19.1.2矩形的判定華東師大版第19章矩形、菱形與正方形1.理解并掌握矩形的判定定理，能有理有據(jù)的推理證明，精練準(zhǔn)確地書寫表達(dá).2.能熟練應(yīng)用矩形的性質(zhì)、判定等知識(shí)進(jìn)行有關(guān)證明和計(jì)算.學(xué)習(xí)目標(biāo)矩形的判定：方法一(定義判定)：有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形；方法二(角判定)：有三個(gè)角是直角的四邊形是矩形；合作探究新知一由直角的個(gè)數(shù)判定矩形易錯(cuò)警示：用定義判定一個(gè)四邊形是矩形必須滿足兩個(gè)條件：一是有一個(gè)角是直角，二是四邊形是平行四邊形．也就是說(shuō)有一個(gè)角是直角的四邊形不一定是矩形，必須加上“平行四邊形”這個(gè)條件它才是矩形．例1如圖，四邊形ABCD是由兩個(gè)全等的正三角形ABD和BCD組成的，M、N分別為BC、AD

的中點(diǎn).求證:四邊形BMDN是矩形.分析：由已知條件，可知BN⊥AD，DM⊥BC，因此，在四邊形BMDN中，已有兩個(gè)角是直角，只需再證明另一個(gè)角也是直角即可得到它是一個(gè)矩形.證明：∵△ABD和△BCD是全等的正三角形，∴∠ADB＝∠CDB＝60°.又∵M(jìn)、N分別為BC、AD的中點(diǎn)，∴BN⊥AD，DM⊥BC，∠BDM＝30°，∴∠DNB＝∠DMB＝90°，∠MDN＝∠ADB＋∠BDM＝90°,∴四邊形BMDN是矩形(有三個(gè)角是直角的四邊形是矩形).例2如圖，ABCD的四個(gè)內(nèi)角的平分線分別相交于點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H.求證：四邊形EFGH是矩形．導(dǎo)引：要證明四邊形EFGH是矩形，由于已知ABCD的四個(gè)內(nèi)角的平分線分別相交于點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H，因此可選用“有三個(gè)角是直角的四邊形是矩形”來(lái)證明．∵AB∥CD，∴∠ABC＋∠BCD＝180°.∵BG平分∠ABC，CG平分∠BCD，∴∠GBC＋∠GCB＝×180°＝90°，∴∠BGC＝90°.同理可得∠AFB＝∠AED＝90°.∴∠GFE＝∠FEH＝∠FGH＝90°.∴四邊形EFGH是矩形．證明：矩形的判定：方法三(對(duì)角線判定)：對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形；或?qū)蔷€相等且互相平分的四邊形是矩形．要點(diǎn)精析：(1)矩形的判定與性質(zhì)是互逆定理；(2)判定矩形的常見(jiàn)思路如圖：合作探究新知二由對(duì)角線的關(guān)系判定矩形易錯(cuò)警示：用對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形判定一個(gè)四邊形是矩形必須滿足兩個(gè)條件：一是對(duì)角線相等，二是四邊形是平行四邊形．也就是說(shuō)兩條對(duì)角線相等的四邊形不一定是矩形，必須加上“平行四邊形”這個(gè)條件它才是矩形．例3如圖，點(diǎn)O是矩形ABCD的對(duì)角線AC與BD的交點(diǎn)，E、F、G、H分別是AO、BO、CO、DO上的一點(diǎn)，且AE＝BF＝CG＝DH.求證：四邊形EFGH是矩形.根據(jù)已知條件，我們可以先證明四邊形EFGH是平行四邊形，再證明對(duì)角線EG和FH相等，即可得證.分析：∵四邊形ABCD是矩形，∴AO＝BO＝CO＝DO.∵AE＝BF＝CG＝DH,∴OE＝OF＝OG＝OH，∴四邊形EFGH是平行四邊形.∵EO＋OG＝FO＋OH，即EG＝FH，∴四邊形EFGH是矩形(對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形).證明：例4如圖，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，垂足為點(diǎn)D，AG是△ABC的外角∠FAC的平分線，DE∥AB，交AG于點(diǎn)E.求證：四邊形ADCE是矩形.根據(jù)已知條件AB＝AC，我們可以先通過(guò)證明四邊形ABDE是平行四邊形，得到DE＝AB＝AC，因此可以利用“對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形”這一判定定理.分析：∵AB＝AC，AD⊥BC，∴∠B＝∠ACB，BD＝DC.又∵AE是△ABC的外角∠CAF的平分線，∴∠1＝∠CAF＝(∠B＋∠ACB)＝∠B，∴AE∥BC.又∵AB∥DE，∴四邊形ABDE是平行四邊形，∴AE＝BD，AB＝DE，∴AC＝DE，AE＝DC.又∵AE∥DC，∴四邊形ADCE是平行四邊形，∴四邊形ADCE是矩形(對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形）.?證明：例5〈探究題〉如圖，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝5，E、P分別在AD、BC上，且DE＝BP＝1，AP，BE相交于點(diǎn)H，CE，DP相交于點(diǎn)F.(1)判斷△BEC的形狀，并說(shuō)明理由；(2)判斷四邊形EFPH是什么特殊四邊形，并證明你的判斷．根據(jù)矩形性質(zhì)得出CD＝2，AD＝5，根據(jù)勾股定理求出CE和BE，進(jìn)而求出CE2＋BE2，BC2，根據(jù)勾股定理的逆定理即可判斷△BEC的形狀；導(dǎo)引：(1)判斷△BEC的形狀，并說(shuō)明理由；(1)△BEC是直角三角形．理由：∵四邊形ABCD是矩形，∴∠ADC＝∠EAB＝90°，AD＝BC＝5，CD＝AB＝2，由勾股定理得：CE＝同理BE＝

