高一下數學學案第9課時平面向量的應用高一下數學學習指南第9課時第9課時平面向量的應用【學習內容分析】向量具有明確的幾何背景，向量的加法、減法的幾何意義是平行四邊形和三角形法則，向量的數乘的幾何意義是平行（或共線），由此可以自然而然的利用向量來解決有關三角形、平行四邊形、平面內兩條直線平行或垂直關系及夾角的幾何問題.向量有豐富的物理背景，即力、速度、加速度和位移，自然而然可以利用向量解決物理力學現象，最短航程或最短時間等問題.通過解決平面幾何和物理中的問題，最終歸結為平面幾何問題.向量在平面幾何和物理中應用，可以體會到向量是工具，蘊含了數形結合、類比、化歸與轉化等數學思想方法，是培養數學抽象、邏輯推理、數學運算、直觀想象、數學建模等數學核心素養的極好載體.平面向量的概念平面向量的運算平面向量基本定理及坐標表示平面向量的應用平面向量的概念平面向量的運算平面向量基本定理及坐標表示平面向量的應用解決物理問題解決幾何問題解決物理問題解決幾何問題【學習目標】⑴經歷幾何元素轉化的過程，能應用向量解決平面幾何中的位置關系、長度和夾角等問題，納出方法和步驟，體會化歸與轉化、數形結合的數學思想；⑵通過對實例的轉化與建模，會應用向量解釋物理現象或解決物理最優問題，歸納向量法解決物理問題的方法和步驟，提升數學建模、數學運算的核心素養.【學習重、難點】⑴重點：用向量法解決平面幾何問題、物理問題的方法和步驟.⑵難點：如何把平面幾何問題、物理問題轉化為向量問題.【知識準備】認知準備：平面向量的概念、向量的線性運算、數量積運算、平面向量基本定理及坐標表示、余弦曲線.前測：⑴如圖，是的中位線，,,,取為基底.①用，表示及;②求,;⑵用“五點法”畫出一周期內的圖象.【概念的形成】【問題1】將幾何元素用向量表示幾何特性幾何元素及其表示向量元素及運算表示平行垂直長度角度【問題2】已知平行四邊形，對角線和的長度與兩條鄰邊和的長度之間的關系______________________________.【追問1】如何證明這個結論？【追問2】上述問題從矩形推廣到平行四邊形，這個結論還成立嗎？若成立，結論如何證明？取為基底，_________________,_________________,_________________________,_________________________,__________________【問題3】向量方法解決平面幾何問題的步驟有哪些？⑴____________________________________________________________；⑵____________________________________________________________；⑶____________________________________________________________.【追問1】可否用其他的“恰當的向量運算”解決該問題？【概念的理解】【問題1】兩位同學共提一桶水，兩人拉力夾角越大越費力，還是越小越費力？為什么？你能從數學的角度解釋嗎？該物理問題是力的______問題，可以用向量______的______________法則解決.設作用在水桶上的兩個拉力分別為、，其夾角為??，不妨設，水桶所受的重力為.由向量的平行四邊形法則、力的平衡以及直角三角形的知識知.因為，由圖象可知，當由逐漸變小到0，的值由____逐漸變____，此時由____逐漸變____，這就說明，、之間的夾角越_____越費力.【問題2】向量方法解決物理問題的步驟有哪些？⑴____________________________________________________________；⑵____________________________________________________________；⑶____________________________________________________________；⑷____________________________________________________________.【概念的應用】例1如圖，在中，，，點在線段上，且,求：⑴的長；⑵的大小.例2一條河兩岸平行，河的寬度，一艘船從河岸邊的地出發，向河對岸航行.已知船的速度的大小為，水流速度的大小為，那么當航程最短時，這艘船行駛完全程需要多長時間？練習⑴如圖所示，在正方形中，，分別是，的中點，①求證：；②若為中點，判斷直線是否與直線平行，并證明你的結論.⑵已知質點由點移動到點的過程中，兩恒力，作用于該質點.①求力，分別對質點所做的功；②求力，的合力對質點所做的功.拓展提升用向量法證明下列結論成立.①為的重心(中線交點)；②為的垂心(高線交點)；③為的外心(中垂線交點)（或）；④為的內心(角分線交點).【反思與小結】⑴向量法解決平面幾何問題、物理問題的步驟是什么？⑵向量法解決問題的過程中用到了哪些數學思想方法？【課后作業】A組⑴人騎自行車的速度為，風速為，則逆風行駛的速度為（

）A． B． C． D．⑵一質點受到同一平面上的三個力，，（單位：牛頓）的作用而處于平衡狀態，已知，成120°角，且，的大小都為牛頓，則的大小為______牛頓.⑶雨滴在下落一定時間后的運動是勻速的，無風時雨滴下落的速度是4，現在有風，風使雨滴以的速度水平向東移動，求雨滴著地時的速度和方向.⑷試用向量法證明勾股定理.⑸求證：直徑所對的圓周角為直角.B組⑹如