1.3.2“楊輝三角”與二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)(教案)LtDPAGEPAGE41．3．2“楊輝三角”與二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)教學(xué)目標(biāo)：知識(shí)與技能：掌握二項(xiàng)式系數(shù)的四個(gè)性質(zhì)。過(guò)程與方法：培養(yǎng)觀察發(fā)現(xiàn)，抽象概括及分析解決問(wèn)題的能力。情感、態(tài)度與價(jià)值觀：要啟發(fā)學(xué)生認(rèn)真分析書(shū)本圖1－5－1提供的信息，從特殊到一般，歸納猜想，合情推理得到二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)再給出嚴(yán)格的證明。教學(xué)重點(diǎn)：如何靈活運(yùn)用展開(kāi)式、通項(xiàng)公式、二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)解題教學(xué)難點(diǎn)：如何靈活運(yùn)用展開(kāi)式、通項(xiàng)公式、二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)解題授課類型：新授課教具：多媒體、實(shí)物投影儀第一課時(shí)一、復(fù)習(xí)引入：1．二項(xiàng)式定理及其特例：（1），的和等于偶數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和．說(shuō)明：由性質(zhì)（3）及例1知.例2．已知，求：（1）；（2）；（3）.解：（1）當(dāng)時(shí)，，展開(kāi)式右邊為∴，當(dāng)時(shí)，，∴，（2）令，①令，②①②得：，∴.（3）由展開(kāi)式知：均為負(fù)，均為正，∴由（2）中①+②得：，∴，∴例3.求(1+x)+(1+x)2+…+(1+x)10展開(kāi)式中x3的系數(shù)解：=，∴原式中實(shí)為這分子中的，則所求系數(shù)為第二課時(shí)例4.在(x2+3x+2)5的展開(kāi)式中，求x的系數(shù)解：∵∴在(x+1)5展開(kāi)式中，常數(shù)項(xiàng)為1，含x的項(xiàng)為，在(2+x)5展開(kāi)式中，常數(shù)項(xiàng)為25=32，含x的項(xiàng)為∴展開(kāi)式中含x的項(xiàng)為，∴此展開(kāi)式中x的系數(shù)為240例5.已知的展開(kāi)式中，第五項(xiàng)與第三項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之比為14；3，求展開(kāi)式的常數(shù)項(xiàng)解：依題意∴3n(n-1)(n-2)(n-3)/4!=4n(n-1)/2!n=10設(shè)第r+1項(xiàng)為常數(shù)項(xiàng)，又令，此所求常數(shù)項(xiàng)為180例6．設(shè)，當(dāng)時(shí)，求的值解：令得：，∴，點(diǎn)評(píng)：對(duì)于，令即可得各項(xiàng)系數(shù)的和的值；令即，可得奇數(shù)項(xiàng)系數(shù)和與偶數(shù)項(xiàng)和的關(guān)系例7．求證：．證（法一）倒序相加：設(shè)①又∵②∵，∴，由①+②得：，∴，即．（法二）：左邊各組合數(shù)的通項(xiàng)為，∴．例8．在的展開(kāi)式中,求:①二項(xiàng)式系數(shù)的和;②各項(xiàng)系數(shù)的和;③奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和與偶數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和;④奇數(shù)項(xiàng)系數(shù)和與偶數(shù)項(xiàng)系數(shù)和;⑤的奇次項(xiàng)系數(shù)和與的偶次項(xiàng)系數(shù)和.分析:因?yàn)槎?xiàng)式系數(shù)特指組合數(shù),故在①,③中只需求組合數(shù)的和,而與二項(xiàng)式中的系數(shù)無(wú)關(guān).解：設(shè)(*),各項(xiàng)系數(shù)和即為,奇數(shù)項(xiàng)系數(shù)和為,偶數(shù)項(xiàng)系數(shù)和為,的奇次項(xiàng)系數(shù)和為,的偶次項(xiàng)系數(shù)和.由于(*)是恒等式,故可用“賦值法”求出相關(guān)的系數(shù)和.①二項(xiàng)式系數(shù)和為.②令,各項(xiàng)系數(shù)和為.③奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為,偶數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為.