，∴CE2＋BE2＝5＋20＝25.∵BC2＝52＝25，∴BE2＋CE2＝BC2，∴∠BEC＝90°，∴△BEC是直角三角形．解：根據(jù)矩形的性質(zhì)和平行四邊形的判定，推出四邊形DEBP和四邊形AECP均為平行四邊形，進(jìn)而推出四邊形EFPH為平行四邊形，根據(jù)矩形的判定即可得出結(jié)論．導(dǎo)引：(2)判斷四邊形EFPH是什么特殊四邊形，并證明你的判斷．(2)四邊形EFPH為矩形．∵四邊形ABCD是矩形，∴AD＝BC，AD∥BC.∵DE＝BP，DE∥BP，

∴四邊形DEBP是平行四邊形，∴BE∥DP.∵AD＝BC，AD∥BC，DE＝BP，

∴AE＝CP，AE∥CP，

∴四邊形AECP是平行四邊形，

∴AP∥CE，∴四邊形EFPH是平行四邊形．

∵∠BEC＝90°，∴平行四邊形EFPH是矩形．解：證明：直角CC相等C①④矩形CBCCA

課后練習(xí)2．如圖，在矩形ABCD中，BC＝20cm，點(diǎn)P和點(diǎn)Q分別從點(diǎn)B和點(diǎn)D出發(fā)，按圖示方向沿矩形ABCD的邊運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)P和點(diǎn)Q的速度分別為3cm/s和2cm/s，則最快多少秒后，四邊形ABPQ成為矩形()A．3B．4C．5D．6B3．(安順中考)如圖，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，且BA＝3，AC＝4，點(diǎn)D是斜邊BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)D分別作DM⊥AB于點(diǎn)M,DN⊥AC于點(diǎn)N，連結(jié)MN，則線段MN的最小值為________．4．(遂寧中考)如圖，在△ABC中，AB＝AC，點(diǎn)D，E分別是線段BC，AD的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A作BC的平行線交BE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，連結(jié)CF.(1)求證：△BDE≌△FAE；(2)求證：四邊形ADCF為矩形．證明：(1)∵AF∥BC，∴∠AFE＝∠DBE，∵E是線段AD的中點(diǎn)，∴AE＝DE，∵∠AEF＝∠DEB，∴△BDE≌△FAE(AAS)(2)∵△BDE≌△FAE，∴AF＝BD，∵BD＝CD，∴AF＝CD，∵AF∥CD，∴四邊形ADCF是平行四邊形，∵AB＝AC，BD＝CD，∴AD⊥BC，∴∠ADC＝90°，∴?ADCF為矩形5．(青島中考)如圖，在?ABCD中，對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O，點(diǎn)E，F(xiàn)分別為OB，OD的中點(diǎn)，延長(zhǎng)AE至點(diǎn)G，使EG＝AE，連結(jié)CG.(1)求證：△ABE≌△CDF；(2)當(dāng)AB與AC滿足什么數(shù)量關(guān)系時(shí)，四邊形EGCF是矩形？請(qǐng)說(shuō)明理由．6．(教材P105例6變式)如圖，在△ABC中，點(diǎn)O是AC邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)O作直線MN∥BC，交∠ACB的平分線于點(diǎn)E，交∠ACB的外角平分線于點(diǎn)F.(1)求證：EO＝FO；(2)當(dāng)點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)到何處時(shí)，四邊形AECF是矩形？請(qǐng)說(shuō)明理由．解：(1)證明：如圖，∵CE平分∠BCA，∴∠1＝∠2.又∵M(jìn)N∥BC，∴∠1＝∠3