2022-2023學年山東省威海乳山市高一上學期12月月考數學試題一、單選題1．已知集合，那么下列關系正確的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據元素與集合、集合與集合的關系進行判斷即可.【詳解】集合，對選項A，則，故A錯誤；對選項B，，故B正確；對選項C，，故C錯誤；對選項D，表示集合，表示錯誤，故D錯誤.故選：B.2．設，，，則，，的大小關系為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用對數函數和指數函數的性質求解.【詳解】解：∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴，故選：C.3．若正數a、b滿足，則下列各式中恒正確的是（

）A．； B．； C．； D．．【答案】B【分析】由條件可得，可判斷AC，由，可判斷C，由可判斷D.【詳解】∵，∴，當且僅當時等號成立，∴，∴，可取到，故A錯誤；∵，∴，當且僅當時取等號，故B正確；由上知，故C錯誤；由，∴，取，，不成立，故D錯誤.故選：B．4．某市工業生產總值2018年和2019年連續兩年持續增加，其中2018年的年增長率為p，2019年的年增長率為q，則該市這兩年工業生產總值的年平均增長率為（

）A．； B．； C．； D．．【答案】D【分析】設出平均增長率，并根據題意列出方程，進行求解【詳解】設該市2018、2019這兩年工業生產總值的年平均增長率為x，則由題意得：，解得，，因為不合題意，舍去故選D．5．已知某地區中小學生人數和近視情況分別如圖1和如圖2所示，為了了解該地區中小學生的近視形成原因，用分層抽樣的方法抽取的學生進行調查，則樣本容量和抽取的高中生近視人數分別為（）A．， B．， C．， D．，【答案】B【詳解】試題分析：由題意知，樣本容量為，其中高中生人數為，高中生的近視人數為，故選B.【考點定位】本題考查分層抽樣與統計圖，屬于中等題.6．下列函數中，函數圖象關于y軸對稱，且在上單調遞增的是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據題意函數為偶函數且在上單調遞增，對選項進行逐一驗證.【詳解】函數圖象關于y軸對稱，則函數為偶函數，選項A.不是偶函數，故排除.選項B.是偶函數，且在上單調遞增，滿足條件.選項C.不是偶函數，故排除.選項D.是偶函數，當時，是減函數，不滿足.故選：B7．已知函數對于任意兩個不相等實數，都有成立，則實數的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由題可得函數為減函數，根據單調性可求解參數的范圍.【詳解】由題可得，函數為單調遞減函數，當時，若單減，則對稱軸，得：,當時，若單減，則，在分界點處，應滿足，即，綜上：故選：B8．Logistic模型是常用數學模型之一，可用于流行病學領域.有學者根據所公布的數據建立了某地區新冠肺炎累計確診病例（的單位：天）的Logistic模型：，其中為最大確診病例數.當時，標志著已初步遏制疫情，則約為（

）A．35 B．36 C．60 D．40【答案】B【分析】根據題意列出等式，整理化簡可得，解出即可.【詳解】由題意知，，得，整理，得，即，解得.故選：B二、多選題9．已知p：，成立，則下列選項是p的充分不必要條件的是（

）A． B．C． D．【答案】AC【分析】依題意由存在量詞命題為真求出參數的取值范圍，再根據充分條件、必要條件的定義判斷即可；【詳解】解：由p：，成立，得當時，，即.對于A，“”是“”的充分不必要條件；對于B，“”是“”的既不充分也不必要條件；對于C，“”是“”的充分不必要條件；對于D，“”是“”的既不充分也不必要條件.故選：AC.10．下列對各事件發生的概率判斷正確的是（）A．某學生在上學的路上要經過4個路口，假設在各路口是否遇到紅燈是相互獨立的，遇到紅燈的概率都是，那么該生在上學路上到第3個路口首次遇到紅燈的概率為B．三人獨立地破譯一份密碼，他們能單獨譯出的概率分別為，，，假設他們破譯密碼是彼此獨立的，則此密碼被破譯的概率為C．甲袋中有8個白球，4個紅球，乙袋中有6個白球，6個紅球，從每袋中各任取一個球，則取到同色球的概率為D．設兩個獨立事件A和B都不發生的概率為，A發生B不發生的概率與B發生A不發生的概率相同，則事件A發生的概率是【答案】AC【分析】根據每個選項由題意進行計算，從而進行判斷即可【詳解】對于A,該生在第3個路口首次遇到紅燈的情況為前2個路口不是紅燈,第3個路口是紅燈,所以概率為,故A正確；對于B,用A、B、C分別表示甲、乙、丙三人能破譯出密碼,則,,,“三個人都不能破譯出密碼”發生的概率為,所以此密碼被破譯的概率為,故B不正確；對于C,設“從甲袋中取到白球”為事件A,則,設“從乙袋中取到白球”為事件B,則,故取到同色球的概率為,故C正確；對于D,易得,即,即,∴,又,∴,∴,故D錯誤故選AC【點睛】本題考查古典概型,考查事件的積,考查獨立事件,熟練掌握概率的求解公式是解題關鍵11．設，則下列區間中不存在零點的是（

