計(jì)算機(jī)輔助數(shù)學(xué)“五步法”課堂教學(xué)的探索與實(shí)踐——《和圓有關(guān)的比例線段》課例分析吳樹軍當(dāng)前，計(jì)算機(jī)輔助教學(xué)主要有主導(dǎo)型和主體型兩種模式。前者計(jì)算機(jī)完全由教師控制，課上給學(xué)生播放、展示；后者計(jì)算機(jī)主要由學(xué)生控制，學(xué)生在自己的計(jì)算機(jī)上選擇性學(xué)習(xí)，交互性強(qiáng)，有利于學(xué)生知識與能力的發(fā)展。然而，針對我們農(nóng)村鄉(xiāng)鎮(zhèn)中學(xué)的實(shí)際，計(jì)算機(jī)輔助教學(xué)，前者仍處于探索階段，后者還似乎不太現(xiàn)實(shí)。其原因也是非常明顯的：1、雖然許多學(xué)校較普遍的擁有計(jì)算機(jī)，但計(jì)算機(jī)數(shù)量較少，學(xué)生人數(shù)多。平均每生每周使用計(jì)算機(jī)時間不足2小時，而且主要用于計(jì)算機(jī)信息技術(shù)基礎(chǔ)課。僧多粥少現(xiàn)象在農(nóng)村現(xiàn)實(shí)狀況是不可能在短時間內(nèi)解決的。2、計(jì)算機(jī)輔助教學(xué)離不開多媒體教室。因?yàn)檗r(nóng)村學(xué)校財(cái)力有限，把所有或大多數(shù)教室裝備多媒體系統(tǒng)是不現(xiàn)實(shí)的。就目前實(shí)際來看，多媒體教室數(shù)量較少，投入使用時間較短，經(jīng)驗(yàn)不足，使用率不高。如何充分利用數(shù)量較少的多媒體教室，爭取盡可能地發(fā)揮其優(yōu)勢，收到盡可能好的教學(xué)效果，是需要研究探索的問題。3、教師使用計(jì)算機(jī)的能力不容樂觀。大部分教師使用計(jì)算機(jī)還只是停留在存儲文本資料上，教師雖然已認(rèn)識到計(jì)算機(jī)的直觀性好、交互性強(qiáng)、信息量大等特點(diǎn)，但在計(jì)算機(jī)輔助教學(xué)，如課件制作等方面感到眼高手低，力不從心。那么，怎樣用最少的資源辦最多的事呢？我們秀林中心學(xué)區(qū)數(shù)學(xué)教研組研究的“創(chuàng)情激趣——探究學(xué)習(xí)——結(jié)論確立——訓(xùn)練鞏固——反思提高”的數(shù)學(xué)“五步法”課堂教學(xué)模式，真正體現(xiàn)了“以人為本，主動發(fā)展”的教學(xué)觀念，是數(shù)學(xué)課堂教學(xué)落實(shí)素質(zhì)教育有效的可操作的方法。在實(shí)施數(shù)學(xué)“五步法”課堂教學(xué)中，搶占以計(jì)算機(jī)為龍頭的信息技術(shù)的“制高點(diǎn)”，充分發(fā)揮計(jì)算機(jī)的優(yōu)勢，將對培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新精神，提高學(xué)生的創(chuàng)造能力起到如虎添翼的作用。初中數(shù)學(xué)《和圓有關(guān)的比例線段》是在學(xué)生學(xué)習(xí)了圓的性質(zhì)、直線和圓的位置關(guān)系的基礎(chǔ)上建立的，在圓的計(jì)算和證明中有著重要的地位。由于學(xué)生已具備圓及相似三角形的基礎(chǔ)，因此在教學(xué)中恰當(dāng)?shù)貏?chuàng)設(shè)問題情境，借助課件的直觀性展示圖形運(yùn)動，給學(xué)生啟示，學(xué)生是可以自主完成學(xué)習(xí)過程的。為了充分展示知識的產(chǎn)生與發(fā)展過程，本節(jié)課打破教材編排體系，將四個結(jié)論在同一課時中學(xué)習(xí)，讓學(xué)生經(jīng)歷前人發(fā)現(xiàn)性質(zhì)類似的思維過程，深刻理解幾何圖形運(yùn)動中的不變性（量），有利于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)與探究意識，有利于學(xué)生的創(chuàng)造能力和健全人格的發(fā)展。