冪函數(shù)（1）【教課目的】1．使學(xué)生理解冪函數(shù)的觀點(diǎn)，能夠經(jīng)過圖象研究冪函數(shù)的性質(zhì)．2．在作冪函數(shù)的圖象及研究冪函數(shù)的性質(zhì)過程中，培育學(xué)生的察看能力，歸納總結(jié)的能力．3．經(jīng)過對冪函數(shù)的研究，培育學(xué)生剖析問題的能力．【學(xué)習(xí)指導(dǎo)】本節(jié)的要點(diǎn)有兩個(gè)：一是冪函數(shù)的定義；二是冪函數(shù)的圖象與性質(zhì)．研究冪函數(shù)的圖象與性質(zhì)可經(jīng)過對典型的冪函數(shù)，如yx2、yx3及y1xn(nx2的圖象研究歸納y0)的圖象特點(diǎn)和yx2、yx3及y1函數(shù)性質(zhì)，經(jīng)過對冪函數(shù)x2的圖象研究歸納xn(n0)的圖象特點(diǎn)和函數(shù)性質(zhì)．難點(diǎn)也有兩個(gè)：一是冪函數(shù)與指數(shù)函數(shù)定義是有區(qū)其余，學(xué)生簡單混雜．二是冪函數(shù)的定義域與圖象是復(fù)雜多變的，要依據(jù)指數(shù)的詳細(xì)狀況而定．學(xué)習(xí)時(shí)應(yīng)當(dāng)注意：⑴研究冪函數(shù)的性質(zhì)時(shí)，往常將分?jǐn)?shù)指數(shù)冪化為根式形式，負(fù)整指數(shù)冪化為分?jǐn)?shù)形式再去進(jìn)行議論；⑵對于冪函數(shù)yxn(n0)，我們第一應(yīng)當(dāng)剖析函數(shù)的定義域、值域和奇偶性，由此確立圖象的地點(diǎn)，即所在象限，其次確立曲線的種類，即n＜0，0＜n＜1和n＞1三種狀況下曲線的基本形狀，還要注意n＝0，±1三個(gè)曲線的形狀；對于冪函數(shù)在第一象限的圖象的大概狀況能夠用口訣來記憶：“正拋負(fù)雙，大豎小橫”，即n＞0（n≠1）時(shí)圖象是拋物線型；n＜0時(shí)圖象是雙曲線型；n＞1時(shí)圖象是豎直拋物線型；0＜n＜1時(shí)圖象是橫臥拋物線型．運(yùn)用冪函數(shù)的性質(zhì)比較函數(shù)值的大小，若底數(shù)不一樣，指數(shù)同樣，則用冪函數(shù)的性質(zhì)即可作出判斷，若底數(shù)同樣，指數(shù)不一樣，則用指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)來作出判斷．解題的時(shí)候要特別注意靈巧的使用冪函數(shù)的圖象和性質(zhì)．【例題精析】例1．寫出以下函數(shù)的定義域，指出它們的奇偶性．并畫出它們的圖象，察看這些圖象，看看有什么共同點(diǎn)？11；⑶2；⑷5．⑴y＝x2；⑵＝x3y＝x3＝x3yy【剖析】分?jǐn)?shù)指數(shù)冪能夠與根式互相轉(zhuǎn)變．把各函數(shù)分析式先化成根式形式即可．【解法】⑴yx；⑵y3x；⑶y=3x2；⑷y3x5．函數(shù)的定義域就是使這些根式存心義的實(shí)數(shù)x的會(huì)合；奇偶性直接利用定義進(jìn)行判斷．⑴的定義域?yàn)閇0,)，⑵⑶⑷的定義域都是R；此中⑴既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)，⑵⑷是奇函數(shù)，⑶是偶函數(shù)．它們的圖象都經(jīng)過點(diǎn)(0,0)和(1,1)，且在第一象限內(nèi)函數(shù)圖象自左而右奉上漲趨向，即函數(shù)在x[0,)單一遞加．