3.2.2奇偶性第3章函數的概念與性質人教A版2019必修第一冊03判斷函數奇偶性目錄01.偶函數的概念和性質02.奇函數的概念和性質04奇偶性的性質與應用學習目標1、理解函數的奇偶性及其幾何意義，培養數學抽象的核心素養；2、學會運用函數圖象理解和研究函數的奇偶性，提升直觀想象的核心素養；3、學會判斷函數的奇偶性，強化邏輯推理的核心素養；4.在具體問題情境中，運用數形結合思想，利用奇偶性解決函數性質的總個問題，提升數學運算的核心素養。生活中的對稱情景引入1.偶函數的概念和性質在平面直角坐標系中，利用描點法作出函數和的圖象并觀察這兩個函數圖象，總結出它們的共同特征。xyo12345-1123-1-2-3x…-3-2-10123…f(x)=x2……9410149x…-3-2-10123…f(x)=|x|……-101210-1xyo12345-1123-1-2-3圖象關于y軸對稱f(-1)f(1)f(-2)f(2)f(-3)f(3)===-xx(x.f(x))(-x,f(-x))f(-x)f(x)???=任意一點x-3-2-10123f(x)=x2g(x)=2-|x|不妨取自變量的一些特殊值，觀察相應函數值的情況，如下表：可以發現，當自變量x取一對相反數時，相應的函數值f(x)相等.9410149-101210-1

觀類比函數的單調性,你能用符號語言精確描述“函數圖像關于y軸對稱”的這種特征嗎？（自變量與函數值之間的變化關系？）函數f(x)=x2,x∈[-2,2]是偶函數嗎？函數g(x)=x2,x∈[-1,2]是偶函數嗎？是偶函數不是偶函數

一般地，設函數f(x)的定義域為I，如果?x∈I，都有－x∈I，且f(－x)=f(x)，那么函數f(x)就叫做偶函數．偶函數f(x)

一般地，設函數f(x)的定義域為I，如果?x∈I，都有－x∈I，且f(－x)=f(x)，那么函數f(x)就叫做偶函數．?x∈I，f(－x)=f(x)

圖像關于y軸對稱代數特征幾何特征?x∈I，都有－x∈I定義域I關于原點對稱-aaOO-aaOa-ab-b2.奇函數的概念和性質

觀察函數和的圖象，并完成下面的兩個函數值對應表，你能發現這兩個函數有什么共同特征嗎？圖象關于原點對稱

這兩個函數的圖像都關于原點成中心對稱.x-3-2-10123f(x)=x

為了用數學符號語言描述這一特征，不妨取自變量的一些特殊值，觀察相應函數值的情況，如下表：

可以發現，當自變量x取一對相反數時，相應的函數值f(x)也是一對相反數.-3-2-10123

一般地，設函數f(x)的定義域為I，如果?x∈I，都有－x∈I，且f(－x)=－f(x)，那么函數f(x)就叫做奇函數．?x∈I，f(－x)=－f(x)

奇函數f(x)圖像關于原點對稱代數特征幾何特征?x∈I，都有－x∈I定義域I關于原點對稱函數f(x)=x,x∈[-2,2]是奇函數嗎？是奇函數函數g(x)=x,x∈[-1,3]是奇函數嗎？不是奇函數

一般地，設函數f(x)的定義域為I，如果?x∈I，都有－x∈I，且f(－x)=－f(x)，那么函數f(x)就叫做奇函數．1.根據函數的圖象判斷函數奇偶性：偶函數圖象關于y軸對稱奇函數圖象關于原點對稱2.根據定義判斷函數的奇偶性：（1）先求定義域，看是否關于原點對稱；（2）再判斷f(-x)=-f(x)或f(-x)=f(x)是否恒成立；（3）根據定義下結論．如何判斷函數的奇偶性？3.判斷函數奇偶性解：

判斷下列函數的奇偶性：（1）函數的定義域為R.所以，函數為偶函數.（2）函數的定義域為R.所以，函數為奇函數.（3）函數的定義域為

所以，函數為奇函數.（4）函數的定義域為

所以，函數為偶函數.奇偶性是函數在它的定義域上的整體性質，所以判斷函數的奇偶性，應先明確它的定義域.典例14.奇偶性的性質與應用【探究】（1）如何判斷函數的奇偶性？【解】(1)利用函數奇偶性定義來判斷，函數

的定義域為R，且有

所以此

函數是奇函數.

