2021-2022學年陜西省安康市普通高校對口單招高等數學一自考預測試題(含答案)學校:________班級:________姓名:________考號:________

一、單選題(20題)1.A.A.

B.

C.

D.

2.

3.微分方程y'=1的通解為A.y=xB.y=CxC.y=C-xD.y=C+x

4.=（）。A.

B.

C.

D.

5.

6.A.A.

B.

C.

D.

7.圖示懸臂梁，若已知截面B的撓度和轉角分別為vB和θB，則C端撓度為()。

A.vC=2uB

B.uC=θBα

C.vC=uB+θBα

D.vC=vB

8.

9.（）。A.

B.

C.

D.

10.微分方程y′-y=0的通解為()．

A.y=ex+C

B.y=e-x+C

C.y=Cex

D.y=Ce-x

11.

12.方程x2+y2-z=0表示的二次曲面是()。A.橢球面B.圓錐面C.旋轉拋物面D.柱面

13.設y1，y2為二階線性常系數微分方程y"+p1y'+p2y=0的兩個特解，則C1y1+C2y2()．A.A.為所給方程的解，但不是通解B.為所給方程的解，但不一定是通解C.為所給方程的通解D.不為所給方程的解

14.

15.

16.

17.

18.

19.

20.

二、填空題(20題)21.

22.

23.

24.

25.

26.

27.

28.=______．

29.

30.

31.

32.

33.y=ln(1+x2)的單調增加區(qū)間為______．

34.

35.直線的方向向量為________。

36.曲線y=(x+1)/(2x+1)的水平漸近線方程為_________.

37.如果函數f(x)在[a，b]上連續(xù)，在(a，b)內可導，則在(a，b)內至少存在一點ξ，使得f(b)-f(a)=________。

38.

39.

40.

三、計算題(20題)41.

42.

43.證明：

44.求函數y=x-lnx的單調區(qū)間，并求該曲線在點(1，1)處的切線l的方程．

45.

46.求曲線在點(1，3)處的切線方程．

47.研究級數的收斂性(即何時絕對收斂，何時條件收斂，何時發(fā)散，其中常數a>0．

48.

49.求函數一的單調區(qū)間、極值及其曲線的凹凸區(qū)間和拐點．

50.將f(x)=e-2X展開為x的冪級數．

51.設拋物線Y=1-x2與x軸的交點為A、B，在拋物線與x軸所圍成的平面區(qū)域內，以線段AB為下底作內接等腰梯形ABCD(如圖2—1所示)．設梯形上底CD長為2x，面積為

S(x)．

(1)寫出S(x)的表達式；

(2)求S(x)的最大值．

52.

53.已知某商品市場需求規(guī)律為Q=100e-0.25p，當p=10時，若價格上漲1％，需求量增(減)百分之幾?

54.求微分方程y"-4y'+4y=e-2x的通解．

55.設平面薄板所占Oxy平面上的區(qū)域D為1≤x2+y2≤4，x≥0，y≥0，其面密度

u(x，y)=2+y2，求該薄板的質量m．

56.

57.當x一0時f(x)與sin2x是等價無窮小量，則

58.

59.求微分方程的通解．

60.求函數f(x)=x3-3x+1的單調區(qū)間和極值．

四、解答題(10題)61.

62.

63.

64.

65.計算

66.已知f(x)在[a，b]上連續(xù)且f(a)=f(b)，在（a，b)內f''(x)存在，連接A(a，f(a))，B(b，f(b))兩點的直線交曲線y=f(x)于C(c，f(c))且a＜c＜b，試證在（a，b)內至少有一點ξ使得f''(ξ)=0.

67.(本題滿分8分)

68.

69.

70.

五、高等數學(0題)71.f(x，y)在點(x0，y0)存在偏導數是在該點可微的()。

A.必要而不充分條件B.充分而不必要條件C.必要且充分條件D.既不必要也不充分條件

六、解答題(0題)72.