例2．模仿例1研究以下函數(shù)的定義域和奇偶性，察看它們的圖象，看看有什么共同點(diǎn)？⑴y＝x－1；⑵y＝x－－1－1．y【剖析】先將負(fù)指數(shù)冪化為正指數(shù)冪，再將分?jǐn)?shù)指數(shù)冪化為根式．【解法】⑴y1；⑵y12；⑶y1；⑷y1．函數(shù)xxx3x的定義域就是使這些分式和根式存心義的實(shí)數(shù)x的會(huì)合；⑴⑵⑷的定義域都是{x|x0}，⑶的定義域是(0,)；依據(jù)函數(shù)奇偶性的定義可得⑴⑷是奇函數(shù)，⑵是偶函數(shù)，⑶既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)．它們的圖象都經(jīng)過點(diǎn)(1,1)，且在第一象限內(nèi)函數(shù)圖象自左向右呈降落趨向，而且以兩坐標(biāo)軸為漸近線．反響出這些函數(shù)在x(0,)上單一遞減．【評注】經(jīng)過例1和例2的解決過程，表現(xiàn)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過程是一個(gè)成立在經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)上的主動(dòng)建構(gòu)的過程，讓學(xué)生在合作中獲得知識(shí)．【知識(shí)提煉】1．冪函數(shù)圖象a＝qp、qpa＜00＜a＜1a＞1互質(zhì)p，q都是奇數(shù)是奇數(shù)是偶數(shù)是偶數(shù)

yyyOOOyyyOOOyyyOOO是奇數(shù)．冪函數(shù)圖象性質(zhì)都過點(diǎn)(1，1)；②a＞0時(shí)，在第一象限內(nèi)函數(shù)的圖象隨x的增大而上漲，函數(shù)在區(qū)間0,上是單一增函數(shù)．當(dāng)a＜0時(shí)，在第一象限內(nèi)函數(shù)的圖象隨x的增大而降落，函數(shù)在區(qū)間0,上是單一減函數(shù)．③除原點(diǎn)外，任何冪函數(shù)圖象與坐標(biāo)軸都不訂交，任何冪函數(shù)圖象都可是第四象限；④任何兩個(gè)冪函數(shù)圖象最多有三個(gè)公共點(diǎn)．除(1，1)，(0，0)，(－1，1)，(－1，－1)外，其余任何一點(diǎn)都不是兩個(gè)冪函數(shù)的公共點(diǎn)．a(chǎn)＞0時(shí)冪函數(shù)圖象總過原點(diǎn)，a≤0時(shí)，冪函數(shù)圖象可是原點(diǎn)．例3．議論以下函數(shù)的定義域、值域，奇偶性與單一性：4⑴yx5yx3【剖析】依據(jù)冪函數(shù)的性質(zhì)議論定義域、奇偶性，單一性．【解法】⑴y＝x5的定義域是(－∞，＋∞)，值域也是(－∞，＋∞)，是奇函數(shù)，∵5＞1，∴y＝x5在(－∞，＋∞)上是增函數(shù)．4⑵∵y＝x3＝1，x4∴定義域是(－∞，0)∪(0，＋∞)，值域是(0，＋∞)，是偶函數(shù)，4∵－4＜0，∴y＝x3在(－∞，0)是增函數(shù)，在(0，＋∞)，是減函3數(shù)．【評注】由例3讓學(xué)生對冪函數(shù)性質(zhì)的認(rèn)識(shí)有一個(gè)提高．例4．比較以下各題中兩個(gè)值的大小．2222⑴(－1.5)5與(－1.7)5⑵3.143與π311⑶(－5)3與(－6)3⑷314與221【剖析】比較兩數(shù)的大小可結(jié)構(gòu)一個(gè)函數(shù)，考慮這個(gè)函數(shù)的單一區(qū)間．