④設(shè),令,得到…(1),令,(或,)得…(2)(1)+(2)得,∴奇數(shù)項(xiàng)的系數(shù)和為;(1)-(2)得,∴偶數(shù)項(xiàng)的系數(shù)和為.⑤的奇次項(xiàng)系數(shù)和為;的偶次項(xiàng)系數(shù)和為.點(diǎn)評(píng):要把“二項(xiàng)式系數(shù)的和”與“各項(xiàng)系數(shù)和”,“奇(偶)數(shù)項(xiàng)系數(shù)和與奇(偶)次項(xiàng)系數(shù)和”嚴(yán)格地區(qū)別開(kāi)來(lái),“賦值法”是求系數(shù)和的常規(guī)方法之一.第三課時(shí)例9．已知的展開(kāi)式的系數(shù)和比的展開(kāi)式的系數(shù)和大992,求的展開(kāi)式中:①二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng);②系數(shù)的絕對(duì)值最大的項(xiàng).解：由題意,解得.①的展開(kāi)式中第6項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大,即.②設(shè)第項(xiàng)的系數(shù)的絕對(duì)值最大,則∴,得,即∴,∴,故系數(shù)的絕對(duì)值最大的是第4項(xiàng)例10．已知：的展開(kāi)式中，各項(xiàng)系數(shù)和比它的二項(xiàng)式系數(shù)和大．（1）求展開(kāi)式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)；（2）求展開(kāi)式中系數(shù)最大的項(xiàng)解：令，則展開(kāi)式中各項(xiàng)系數(shù)和為，又展開(kāi)式中二項(xiàng)式系數(shù)和為，∴，．（1）∵，展開(kāi)式共項(xiàng)，二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)為第三、四兩項(xiàng)，∴，，（2）設(shè)展開(kāi)式中第項(xiàng)系數(shù)最大，則，∴，∴，即展開(kāi)式中第項(xiàng)系數(shù)最大，．例11．已知，求證：當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，能被整除分析：由二項(xiàng)式定理的逆用化簡(jiǎn)，再把變形，化為含有因數(shù)的多項(xiàng)式∵，∴，∵為偶數(shù)，∴設(shè)（），∴（），當(dāng)=時(shí)，顯然能被整除，當(dāng)時(shí)，（）式能被整除，所以，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，能被整除三、課堂練習(xí)：1．展開(kāi)式中的系數(shù)為，各項(xiàng)系數(shù)之和為．2．多項(xiàng)式（）的展開(kāi)式中，的系數(shù)為3．若二項(xiàng)式（）的展開(kāi)式中含有常數(shù)項(xiàng)，則的最小值為（）A.4B.5C.64．某企業(yè)欲實(shí)現(xiàn)在今后10年內(nèi)年產(chǎn)值翻一番的目標(biāo)，那么該企業(yè)年產(chǎn)值的年平均增長(zhǎng)率最低應(yīng)（）A.低于5％B.在5％～6％之間C.在6％～8％之間D.在8％以上5．在的展開(kāi)式中，奇數(shù)項(xiàng)之和為，偶數(shù)項(xiàng)之和為，則等于（）A.0B.C.D.6．求和：．7．求證：當(dāng)且時(shí)，．8．求的展開(kāi)式中系數(shù)最大的項(xiàng)答案：1.45,02.0．提示：3.B4.C5.D6.7.(略)8.四、小結(jié)：二項(xiàng)式定理體現(xiàn)了二項(xiàng)式的正整數(shù)冪的展開(kāi)式的指數(shù)、項(xiàng)數(shù)、二項(xiàng)式系數(shù)等方面的內(nèi)在聯(lián)系，涉及到二項(xiàng)展開(kāi)式中的項(xiàng)和系數(shù)的綜合問(wèn)題，只需運(yùn)用通項(xiàng)公式和二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)對(duì)條件進(jìn)行逐個(gè)節(jié)破，對(duì)于與組合數(shù)有關(guān)的和的問(wèn)題，賦值法是常用且重要的方法，同時(shí)注意二項(xiàng)式定理的逆用五、課后作業(yè)：P36習(xí)題1.3A組5.6.7.8B組1.21．已知展開(kāi)式中的各項(xiàng)系數(shù)的和等于的展開(kāi)式的常數(shù)項(xiàng)，而展開(kāi)式的系數(shù)的最大的項(xiàng)等于，求的值答案：2．設(shè)求：①②．答案：①；②3．求值：．答案：4．