類常見函數(shù)的小(一)有理函數(shù)的積分有理函數(shù)的定義有理函數(shù)的分類

R(x)p(x)Q(P(x)a0xna1xn1…an1xQ( b0xmb1xm1…bm1x其中a00，b0 nm——真分式 nm,——假分式3、有理函數(shù)積多項式除假分 多項式（真分式）;真分

部分分式之真分

Pn(xQm(x

(nm

分母因式P(x b0(x 1)1 (x k)k( p1xq1)

(x

phxqh)x

pixqi i1 為且1 2(1 h)m 1

A1

A11 x (x)11

Akxk

Akkk(x)k B1,1xD1

B1,1

xD1,1x

xq

(x2pxq)

Bh,1xDh

Bh,1

xDh, x

x

(x2pxq) （其中各系數(shù)待定計算簡單積Bx

x)n

Bx(x2pxq

dx(x2

q)

Bx pux

[(x;a qp

) (q )] p Bu(D

2B d(

(u2a2)

(D pB) 2(u

a2) 其中I

(u2a2

可由遞 及I1推出真分式化為部分分式之和的待定系數(shù)法例

x5x

分母因式

x(x2)(x3部分分用分母乘兩

x x 比 x3Ax3Bx x3ABx(3A2B), 比較系

AB(3A2B)

A 法B6 法 x 5 x25x x x 由x3A(x3)B(x令x令x"

得33B(32),B 賦A 法）例2

A

x(

x (x 1A(x1)2Bx(x1) 綜令x0,A1;令x1,C 法比較二次項的系數(shù)，得0A BA1. x(x1) x (x1)1例3(12x)(1x2

BxC,12x 1x21A(1x2)(BxC)(12 合令x1 A4 合法 法令x0,得1A C1 比較一次項的系0B2C

B251 1

2x 5(12x)(1x

12 1x2 2x例4

dx

5x1(12x)(1x2x1

12 1x2 12

dx5

1x

dx5

1x22

d(12x)

d(1x2)

12x

1x2

512ln|12x|1ln(1x2)1arctanxC 例5

x3

x2x解 x3x2x1(x1)(x2

Bxx3x2x (x1)(x2xA(x21)(BxC)(x

x x2x冪系A(chǔ)BBC AC

A1,B1,C dx

x1

x2x

2x 2

x212

x

14

x2

1arctanx2例6

x4x3x23xdxx6x4x21x6x4x21x1)x1)x2x4x3x23

Cxx6x4x2 x1x1 x2Ex(x2x4x3x23xA(x1)(x21)2B(x1)(x2(CxD)(x21)(x21)(ExF)(x2令x 48A A12x 4

B12x

22i2(EiF

E1,F比較x5x

0AB C0ABD DA1,B1,C1,D1,E1,F 原式

dx

dx

x1dx

x 2x

2x

x2

(x2

12

x

12

x

12

x2

arctan(x2(x2I22x22x22x2

1arctanxC

1x x21x x21

x2

1arctanx

x

Cx2 2(x2x2x3例 x(x1)3x3解

A

x(x (x (x xx31A(x1)3BxCx(x1)Dx(x1)2 求導(dǎo)得3x23Ax1)2BCxCxD(x1)22Dx(x 式中令x0,得A 令x1,得B式中令x1,得BC Cx0得3ABCD0Dx3 x(x1)3dxxdx2(x1)(x1)22xlnx

2

x

C(x x對有理函數(shù)積分經(jīng)常可采用一些特殊方法x2tx(t1)tx(t1)2 x2

32tt(x1)4dx

t dt

t (321)dt(111)t t t

t t )Cx (x (x例 x(x3

3x2dx dx3xx3

3x3(x3 3x3(x3tx

1

3t(t

t(t (t1

dt

3 t (t13

ttttt

)x3x3x3x33

x3

)Cx2x例102

11

1

d(x1 1dx x2 dx x4tx

x2x2

(x

1)2x

22t2t222t2t2222t22 lntt2222t2222x22x22x22x

x2

x

C例11

x1)2分解為部分分式之

(x2x1)(x1) 沒x2x1 沒 x (x2

x1(x2

x

定系分母

dx12 (x

)2(1 1211214(x12)1214[(x )2(11214

)d(x12換元uxu1 u1

2du

a 114

(u a

a1

1

d a (u2a2遞 1 2a

(

a

I1)