）A． B． C． D．【答案】ACD【分析】判斷、的符號，根據零點存在定理即可判斷函數零點所在區間.【詳解】，，，函數的零點位于.故選：ACD12．已知函數，實數，滿足，則（

）A． B．，，使得C． D．【答案】CD【分析】根據函數解析式，作函數的圖象，根據圖象的特征，可得選項A、C的正誤，根據基本不等式，可得選項B、D的正誤.【詳解】畫出函數的圖象，如圖所示．由圖知，則，故A錯，C對．由基本不等式可得，所以，則，故B錯，D對．故選：CD．三、填空題13．已知函數，滿足不等式的解集為，且為偶函數，則實數________.【答案】0【分析】根據偶函數定義，可得，然后根據二次不等式的解集得到二次函數的兩個零點為，然后結合韋達定理，即可解出【詳解】根據解集易知：，為偶函數，可得：則有：易知的兩根為，則根據韋達定理可得：解得：故答案為：14．若函數在上遞減，則函數增區間________.【答案】【分析】函數在上遞減，利用復合函數的單調性可得的取值范圍，進而可判斷函數增區間．【詳解】設，則，在上遞增，函數在上遞減，在上遞減，可得函數增區間，即的單調遞減區間令，解得或函數增區間為故答案為：【點睛】本題考查復合函數的單調性，考查指對函數的性質，屬于中檔題．15．將一枚質地均勻的骰子先后拋擲兩次，若第一次朝上一面的點數為，第二次朝上一面的點數為，則函數在上為減函數的概率是_______.【答案】【解析】由函數在上為減函數，得到，再結合古典概型及其概率的計算方法，即可求解.【詳解】由題意，將一枚質地均勻的骰子先后拋擲兩次，可得，又由函數在上為減函數，則，即，當取1時，可取2，3，4，5，6；當取2時，可取4，5，6；當取3時，可取6，共9種，又因為的取值共36種情況，所以所求概率為.故答案為：.【點睛】本題主要考查了古典概型及其概率的計算公式的應用，其中解答中認真審題，合理利用古典概型及其概率的計算公式求解是解答的關鍵，著重考查了分析問題和解答問題的能力，屬于基礎題.16．已知函數在上的最大值與最小值分別為，，則________.【答案】4【分析】構造是奇函數，由奇函數的對稱性求解．【詳解】設，，，，所以是奇函數，又，，所以，．故答案為：4．四、解答題17．一元二次不等式對一切實數都成立的的取值集合為，函數的定義域為．(1)求集合，；(2)記，，是的充分不必要條件，求的取值范圍．【答案】(1)，；(2).【分析】（1）討論和兩種情況，結合判別式法求出A，由真數大于0求出B；（2）根據題意是D的真子集，進而求得答案.【詳解】（1）對A，若，則，滿足題意；若，則.綜上：，即.對B，，即.（2）由（1），，因為是的充分不必要條件，所以是D的真子集，于是，即.18．函數在上單調遞減，．(1)求的取值范圍；(2)當時，求的最小值．【答案】(1)(2)答案見解析.【分析】(1)二次函數與對數函數復合的單調性討論；(2)二次函數與指數函數復合的最小值，由x的取值范圍得到指數函數的取值范圍，再求二次函數的最小值.【詳解】（1）設，則由題意可得，，所以，所以，a的取值范圍為.（2）因為，所以.又因為，若時，有最小值；若時，有最小值，19．某中學有學生500人，學校為了解學生課外閱讀時間，從中隨機抽取了50名學生，收集了他們2018年10月課外閱讀時間（單位：小時）的數據，并將數據進行整理，分為5組：[10，12），[12，14），[14，16），[16，18），[18，20]，得到如圖所示的頻率分布直方圖．（Ⅰ）試估計該校所有學生中，2018年10月課外閱讀時間不小于16小時的學生人數；（Ⅱ）已知這50名學生中恰有2名女生的課外閱讀時間在[18，20]，現從課外閱讀時間在[18，20]的樣本對應的學生中隨機抽取2人，求至少抽到1名女生的概率；（Ⅲ）假設同組中的每個數據用該組區間的中點值代替，試估計該校學生2018年10月課外閱讀時間的平均數．