基于以上原因，我們在本課中做了以下嘗試：背景：教師已初步掌握了簡單易學(xué)的“PowerPoint”的基本操作。教學(xué)地點(diǎn)：多媒體教室。教學(xué)過程實(shí)錄：教學(xué)過程設(shè)計(jì)說明創(chuàng)境激趣師：我們學(xué)過了點(diǎn)和圓的位置關(guān)系、直線和圓的位置關(guān)系，現(xiàn)在給你⊙O和經(jīng)過點(diǎn)P的兩條直線，請你畫出兩相交直線和圓的各種位置關(guān)系。從學(xué)生原有知識結(jié)構(gòu)出發(fā)提出富有挑戰(zhàn)性的問題。暗示了兩相交直線和圓的位置關(guān)系可與點(diǎn)和圓、直線和圓的位置關(guān)系類比，為打開學(xué)生的思維奠定了基礎(chǔ)。探究學(xué)習(xí)學(xué)生思考，操作（畫圖），討論，教師巡視，指生板圖。生1：板圖圖2、圖5（見后規(guī)范圖形，下同）生2：圖1、圖3、圖6生3：圖7師：剛才幾位同學(xué)的想像力很豐富，找出了幾種具有代表性的圖形位置，哪位同學(xué)還有補(bǔ)充。生4：圖4生5：圖8……師：這幾位同學(xué)很善于動腦筋，展開想像的翅膀，給出了問題的答案。想一想，我們能不能把這些情形分類呢？稍頓，學(xué)生思維活躍，交流熱烈。生：交點(diǎn)P在⊙O內(nèi)；交點(diǎn)P在⊙O上；交點(diǎn)P在⊙O外三類。師：非常精彩?？客瑢W(xué)們的自主探索得出了經(jīng)過一點(diǎn)P的兩條直線和圓的位置關(guān)系。出示課件，規(guī)范展示同學(xué)們的探索成果。給學(xué)生留有足夠的自主探索時間，使每一個學(xué)生都能主動地參與到問題解決的過程中，通過學(xué)生動手、實(shí)驗(yàn)、操作，培養(yǎng)學(xué)生的聯(lián)想、類比能力，開發(fā)學(xué)生的思維。利用課件迅速展示同學(xué)們的研究成果，使學(xué)生品嘗成功的喜悅，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，并通過師生的辨析，將圖形規(guī)范化，并分類，使學(xué)生在相互合作的學(xué)習(xí)中學(xué)會與人合作。教學(xué)過程設(shè)計(jì)說明創(chuàng)境激趣師：以上我們共同研究了經(jīng)過一點(diǎn)P的兩直線與圓的位置關(guān)系，幾何中有時除研究位置關(guān)系外，還需進(jìn)一步研究數(shù)量關(guān)系。請同學(xué)們思慮，被P點(diǎn)所分的四條線段PA、PB、PC、PD在數(shù)量上有什么關(guān)系。為研究問題方便，不妨從特殊圖形（圖1）入手考慮。出示課件（圖1），學(xué)生觀察、猜想。生1：PA=PB=PC=PD；PA±PB=PC±PD（結(jié)論1）生2：連結(jié)AD、BC，易證△APD∽△CPB，得PA/PD=PC/PB，即PA×PB=PC×PD（結(jié)論2）生3：連結(jié)AC、BD也可得出結(jié)論2。課件展示結(jié)論師：完全正確。幾位同學(xué)的思維很開放。那么，在其它圖形中，上述結(jié)論是否仍然成立呢？研究了位置關(guān)系，接著提出數(shù)量關(guān)系，培養(yǎng)學(xué)生從“形”和“數(shù)”兩方面思考同一問題的思維品質(zhì)。探究學(xué)習(xí)課件展示動畫（圖1中AB、CD運(yùn)動至圖2）學(xué)生注意力高度集中，交頭接耳，積極思考。生：結(jié)論2仍然成立。因?yàn)檫B結(jié)AC、BD，顯然△APC∽△DPB，可得PA/PD=PC/PB；PA×PB=PC×PD。師：很好。顯然這位同學(xué)的發(fā)現(xiàn)可統(tǒng)一成：PA×PB=PC×PD。