22＞0【解法】⑴觀察函數(shù)y＝x5，∵25∴y＝x5在(－∞，0)上是減函數(shù)．22又∵－1.5＞－1.7，∴(－1.5)5＜(－1.7)522＜0∴y＝x2⑵觀察函數(shù)y＝x3，∵－3在(0，＋∞)上是減函數(shù)．322又∵3.14＜π，∴3.143＞π31111⑶(－5)3＝－53，(－6)3＝－63111111又53＞63∴－53＜－63，∴(－5)3＜(－6)3．⑷∵314＝97，221＝87，又97＞87∴314＞221．【評注】學(xué)生學(xué)習(xí)了冪函數(shù)此后,要點(diǎn)還在于對其性質(zhì)要會(huì)靈巧運(yùn)用,例4是做一個(gè)基本的鋪墊．【本課練習(xí)】以下命題中正確的選項(xiàng)是( )當(dāng)n＝0時(shí)，函數(shù)y＝xn的圖象是一條直線；冪函數(shù)的圖象都經(jīng)過(0，0)，(1，1)兩點(diǎn)；C.若冪函數(shù)＝n的圖象對于原點(diǎn)對稱，則y＝xn在定義域內(nèi)yyx隨x的增大而增大；D.冪函數(shù)的圖象不行能在第四象限．2.以下函數(shù)中，定義域?yàn)?0，＋∞)的函數(shù)為()．233A.y＝x3；B.y＝x2；C.y＝x2；D.y＝x3．3.以下函數(shù)中不是冪函數(shù)的是()＝x；＝x3；C.y＝2x；D.y＝x－1．A.yB.y2214.T1＝(1)3，T2＝(1)3，T3＝(1)3，則以下關(guān)系式正確的選項(xiàng)是( )．2522＜T3＜T1D.T2＜T11＜T2＜T3B.T3＜T1＜T2C.TA.T＜T3已知函數(shù)當(dāng)a＝當(dāng)a＝當(dāng)a＝當(dāng)a＝

2f(x)＝(a－1)·xaa1時(shí)，f(x)為正比率函數(shù)；時(shí)，f(x)為反比率函數(shù)；時(shí)，f(x)為二次函數(shù)；時(shí)，f(x)為冪函數(shù)．函數(shù)y＝xa(a∈Q)的圖象，當(dāng)0＜x＜1時(shí)，在直線y＝x的上方；當(dāng)x＞1時(shí)，在直線y＝x的下方，則a的取值范圍是．117．若(a＋1)3＜(3－2a)3，試求a的取值范圍．38．m為如何的值時(shí)，函數(shù)f(x)＝(mx2＋4x＋m＋2)4＋(x2－mx＋1)0的定義域是R？9．⑴求函數(shù)＝＋－2的定義域、值域．議論當(dāng)x增大時(shí)，函數(shù)y(x2)值如何變化？并畫出圖象；⑵問上述函數(shù)的圖象與函數(shù)y＝x－2的圖象有何關(guān)系？附答案：1．4.D5.－2，0或－1；113，22(提示：當(dāng)f(x)為正比率函數(shù)時(shí)，a2a11，即a＝－2；當(dāng)f(x)a10為反比率函數(shù)時(shí)，a2a1－1，即a＝0或a＝－1；a10當(dāng)f(x)為二次函數(shù)時(shí)，a2a12，即a＝113；a102當(dāng)f(x)為冪函數(shù)時(shí)，a－1＝1，即a＝2)[－2，3)(提示：x＋20即2≤x＜3)－＞03xa＋1＞0＋＜07．冪函數(shù)的性質(zhì)，有三種可能狀況：3－2a＞0或a1或－＞a＋1＞3－2a32a0a＋103－2a0a＋1＞3－2a解得：a∈(－∞，－1)∪(2，3)．32mx24xm2＞0①8.0x2－