構造法解數學問題省實驗中學王磊

長期以來，人們對構造進行教學與探討，那么什么是構造法呢？對于某些問題，條件與結論距離較遠的問題，直接推理優勢不能順利進行，因而要尋找某種中介工具溝通條件和結論的關系。而這個中介工具往往含在題設的條件中，要我們去發現，去構造，這種通過構造題目本身所沒有的解題中介工具，去實現解題的方法為構造法。構造法是一種重要的思想方法。它體現了類比、劃歸、猜想、試驗等思想；構造法的內涵豐富，使用時并不像數學公式一樣存在一個固定的模式可以套用，要針對具體的問題特點采用相應的方法；解決命題p遇到阻礙時,可以跳過思維定勢,設想構造一個與命題p相關的新命題q,通過對命題q的研究達到解決命題p的目的,這種處理問題的方法稱之為構造法。構造法是一種精巧的數學方法,其策略具有非常規性,方法帶有試探性,思維富有創造性。因此,構造法解題是數學中最富有活力的思想方法之一,而且具有還原、分解、簡化及數形轉化功能.在解決某些數學問題時，我們常會采用這樣的方法：通過對條件和結論充分細致的分析，抓住問題的特征，聯想熟知的數學模型，然后變換命題，恰當地構造輔助元素，它可以是一個圖形，一個函數，一個方程，一個等價命題等等，以此架起一座連接條件和結論的橋梁，從而使問題得以解決，這種解題的數學方法，我們稱之為構造法。運用構造法解題，可以使代數、三角、幾何等各種數學知識互相滲透，有利于問題的解決。構造法作為一種數學方法，不同于一般的邏輯方法，它屬于非常規思維。其方法是：對某些用常規方法不易解決的問題，依據題設條件的特點，用已知條件中的元素去構造新的對應關系或新的數學模型，從而使復雜問題簡單化。在解題過程中，若按習慣定勢思維去探求解題途徑比較困難時，可以啟發學生根據題目特點，展開豐富的聯想拓寬自己思維范圍，運用構造法來解題也是培養學生創造意識和創新思維的手段之一，同時對提高學生的解題能力也有所幫助。運用構造法解題，關鍵在于尋找到合理的數學模型，一旦運用成功，它所呈現的是問題的本質規律和數學的內在美，往往給人耳目一新的感覺。歷史上有不少著名的數學家，如歐幾里得、歐拉、高斯、拉格朗日等人，都曾經用“構造法”成功地解決過數學上的難題。數學是一門創造性的藝術，蘊含著豐富的美,而靈活、巧妙的構造令人拍手叫絕，能為數學問題的解決增添色彩，更具研究和欣賞價值。近幾年來，構造法及其應用又逐漸為數學教育界所重視，在數學競賽中有著一定的地位。用構造法解題，常使數學解題由難變易，它無一定之規，沒有通用的構造法則。運用構造法解題對于培養思維的敏捷性和創造性，具有重要的意義。下面通過幾個實例說明構造法的應用。1．構造函數法例1、已知x>0，求證：【巧證】：構造函數則，設2≤<由顯然∵2≤<∴>0,1>0,>0∴上式>0∴f(x)在上單調遞增，∴左邊例2、求證：【巧證】：設則用定義法可證：f(t)在上單調遞增令：3≤t1<t2則∴2．構造方程法：例3、已知實數a,b,c，滿足a+b+c=0和abc=2，求證：a,b,c中至少有一個不小于2。【巧證】：由題設：顯然a,b,c中必有一個正數，不妨設a>0，則即b,c是二次方程的兩個實根。∴即：a≥2例4、求證：【巧證】：設則：(y1)tan2+(y+1)tan+(y1)=0當y=1時，命題顯然成立當y1時，△=(y+1)24(y1)2=(3y1)(y3)≥0∴綜上所述，原式成立。（此法也稱判別式法）3．構造圖形法：例5、已知0<a<1，0<b<1，求證：

ABCDOABCDO1bba1O到AD,AB的距離為a,b，則|AO|+|BO|+|CO|+|DO|≥|AC|+|BD|其中，

又：∴在解題教學時，若能啟發學生從多角度，多渠道進行廣泛的聯想則能得到許多構思巧妙，新穎獨特，簡捷有效的解題方法而且還能加強學生對知識的理解，培養思維的靈活性，提高學生分析問題的創新能力。“構造法”作為一種重要