課件展示結(jié)論課件展示動畫（圖2中AB、CD運(yùn)動至圖3）師：若點(diǎn)P移到直徑CD上（非圓心），弦AB與CD垂直，上述結(jié)論是否成立？你還發(fā)現(xiàn)哪些結(jié)論呢？學(xué)生思考，交流討論。生：PA×PB=PC×PD仍然成立。由垂徑定理得PA=PB，從而PA2=PB2=PC×PD。師：真聰明，還有所創(chuàng)新，發(fā)現(xiàn)了特殊的結(jié)論，看來，圖形位置特殊，結(jié)論也就特殊，學(xué)習(xí)幾何還挺有趣呀。課件展示結(jié)論課件展示動畫（圖3中AB、CD運(yùn)動至圖4）師：當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動到圓上（A、C與P重合）時，結(jié)論是否成立呢？稍頓。生：結(jié)論2仍然成立。PA×PB和PC×PD都為0。師：看來，事物之間是有聯(lián)系的，同學(xué)們抓住了這一規(guī)律。課件展示結(jié)論課件展示動畫（圖4中兩弦運(yùn)動，延長線交于圓外一點(diǎn)P得圖5）生（很急切）：PA×PB=PC×PD仍然成立。師：是嗎？學(xué)生驗(yàn)證，很驚喜。利用課件展示圖形運(yùn)動變化過程，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，幫助學(xué)生從幾何圖形運(yùn)動中發(fā)現(xiàn)相互聯(lián)系，使學(xué)生養(yǎng)成由特殊到一般，又由一般到特殊的良好的思維品質(zhì)。教學(xué)過程設(shè)計(jì)說明探究學(xué)習(xí)生1：連結(jié)AC、BD，顯然△PAC∽△PDB，仍然可得PA×PB=PC×PD。生2：連結(jié)AD、BC可證△PCB∽△PAD，也可得PA×PB=PC×PD。教師興奮、贊嘆，課件展示結(jié)論。課件展示動畫（圖5中PCD運(yùn)動至圖6）生：PA×PB=PC×PD仍然成立，不過C與D重合，結(jié)論更特殊：PC2=PD2=PA×PB。師：你能論證嗎？生：連結(jié)AC、BC，由弦切角定理得∠PCA=∠B，∠P為公共角，則△PAC∽△PCB，得PA/PC=PC/PB，即PC2=PA×PB。師：很好，這位同學(xué)的思維敏捷，論證嚴(yán)密。課件展示結(jié)論課件展示動畫（圖6中PAB運(yùn)動至圖7）生（很痛快）：PA×PB=PC×PD即PA=PC（PB=PD）課件展示結(jié)論生（很急切）：這就是我們前面學(xué)習(xí)的切線長定理呀！師：同學(xué)們通過圖形的運(yùn)動發(fā)現(xiàn)了一般規(guī)律，而且在特殊圖形中還發(fā)現(xiàn)了特殊的結(jié)論，并且能與所學(xué)知識相聯(lián)系，真了不起！反思提高課件展示。22師生共同點(diǎn)評（略）課件展示知識結(jié)構(gòu)，使分類思想及事物之間的相互聯(lián)系和運(yùn)動變化的辯證唯物主義觀點(diǎn)滲透在教學(xué)中。教學(xué)過程設(shè)計(jì)說明創(chuàng)境激趣課件展示。已知⊙O及一定點(diǎn)P，⊙O的半徑為R，點(diǎn)O、P的距離為d，過定點(diǎn)P的直線交⊙O于A、B，求PA×PB的值（分點(diǎn)P在圓內(nèi)、圓上、圓外三種情況討論）。借助課件展示富有探索性、創(chuàng)造性的問題情境，激發(fā)學(xué)生思考研究的興趣。探究學(xué)習(xí)結(jié)論確立學(xué)生忙著根據(jù)課件提示，分組討論，作圖、探索、交流。生1：圖A中PA×PB=（R-d）（R+d）=R2-d2；圖C中PA×PB=（d+R）（d-R）=d2-R2。圖B中PA×PB=0。師：說得非常好！這位同學(xué)分三種情況得出PA×PB的值，那么PA×PB的值能否統(tǒng)一成一個表達(dá)式呢？學(xué)生思維活躍生2：圖A、圖B中PA×PB的值可統(tǒng)一成|R2-d2|。