2

a

)4a214a

還 (二)三角函數(shù)有理式的積1——的函數(shù)．三角函數(shù)有理2

R(sinx,cosx 2tan 2tan:sinx

sec22

tan22cosxcos22

sin22

1tan2 sec22

1tan2 21tan22萬能代 ：令utan2

則x2arctansinx

1u2

1cosx 1

dx

1u2萬能代

1u2 R(sinx,cosx)

R1

2 2 1u1

2——化為有理函數(shù)的積分 13costtan2

13cos

1t 3 1 13 221t22

2t22222222

C

tan 2tan22

C.

萬能代換 2例13 2

1

1sinx

1

1u21

du

(1

1 1(1u)(1u2

1u du

1 1

1

1

1arctanu1ln(1u2)2

ln|1u|

還.例14

sin4

解用萬能utan

2 2sin4

1

2du)41

1

u

還 3u

] 萬能代換不一定R(-sinxcosxR(sinxcosx，可u=cosx為積R(sinxcosxR(sinxcosx，可u=sinx為積R(-sinxcosxR(sinxcosx，可u=tanx為積解法二

sin4以tanx為積分

dtan sec2tan4

sin4xdtanx

sec21tan2xdtantan4

1cot3xcotxC3tan3 tan cos5例15求sinxcos5 關(guān)于cosx為奇函

(1sin2sinx

以sinx

sin

dsinusin

(1u2CuC

(12uu3)dulnu

4lnsin

sin2x1sin4xC4也可視為關(guān)于sinx為奇函數(shù)積分表達式，以cos為積分變量作代 例16求 sinxcos sec2 解sinxcos3xdxtanx

以tanx為積分變

1tan2tan

dtanutan

1uuln

1u22

tan

1tan2xC2例17

2 2R(-sinxcosxR(sinxcosx的情2utanx,則xarctanu,dx

sin2x

tan2

11tan2 11

1

du

1sin2

26321 16321 32 323

3uC2

1

tanx)C1sin例18sin3xsin

恒等

1sin2sin2xcosx變 1sin

線性 4sinxcos2xdx

4sinxcos2xdx4cos2x

xcos2

sec24sinxcos2 41sinxdx1

dx1tan cos2 sin d(cosx) cscxdx1tan4cos2

4 4cos

1lncscxcot4

1tanxC4axncx(三axncxnaxnax

),R(

)的積換元：unaxb,unax有理函數(shù)的積例19

1xdx 令1x xx

t2

dx

1

t

t2

t2

dt2tlnt1 t

1

t11x11x

ln

1C例

3(3(x1)(x3xx3x

3x1(x3x1(x

xt

x

t3

,dx

6t

xx3x所求積

t3 (t31

t3

2t1) ln|t1|"

2

t1)

333例 3

t(x1

535

6tx1 xt

xt6

dt2tt

3t26t6ln|t1|x x1 x16ln(6 x11)Cxn1axcx n1axcx

, ,

axb的積 cx t

，其中nn,.n的最小公倍axaxncx可使積分有理化例22求

3x1 2x

解要將兩個不同的根式分開，對分母進行有理

3x1 2x 3x1 2x 3x1 2x3x3x

2x 3x1d(3x1) 2x1d(2x33 332(3x1)29

1(2x1)2C3 R(

R(

),(a0,b24acnax2bxu2nax2bxu2k u2k配 u2k

)du,uksec kk2(

)du,uksinR

R2(sint,costnax2nax2bx

R2(sint,cost例2244x212xx33sin

x4x24x212x

x 3x 32(x3)223232sin22 3sint3232sin221(3sint2)dt3costt22

3232(x323

2x364x212x arcsin24x212x x24xx24x1x24x(