“不等式及其性質”教學實錄與評析

目前，在教學中多數教師囿于教材，按教材內容分配的課時進行教學。但新課程理念強調：教材不僅僅是知識的載體，更重要的是成為促進學生全面發展的一種工具、一種方式、一種途徑。因此教師要創造性地用教材，要對教材知識進行重組和整合，要以“學生發展為本”的教學理念來設計教學活動。2008年，筆者參加了南通名師李庾南老師的骨干教師培訓，在李老師的精心指導下執教了一堂市級公開課，執教內容是人教版《義務教育課程標準實驗教科書·數學》七年級（下）第九章“§9.1不等式”，現將這一堂課設計與實錄展示如下。教材分析：不等式是解決實際問題的一種數學模型，它不僅是初中階段學習的重點內容，而且也是后面學習函數等知識的基礎。它是在學習了一元一次方程、二元一次方程組之后的后續內容，貫穿于數學學習的始終，起著橫貫上下的作用。學情分析：學生知道等式及方程的有關概念，熟練掌握了利用等式的性質解方程，初步學會了建立方程模型解決實際問題。執教班級學生基礎較好。教學目標：1.使學生從現實問題中抽象出不等式，理解不等式的意義，體會不等式是刻畫現實世界不等關系的一種模型，培養學生建模能力。2.使學生通過類比等式探索不等式的有關概念和基本性質，理解不等式的解與解集的意義；理解不等式與等式性質的聯系與區別，能解簡單的不等式。培養學生的觀察、猜想、分析、歸納、概括的邏輯思維能力。通過探索過程，滲透類比，分類討論的數學思想。3.通過師生互動培養學生的鉆研精神，同時加強同學間的合作與交流，讓學生獲得親自參與探索研究的情感體驗，從而增強學習數學的熱情。教學重點：理解不等式解集的意義與不等式性質。教學難點：不等式性質的探索過程及性質3的應用。突出重點、突破難點的方法：用類比、對比的方法化生疏為熟悉、化零散為系統。教學過程：1.創設情境，引入新課師：同學們，數量有大小之分，它們之間有相等關系也有不等關系。請看下面的問題：（用幻燈片出示3個問題）問題1從圖1中我們看到姚明的個頭要比拜納姆高，若用a表示姚明的身高，用b表示拜納姆的身高，則a與b的關系可表示為______。圖1生：a＞b。評析：學生對這一問題比較感興趣，有一種新鮮感，激發學生積極主動參與課堂學習的熱情，把學生思維從相等關系自然過渡到不等關系作了一個很好的鋪墊。問題29月28日，我國航天員在順利完成首次空間出艙任務后安全返回，神舟七號載人航天飛行取得圓滿成功。這一成功將給我國帶來1000多億元的經濟效應，超過了“神舟七號”工程的總投資的50倍。若設“神舟七號”工程的總投資為x億元，則上述關系可用式子表示為：______。生：1000=50x。師：“超過了”為什么寫成“等于”？生：1000＞50x或50x＜1000。評析：這樣的反問打破了學生由方程引起思維定勢。培養了學生認真審題的好習慣。問題3蘇通大橋（圖2）是當今世界跨徑最大的斜拉橋，總投資86億多元。在其經營期內，收回投資不成問題。在其正式通車前的試運行期內，已獲得2億多元的旅游及其他收入。據預測，通車后蘇通大橋的年純收入約7億多元，那么，通車后至少要多少年才能收回全部投資并開始盈利？若設x年后收回全部投資并開始盈利，則可得：______。圖2生：7x+2＞86。師：什么叫收回全部投資？生：收回投資是指收入等于投資，開始盈利指收入大于投資，應得7x+2≥86。評析：以上3個問題從學生已有的經驗出發，由淺入深，讓他們親身經歷將實際問題抽象成數學模型的過程，體現數學來源于生活，為生活服務的宗旨。同時問題設計的情景新穎，體現時代性，激發了學生熱愛祖國、熱愛家鄉的熱情，寓德于教，形成積極的學習情感。2.師生互動，探究新知活動1類比等式的定義探究不等式的定義師：好！上述問題中的a＞b，1000＞50x，50x＜1000，7x+2≥86是不是等式？