（2）已知函數圖像的一部分，如何畫出剩余部分？

(2)由奇函數的圖像關于原點成中心對稱可以畫出函數在y軸左側對的圖像，將y軸右側的圖像沿著原點旋轉180°即可，畫出的圖像如圖所示.

【拓展】（1）奇偶函數的單調性：①奇函數：奇函數在y軸左右兩邊的單調性是完全相同的.如果

奇函數在區間[a,b]上的單調增函數，那么在區間[-a,-b]上就

是單調增函數.②偶函數：奇函數在y軸左右兩邊的單調性是完全相反的.如果

偶函數在區間[a,b]上的單調增函數，那么在區間[-a,-b]上就

是單調減函數.【拓展】（2）奇偶函數的運算性質及符合函數的奇偶性：

設，的定義域分別是A和B，在公共定義域上有：【注】上表中不考慮和的情況；

中需，.偶偶偶偶奇

奇奇奇偶奇偶奇偶奇偶奇偶偶偶奇

【1】已知是偶函數，是奇函數，將下面的圖像補充完整.【解】根據奇偶函數的對稱性，分別將偶函數沿著y軸作對稱；

把奇函數沿著原點作中心對稱，答案見圖上.

課本練習1.已知f(x)是偶函數，g(x)是奇函數，試將下圖補充完整.2.判斷下列函數的奇偶性.解：為偶函數.常用結論：函數解析式為多項式時，奇偶性與奇次項和偶次項的系數有關.如，，若為奇函數，則a=c=e=0，若為偶函數，則b=d=0為偶函數.練習3.（1）從偶函數的定義出發，證明函數y=f(x)是偶函數的充要條件是它的圖象關于y軸對稱；（2）從奇函數的定義出發，證明函數y=f(x)是奇函數的充要條件是它的圖象關于原點對稱.解：（1）充分性：若y=f(x)的圖象關于y軸對稱，設為圖象上任意一點，則M關于y軸的對稱點仍在該圖象上，即，所以y=f(x)為偶函數；必要性：若y=f(x)為偶函數，設為f（x）圖象上任意一點，M關于y軸的對稱點為.由于f（x）為偶函數，所以所以在函數的圖象上，所以f（x）的圖象關于y軸對稱.練習3.（1）從偶函數的定義出發，證明函數y=f(x)是偶函數的充要條件是它的圖象關于y軸對稱；（2）從奇函數的定義出發，證明函數y=f(x)是奇函數的充要條件是它的圖象關于原點對稱.解：（2）充分性：若y=f(x)的圖象關于原點對稱，設為圖象上任意一點，則M關于原點的對稱點仍在該圖象上，即

，所以y=f(x)為奇函數；必要性：若y=f(x)為奇函數，設為f（x）圖象上任意一點，則M關于原點的對稱點為，由于f（x）為奇函數，所以

，所以在函數y=f(x)的圖象上，所以f（x）的圖象關于原點對稱.隨堂檢測BCC00

總結：函數的奇偶性是函數的整體性質，體現圖象的對稱性偶函數奇函數定義一般地,設函數f(x)有的定義域為I,如果x∈I,都有-x∈I,即定義域關于原點對稱f(-x)=f(x)，那么函數f(x)就叫做偶函數f(-x)=-f(x),那么函數f(x)就叫做奇函數函數的定義域關于原點對稱，是這個函數具有奇偶性的前提條件.幾何特征偶函數的圖象關于y軸對稱，即如果點(