設(shè)，試求的展開(kāi)式中：（1）所有項(xiàng)的系數(shù)和；（2）所有偶次項(xiàng)的系數(shù)和及所有奇次項(xiàng)的系數(shù)和答案：（1）；（2）所有偶次項(xiàng)的系數(shù)和為；所有奇次項(xiàng)的系數(shù)和為六、板書(shū)設(shè)計(jì)（略）七、教學(xué)反思：二項(xiàng)展開(kāi)式中的二項(xiàng)式系數(shù)都是一些特殊的組合數(shù)，它有三條性質(zhì)，要理解和掌握好，同時(shí)要注意“系數(shù)”與“二項(xiàng)式系數(shù)”的區(qū)別，不能混淆，只有二項(xiàng)式系數(shù)最大的才是中間項(xiàng)，而系數(shù)最大的不一定是中間項(xiàng)，尤其要理解和掌握“取特值”法，它是解決有關(guān)二項(xiàng)展開(kāi)式系數(shù)的問(wèn)題的重要手段。二項(xiàng)式定理概念的引入，我們已經(jīng)學(xué)過(guò)(a+b)2=a2+2ab+b2，(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3，那么對(duì)一般情況；(a+b)n展開(kāi)后應(yīng)有什么規(guī)律，這里n∈N，這就是我們這節(jié)課“二項(xiàng)式定理”選擇實(shí)驗(yàn)歸納的研究方式，對(duì)(a+b)n一般形式的研究與求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式有些類似，大家想想，求an時(shí)我們用了什么方法，學(xué)生：先寫(xiě)出前n項(xiàng)，再觀察規(guī)律，猜測(cè)其表達(dá)式，最后用數(shù)學(xué)歸納法證明，老師：大家說(shuō)得很正確，現(xiàn)在我們用同樣的方式來(lái)研究(a+b)4的展開(kāi)，因(a+b)4=(a+b)3(a+b)，我們可以用(a+b)3展開(kāi)的結(jié)論計(jì)算(a+b)4(由學(xué)生板演完成，體會(huì)計(jì)算規(guī)律)然后老師把計(jì)算過(guò)程總結(jié)為如下形式：(a+b)4=(a+b)3(a+b)=(a3+3a2b+3ab2+b3)(a+b)=a4+3a3b2+ab3+3a2b2+3ab3+b4=a4+4a3b+6a2b2+4ab對(duì)計(jì)算的化算：對(duì)(a+b)n展開(kāi)式中的項(xiàng)，字母指數(shù)的變化規(guī)律是十分明顯的，大家能說(shuō)出它們的規(guī)律嗎？學(xué)生：a的指數(shù)從n逐次降到0，b的指數(shù)從0逐次升到n，老師：大家說(shuō)的很對(duì)，這樣一來(lái)展開(kāi)式的項(xiàng)數(shù)就是從0到n的(n+1)項(xiàng)了，但唯獨(dú)系數(shù)規(guī)律還是“猶抱琵琶半遮面”使我們難以發(fā)現(xiàn)，但我們?nèi)钥捎脕?lái)表示，它這樣一來(lái)(a+b)n的展開(kāi)形式就可寫(xiě)成(a+b)n=現(xiàn)在的問(wèn)題就是要找的表達(dá)形式.為此我們要采用抽象分析法來(lái)化簡(jiǎn)計(jì)算2007年高考題1．（2007年江蘇卷）若對(duì)于任意實(shí)數(shù)，有，則的值為（B）A．B．C．D．2．（2007年湖北卷）如果的展開(kāi)式中含有非零常數(shù)項(xiàng)，則正整數(shù)n的最小值為A.3B.5C.6D.10【答案】：B.【分析】：，，（）。.【高考考點(diǎn)】：本題主要考查二項(xiàng)式定理的有關(guān)知識(shí)和整除的知識(shí),以及分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力.【易錯(cuò)點(diǎn)】：注意二項(xiàng)式定理的通項(xiàng)公式中項(xiàng)數(shù)與r的關(guān)系。【備考提示】：二項(xiàng)式定理是高考的常考內(nèi)容，有時(shí)單獨(dú)命題，有時(shí)與其它分支的知識(shí)相綜合。3．（2007年江西卷）已知展開(kāi)式中，各項(xiàng)系數(shù)的和與其各項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)的和之比為，則等于（C）Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．4．（2007年全國(guó)卷I）的展開(kāi)式中，常數(shù)項(xiàng)為，則（D）A． B． C． D．5．（2007年全國(guó)卷Ⅱ）的展開(kāi)式中常數(shù)項(xiàng)為．（用數(shù)字作答）6．（2007年天津卷）若的二項(xiàng)展開(kāi)式中的系數(shù)為，則2（用數(shù)字作答）．7．（2007年重慶卷）若展開(kāi)式的二項(xiàng)式系數(shù)之和為64，則展開(kāi)式的常數(shù)項(xiàng)為（B）A10B.20C.30D.1208．（2007年安徽卷）若(2x3+)a的展開(kāi)式中含有常數(shù)項(xiàng),則最小的正整數(shù)n等于7.9．（2007年湖南卷）將楊輝三角中的奇數(shù)換成1，偶數(shù)換成0，得到如圖1所示的0-1三角數(shù)表．從上往下數(shù)，第1次全行的數(shù)都為1的是第1行，第2次全行的