生3：因?yàn)閳DC中R與d相等，PA×PB=|R2-d2|=0，所以PA×PB的值也可統(tǒng)一成|R2-d2|。課件展示結(jié)論師：好厲害。同學(xué)們這種團(tuán)結(jié)協(xié)作的精神值得我學(xué)習(xí)，同學(xué)們親自體驗(yàn)了前人發(fā)現(xiàn)性質(zhì)的思維過程，當(dāng)科學(xué)家的夢想一定能實(shí)現(xiàn)。課件展示過一定點(diǎn)P向⊙O作任一直線，交⊙O于兩點(diǎn)，則自定點(diǎn)P到兩交點(diǎn)的兩線段之積為常數(shù)|OP2-R2|（即PA×PB=|OP2-R2|，其中R為⊙O的半徑），因?yàn)镺P2-R2叫做點(diǎn)P對于⊙O的冪，所以本節(jié)的定理稱為圓冪定理。利用課件引導(dǎo)學(xué)生思考，幫助學(xué)生規(guī)范所得，將本節(jié)課的結(jié)論在形式上、實(shí)質(zhì)上實(shí)施了統(tǒng)一。反思提高通過上述教學(xué)過程，引導(dǎo)學(xué)生從以下幾個方面進(jìn)行反思與評價(jià)。1、通過畫圖操作得出兩相交直線和圓的位置關(guān)系，又通過類比、猜想、歸納得到相交弦定理及其推論、切割線定理及其推論（圓冪定理）。2、借助課件的動畫演示，體會到幾何圖形運(yùn)動中的相互聯(lián)系。3、進(jìn)一步掌握了以觀察、類比、猜想、歸納、分類討論等數(shù)學(xué)思想方法。4、研究幾何問題往往從兩方面進(jìn)行：①位置關(guān)系②數(shù)量關(guān)系。5、在研究線段的數(shù)量關(guān)系時，我們采用了歸納法（從特殊圖形開始推出一般圖形結(jié)論）。歸納法是我們研究數(shù)學(xué)問題的重要方法。反思是提高和發(fā)展自己的過程，是讓學(xué)生體驗(yàn)成功的喜悅的過程。反思再次體現(xiàn)了課件在突破教學(xué)難點(diǎn)中的作用?？v觀這節(jié)課的計(jì)算機(jī)輔助教學(xué)，我認(rèn)為具有以下特點(diǎn)：教學(xué)軟件選擇合理?！癙owerPoint”可通過計(jì)算機(jī)播放文字、圖形圖像、聲音、動畫和視頻影像等多媒體信息，也可以加入交互，以實(shí)現(xiàn)媒體鏈接功能。對初次接觸計(jì)算機(jī)教學(xué)的教師來說，該軟件比Authorware、Flash等多媒體軟件簡單易學(xué)，加上自己的創(chuàng)造、加工，充分開發(fā)其功能，使課件制作的時間、精力較少，合理解決了教學(xué)投入與教學(xué)效果的矛盾，充實(shí)了學(xué)校的教學(xué)資源庫，使數(shù)學(xué)“五步法”課堂教學(xué)得到靈活地應(yīng)用。借助課件突出重點(diǎn)，突破難點(diǎn)。計(jì)算機(jī)輔助教學(xué)不應(yīng)是為了迎合學(xué)生的興趣，一味追求形式的活潑、藝術(shù)的效果，過多強(qiáng)調(diào)色彩和動畫，以致喧賓奪主，而應(yīng)是怎樣利用其優(yōu)勢突出教學(xué)重點(diǎn)，突破教學(xué)難點(diǎn)。大多數(shù)學(xué)生理解的問題就不必利用課件。本節(jié)課中“幾何圖形運(yùn)動中的相互聯(lián)系”既是教學(xué)重點(diǎn)，也是難點(diǎn)，利用課件展示幾何圖形的運(yùn)動，從而為學(xué)生自主探索一般規(guī)律提供了可能。真正建構(gòu)學(xué)生的主體地位，真實(shí)展現(xiàn)學(xué)生的學(xué)習(xí)活動。數(shù)學(xué)“五步法”要真正建構(gòu)了學(xué)生的主體地位，真實(shí)展現(xiàn)了學(xué)生的學(xué)習(xí)活動。本節(jié)課計(jì)算機(jī)輔助“五步法”課堂教學(xué)，沒有由“人灌”變成“機(jī)灌”，