相等進行推導變形．解題時注意：同角的補角相等．25．