參考答案

1.A

2.C

3.D

4.D

5.B

6.D本題考查的知識點為偏導數的計算．

可知應選D．

7.C

8.D

9.A

10.C所給方程為可分離變量方程．

11.C

12.C本題考查的知識點為二次曲面的方程。

將x2+y2-z=0與二次曲面標準方程對照，可知其為旋轉拋面，故應選C。

13.B本題考查的知識點為線性常系數微分方程解的結構．

已知y1，y2為二階線性常系數齊次微分方程y"+p1y'+p2y=0的兩個解，由解的結構定理可知C1y1+C2y2為所給方程的解，因此應排除D．又由解的結構定理可知，當y1，y2線性無關時，C1y1+C2y2為y"+p1y'+p2y=0的通解，因此應該選B．

本題中常見的錯誤是選C．這是由于忽略了線性常系數微分方程解的結構定理中的條件所導致的錯誤．解的結構定理中指出：“若y1，y2為二階線性常系數微分方程y"+p1y'+p2y=0的兩個線性無關的特解，則C1y1+C2y2為所給微分方程的通解，其中C1，C2為任意常數．”由于所給命題中沒有指出)y1，y2為線性無關的特解，可知C1y1+C2y2不一定為方程的通解．但是由解的結構定理知C1y1+C2y2為方程的解，因此應選B．

14.C

15.B

16.C

17.C解析：

18.C解析：

19.C解析：

20.A

21.1

22.11解析：

23.

24.

25.1

26.0．

本題考查的知識點為連續(xù)函數在閉區(qū)間上的最小值問題．

通常求解的思路為：

27.3

28.本題考查的知識點為定積分的換元積分法。設t=x/2，則x=2t，dx=2dt．當x=0時，t=0；當x=π時，t=π/2。因此

29.ee解析：

30.

31.1

32.

33.(0，+∞)本題考查的知識點為利用導數符號判定函數的單調性．

由于y=ln(1+x2)，其定義域為(-∞，+∞)．

又由于，令y'=0得唯一駐點x=0．

當x＞0時，總有y'＞0，從而y單調增加．

可知y=ln(1+x2)的單調增加區(qū)間為(0，+∞)．

34.極大值為8極大值為8

35.直線l的方向向量為

36.y=1/2本題考查了水平漸近線方程的知識點。

37.f"(ξ)(b-a)由題目條件可知函數f(x)在[a，b]上滿足拉格朗日中值定理的條件，因此必定存在一點ξ∈(a，b)，使f(b)-f(a)=f"(ξ)(b-a)。

38.

39.(1/2)x2-2x+ln｜x｜+C

40.

解析：

41.由一階線性微分方程通解公式有

42.

43.

44.

45.

46.曲線方程為，點(1，3)在曲線上．

因此所求曲線方程為或寫為2x+y-5=0．

如果函數y=f(x)在點x0處的導數f′(x0)存在，則表明曲線y=f(x)在點

(x0，fx0))處存在切線，且切線的斜率為f′(x0)．切線方程為

47.

48.

則

49.

列表：

說明

50.

51.

52.

53.需求規(guī)律為Q=100ep-2.25p

∴當P=10時價格上漲1％需求量減少2．5％需求規(guī)律為Q=100ep-2.25p,

∴當P=10時,價格上漲1％需求量減少2．5％

54.解：原方程對應的齊次方程為y"-4y'+4y=0，

55.由二重積分物理意義知

56.

57.由等價無窮小量的定義可知

58.

59.

60.函數的定義域為

注意

61.

62.

63.

64.

65.

本題考查的知識點為定積分的換元積分法．

比較典型的錯誤是利用換元計算時，一些考生忘記將積分限也隨之變化．

66.由題意知f(a)=f(b)=f(c)，在(a，c)內有一點η1，使得f'(η1)=0，在（c，6)內有