為什么？生：不是，因為用等號連接表示相等關系的式子叫做等式，這兒沒有等號。師：能不能類比“等式”給這些式子一個名稱？生：（齊聲）不等式！師：根據理解什么樣的式子叫做不等式？生：用不等號連接表示不相等關系的式子，叫做不等式。師：對，常用的不等號有“＞”“＜”“≥”“≤”“≠”。師：既然不等式與等式的概念相類似，今天我們就類比等式探究不等式的知識。（板書課題：不等式及其性質，并用幻燈片展示表1：類比不等式探究不等式，并打出第一行的內容）。活動2類比一元一次方程定義探究一元一次不等式的定義師：再來觀察后兩個不等式：50x＜1000，7x+2≥86。它們在又未知數的個數和次數上有什么共同的特點？這樣的不等式叫做什么？生：含有一個未知數，未知數的次數是1，叫一元一次不等式。師：你是怎樣得到這個概念的？生：（齊聲）類比一元一次方程。師：好，填一下表1的第二行。（學生口答后，打出表1中的第二行的內容）。活動3類比一元一次方程的解定義探究一元一次不等式的解與解集的定義師：你能檢驗x=20是否為方程50x=1000的解嗎？什么叫“方程的解”？生：能！x=20是方程50x=1000的解，使方程成立的未知數的值是方程的解。師：已知數值：17，18，19，19.9，20，20.1，21，22。判斷：上述數值，哪些使不等式50x＜1000成立？哪些使之不成立？生：17，18，19，19.9使不等式50x＜1000成立；20，20.1，21，22使不等式50x＜1000不成立。師：類比方程的解的定義，x=19.9與不等式50x＜100有什么關系？對照方程解的定義說說什么是不等式的解？生：x=19.9是不等式50x＜1000的解，使不等式成立的未知數的值叫做不等式的解。師：你還能找出這個不等式的其他解嗎？這個不等式有多少個解？你說說不等式的解與方程的解有什么區別？生：能，如1，2，3，4，5…這個不等式有無數個解。方程的解只有一個，不等式的解有無數個。師：好！應說一元一次方程的解只有一個，那么x在什么范圍內時，不等式50x＜1000總成立？生：x＜20時總成立。師：一個含有未知數的不等式的所有的解，組成這個不等式的解集。不等式50x＜1000的解集是x＜20。（將上述概念打入下表1第三行）師：對不等式的解集有幾點說明：一、不等式的解集必須滿足兩個條件：1.解集中的任何一個數值都使不等式成立；2.解集外的任何一個數值都不能使不等式成立。二、50x＜1000的解集可以表示成x＜20，也可以在數軸上直觀地表示出來（圖3）：圖3三、研究不等式的一個重要任務，就是求出不等式的解集。求不等式的解集的過程，叫做解不等式。練習1：1.下列數值哪些是不等式x+3＞6的解？-4，-2.5，0，1，2.5，3，3.2，4.8，8，12。不等式x+3＞6的解集是什么？2.你能直接想出不等式2x＜8的解集嗎？評析：這兩題的設計旨在讓學生理解不等式解集的意義，也為后面自主探索解不等式并驗證其解集作一定的思維鋪墊。活動4類比等式的性質探究不等式的性質師：世界上很多重大的發現都是從猜想開始的，根據猜想解一解下列不等式？(1)x-7＞26(2)3x＞2x+1(3)(4)-2x＞6評析：給學生大膽猜想，旨在培養學生自主探索和類比聯想的能力。這樣的設計即使學生順向遷移出現錯誤，也讓學生獲得對類比猜想的正確認識。師：來，請一位同學上來做，其他同學下面做。（學生爭先恐后地舉起手，學生14解得：(1)x＞33；(2)x＞1；(3)x＞-6；(4)x＞-3。）學生解完后問。師：你是怎樣想到這么解的？生：(1)、(2)兩題目類似解方程中的“移項”，(3)、(4)兩題類似解方程中的“系數化為1”。師：解方程中的“移項”和“系數化為1”的依據分別是什么？