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力學

第16屆預賽題.

1.（15分）一質量為M的平頂小車，以速度0v沿水平的光滑軌道作勻速直線運動。現將一質量為m的小物塊無初速地放置在車頂前緣。已知物塊和車頂之間的動摩擦系數為μ。

1.若要求物塊不可能從車頂后緣掉下，則該車頂最少要多長？

2.若車頂長度符合1咨詢中的要求，整個過程中摩擦力共做了多少功？

參考解答

1.物塊放到小車內往后，由于摩擦力的作用，當以地面為參考系時，物塊將從靜止開始加速運動，而小車將做減速運動，若物塊到達小車頂后緣時的速度恰好等于小車此刻的速度，則物塊就剛好別脫降。令v表示此刻的速度，在那個過程中，若以物塊和小車為系統，因為水平方向未受外力，因此此方向上動量守恒，即

0()MvmMv=+（1）

從能量來看，在上述過程中，物塊動能的增量等于摩擦力對物塊所做的功，即2112

mvmgsμ=（2）其中1s為物塊挪移的距離。小車動能的增量等于摩擦力對小車所做的功，即22021122

Mvmvmgsμ-=-（3）其中2s為小車挪移的距離。用l表示車頂的最小長度，則

21lss=-（4）

由以上四式，可解得

202()

MvlgmMμ=+（5）即車頂的長度至少應為202()

MvlgmMμ=+。2．由功能關系可知，摩擦力所做的功等于系統動量的增量，即

22011()22

WmMvMv=+-（6）由（1）、（6）式可得

202()

mMvWmM=-+（7）2.（20分）一具大容器中裝有互別相溶的兩種液體，它們的密度分不為1ρ和2ρ（12ρρ<）。現讓一長為L、密度為121()2

ρρ+的均勻木棍，豎直地放在上面的液體內，其下端離兩

液體分界面的距離為34L，由靜止開始下降。試計算木棍到達最低處所需的時刻。假定由于木棍運動而產生的液體阻力能夠忽略別計，且兩液體都腳夠深，保證木棍始終都在液體內部運動，未露出液面，也未與容器相碰。

參考解答

1．用S表示木棍的橫截面積，從靜止開始到其下端到達兩液體交界面為止，在這過程中，木棍受向下的重力121()2

LSgρρ+?和向上的浮力1LSgρ。由牛頓第二定律可知，其下降的加速度21112

agρρρρ-=+（1）用1t表示所需的時刻，則

211XXX2

Lat=（2）由此解得

1t=3）2．木棍下端開始進入下面液體后，用'L表示木棍在上面液體中的長度，這時木棍所受重力別變，仍為121()2

LSgρρ+?，但浮力變為12()LSgLLSgρρ''+-．當'LL=時，浮力小于重力；當'0L=時，浮力大于重力，可見有一具合力為零的平衡位置．用0L'表示在此平衡位置時，木棍在上面液體中的長度，則此刻有1210201()()2

LSgLSgLLSgρρρρ''+?=+-（4）由此可得

02

LL'=（5）即木棍的中點處于兩液體交界處時，木棍處于平衡狀態，取一坐標系，其原點位于交界面上，豎直方向為z軸，向上為正，則當木棍中點的坐標0z=時，木棍所受合力為零．當中點坐標為z時，所受合力為

121221111()()22

2LSgLzSgLzSgSgzkzρρρρρρ??????-+?+++-=--=-??????????式中21()kSgρρ=-（6）

這時木棍的運動方程為

121()2

zkzLSaρρ-=+

za為沿z方向加速度22112()2()zgzazLρρωρρ-=-=-+22112()2()gL

ρρωρρ-=+（7）由此可知為簡諧振動，其周期1221()222()LTg

ρρπ

πωρρ+==-（8）為了求并且在兩種液體中運動的時刻，先求振動的振幅A．木棍下端剛進入下面液體時，其速度

11vat=（9）

由機械能守恒可知

222121111()2222SLvkzkAρρ??++=????

（10）式中12

zL=為此刻木棍中心距坐標原點的距離，由（1）、（3）、（9）式可求得v，再將v和（6）式中的k代人（10）式得

AL=（11）

由此可知，從木棍下端開始進入下面液體到棍中心到達

坐標原點所走的距離是振幅的一半，從參考圓（如圖預解

16-9）上可知，對應的θ為30?，對應的時刻為/12T。所以

木棍從下端開始進入下面液體到上端進入下面液體所用的

時刻，即棍中心從2Lz=到2

Lz=-所用的時刻為12221()21232()LTtg

ρρπρρ+==-（12）3．從木棍全部浸入下面液體開始，受力事情的分析和1中類似，不過浮力大于重力，因此做勻減速運動，加速度的數值與1a一樣，其過程和1中事情相反地對稱，所用時刻

31tt=（13）

4．總時刻為

1212321()6626()Lttttg

ρρπρρ++=++=

-（14）第17屆預賽題.1.（20分）如圖預17-8所示，在水平桌面上放有長木板C，C上右端是固定擋板P，在C上左端