【答案】（Ⅰ）150（Ⅱ）（Ⅲ）14.68【分析】（Ⅰ）由頻率分布直方圖求出課外閱讀時間不小于16小時的樣本的頻率為0.30，由此能估計該校所有學生中，2018年10月課外閱讀時間不小于16小時的學生人數；（Ⅱ）閱讀時間在[18，20]的樣本的頻率為0.10．從而課外閱讀時間在[18，20]的樣本對應的學生人數為5．這5名學生中有2名女生，3名男生，設女生為A，B，男生為C，D，E，從中抽取2人，利用列舉法能求出至少抽到1名女生的概率；（Ⅲ）由頻率分布直方圖能估計該校學生2018年10月課外閱讀時間的平均數．【詳解】（Ⅰ）0.10×2+0.05×2=0.30，即課外閱讀時間不小于16小時的樣本的頻率為0.30．因為500×0.30=150，所以估計該校所有學生中，2018年10月課外閱讀時間不小于16小時的學生人數為150.（Ⅱ）閱讀時間在[18，20]的樣本的頻率為0.05×2=0.10．因為50×0.10=5，即課外閱讀時間在[18，20]的樣本對應的學生人數為5．這5名學生中有2名女生，3名男生，設女生為A，B，男生為C，D，E，從中抽取2人的所有可能結果是：（A，B），（A，C），（A，D），（A，E），（B，C），（B，D），（B，E），（C，D），（C，E），（D，E）．其中至少抽到1名女生的結果有7個，所以從課外閱讀時間在[18，20]的樣本對應的學生中隨機抽取2人，至少抽到1名女生的概率為p=（Ⅲ）根據題意，0.08×2×11+0.12×2×13+0.15×2×15+0.10×2×17+0.05×2×19=14.68（小時）．由此估計該校學生2018年10月課外閱讀時間的平均數為14.68小時．【點睛】本題考查頻數、概率、平均數的求法，考查頻率分布直方圖、列舉法等基礎知識，考查運算求解能力，考查函數與方程思想，是基礎題．20．已知函數為奇函數．(1)求實數a的值；(2)若恒成立，求實數m的取值范圍．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用奇函數定義求出實數a的值；（2）先求解定義域，然后參變分離后求出的取值范圍，進而求出實數m的取值范圍.【詳解】（1）由題意得：，即，解得：，當時，，不合題意，舍去，所以,經檢驗符合題意；（2）由，解得：，由得：或，綜上：不等式中，變形為，即恒成立，令，當時，，所以，實數m的取值范圍為.21．習近平總書記在十九大報告中指出，“要著力解決突出環境問題，持續實施大氣污染防治行動”．為落實好這一精神，市環保局規定某工廠產生的廢氣必須過濾后才能排放．已知在過濾過程中，廢氣中的污染物含量（單位：毫克/升）與過濾時間（單位：小時）之間的函數關系式為：（為自然對數的底數，為污染物的初始含量）．過濾小時后檢測，發現污染物的含量為原來的．（1）求函數的關系式；（2）要使污染物的含量不超過初始值的，至少還需過濾幾小時？（參考數據：）【答案】（1）（2）30【分析】（1）由題意代入點（1，P0），求得函數P（t）的解析式；（2）根據函數P（t）的解析式，列不等式求出t的取值范圍即可．【詳解】解：（1）根據題設，得，所以，（2）由，得，兩邊取以10為底的對數，并整理，得t（1﹣3lg2）≥3，∴t≥30因此，至少還需過濾30小時【點睛】本題考查了指數函數模型的應用問題，求指數型函數的解析式，指數型不等式的解法，是中檔題．22．對于函數，若其定義域內存在實數滿足，則稱為“偽奇函數”．（1）已知函數，試問是否為“偽奇函數”？說明理由；（2）若冪函數使得為定義在上的“偽奇函數”，試求實數的取值范圍；（3）是否存在實數，使得是定義在上的“偽奇函數”，若存在，試求實數的取值范圍；若不存在，請說明理由．【答案】（1）不是；（2）；（3）．【分析】（1）先假設為“偽奇函數”，然后推出矛盾即可說明；（2）先根據冪函數確定出的解析式，然后將問題轉化為“在上有解”，根據指數函數的值域以及對勾函數的單調性求解出的取值范圍；（3）將問題轉化為“在上有解”，通過換元法結合二次函數的零點分布求解出的取值范圍.【詳解】（1）假設為“偽奇函數”，存在滿足