生：等式的性質1和性質2。評析：引導學生回憶等式的性質，暴露學生原有的思維能有效地突破思維定勢。師：這樣解得到的不等式的解集對嗎？大家討論一下。生：解得的(1)、(2)、(3)都對，(4)不對。師：(4)正確的解集是什么？生：x＜-3。師：你發現了什么？你對等式的性質遷移到不等式又有什么猜想？大家討論一下。評析：以疑激思，以教師的“不作為”促使學生的“有所作為”有一定的挑戰性，力圖使學生進入“憤悱”狀態從而突破難點。生：不等式的兩邊加（或減）同一個數（或式子），不等號的方向不變。生：不等式的兩邊乘（或除以）同一個正數，不等號的方向不變。不等式的兩邊乘（或除以）同一個負數，不等號的方向改變。師：這樣的猜想對嗎？大家驗證一下。評析：引導學生通過小組合作，舉例說明上面猜想是否正確，先引導學生對任一數字不等式的兩邊同時加上正數、負數、0，驗證猜想①，滲透分類討論的思想為驗證后兩個猜想做好了鋪墊。然后讓學生自主驗證后兩個猜想，選取不同的舉例，通過實物投影儀展示在大屏幕上，先展示取正數的例子，再展示取負數的例子，最后展示取0的例子，把學生思維過程完全暴露出來，一層層地剝開，讓不同層次的學生體現成功的快樂，最后將等式和不等式的性質打入表1，逐步使教學活動進入高潮。表1類比等式探究不等式師：你發現等式性質與不等式性質有什么區別與聯系？生：等式的性質1與不等式的性質1類似，等式性質2對應于不等式性質應分兩種情形，當不等式的兩邊乘（或除以）同一個正數，不等號的方向不變。當不等式的兩邊乘（或除以）同一個負數，不等號的方向要改變。評析：由學生歸納等式性質與不等式性質的區別和聯系。通過類比發現二者的相同點和不同點，把知識系統化，提高思維的深刻性。適時地再次突出重點，突破性質3這個難點，為正確應用性質打好基礎。3。訓練反饋，鞏固新知練習2：(1)判斷正誤評析：得出不等式性質后，緊跟一組基礎題鞏固新知，快速反饋有利于知識的生成和發展。例解不等式并在數軸上表示解集：(1)7x+2≤86，(2)4-2(x-3)＜4(x+1)師：說說利用不等式的性質解不等式與解方程有什么共同點和不同點？生：解方程和解不等式都有“去括號、移項、合并同類項、系數化為1”這些步驟，不同的是解不等式時，在不等式的兩邊同乘以一個負數時，不等號的方向要改變。練習3：2008年5月12日，四川汶川發生8.0級大地震，我部火速從距重災區45千米機場出發，計劃1小時內趕到災區。行進了20分，中途由于道路出現泥石流，官兵下車搶修道路，用了10分鐘，在剩下的路途中，必須以多大的速度行進才能在規定時間前趕到？評析：這一問題取材于抗震救災，既有教育意義又有一定的挑戰性，讓學生感受不等式解決實際問題的作用，培養學生應用意識和解決實際問題的能力。4.小結歸納，提升理念師：這節課學習了什么？有什么收獲？生：這節課我們學習了不等式定義和一元一次不等式的解法，知道了不等式解和解集的概念。生：我們學會了利用不等式的性質解一元一次不等式。在系數化為1時，兩邊同乘以或除以一個負數時，不等號的方向要改變。生：我學會了列不等式解實際生活問題。生：我學會了用類比的方法，探究數學中相類似的問題。師：很好，同學們總結得很好，所學的這么多知識都來源于一個重要的數學思想——類比。它是發現的源泉，數學家歐拉稱“偉大的類比”，但是類比得到的結論不一定正確，還需要驗證。評析：在新課程標準總目標中特別提出學生要“獲得適應未來社會生活和繼續學習所必需的數學基本知識和技能以及基本的數學思想方法”。掌握好數學思想和方法，是培養學生創新意識全面提高思維品質的必要條件，是學生獲得可持續發展的動力，也是本節課的主旨所在。教學設計總評：本節課是在等式、一元一次方程的基礎上學習不等式的有關概念與性質，通