10.3頻率與概率學(xué)習(xí)目標(biāo)1.理解概率的意義以及頻率與概率的區(qū)別與聯(lián)系.2.能初步利用概率知識(shí)解釋現(xiàn)實(shí)生活中的概率問題.3.了解隨機(jī)模擬的含義，會(huì)利用隨機(jī)模擬估計(jì)概率.知識(shí)點(diǎn)一頻率的穩(wěn)定性在任何確定次數(shù)的隨機(jī)試驗(yàn)中，一個(gè)隨機(jī)事件A發(fā)生的頻率具有隨機(jī)性.一般地，隨著試驗(yàn)次數(shù)n的增大，頻率偏離概率的幅度會(huì)縮小，即事件A發(fā)生的頻率fn(A)會(huì)逐漸穩(wěn)定于事件A發(fā)生的概率P(A)，我們稱頻率的這個(gè)性質(zhì)為頻率的穩(wěn)定性.因此，我們可以用頻率fn(A)估計(jì)概率P(A).思考一枚質(zhì)地均勻的硬幣，拋擲10次，100次，1000次，正面向上的頻率與0.5相比，有什么變化？答案隨著拋擲的次數(shù)增加，正面向上的次數(shù)與總次數(shù)之比會(huì)逐漸接近0.5.知識(shí)點(diǎn)二隨機(jī)模擬用頻率估計(jì)概率，需做大量的重復(fù)試驗(yàn)，我們可以根據(jù)不同的隨機(jī)試驗(yàn)構(gòu)建相應(yīng)的隨機(jī)數(shù)模擬試驗(yàn)，這樣就可以快速地進(jìn)行大量重復(fù)試驗(yàn)了.我們稱利用隨機(jī)模擬解決問題的方法為蒙特卡洛方法.1.設(shè)有一批產(chǎn)品，其次品率為0.05，則從中任取200件，必有10件是次品.(×)2.做100次拋硬幣的試驗(yàn)，結(jié)果51次出現(xiàn)正面朝上，因此，出現(xiàn)正面朝上的概率是eq\f(51,100).(×)3.某事件發(fā)生的概率隨著試驗(yàn)次數(shù)的變化而變化.(×)4.小概率事件就是不可能發(fā)生的事件.(×)一、頻率與概率的關(guān)系例1(1)下列說法一定正確的是()A.一名籃球運(yùn)動(dòng)員，號(hào)稱“百發(fā)百中”，若罰球三次，不會(huì)出現(xiàn)三投都不中的情況B.一個(gè)骰子擲一次得到2的概率是eq\f(1,6)，則擲6次一定會(huì)出現(xiàn)一次2C.若買彩票中獎(jiǎng)的概率為萬分之一，則買一萬元的彩票一定會(huì)中獎(jiǎng)一元D.隨機(jī)事件發(fā)生的概率與試驗(yàn)次數(shù)無關(guān)答案D解析A錯(cuò)誤，概率小不代表一定不發(fā)生；B錯(cuò)誤，概率不等同于頻率；C錯(cuò)誤，概率是預(yù)測，不必然出現(xiàn)；D正確，隨機(jī)事件發(fā)生的概率是多次試驗(yàn)的穩(wěn)定值，與試驗(yàn)次數(shù)無關(guān).(2)對(duì)某電視機(jī)廠生產(chǎn)的電視機(jī)進(jìn)行抽樣檢測的數(shù)據(jù)如下：抽取臺(tái)數(shù)501002003005001000優(yōu)等品數(shù)4092192285478954①根據(jù)表中數(shù)據(jù)分別計(jì)算6次試驗(yàn)中抽到優(yōu)等品的頻率；②該廠生產(chǎn)的電視機(jī)為優(yōu)等品的概率約是多少？解①抽到優(yōu)等品的頻率分別為0.8,0.92,0.96,0.95,0.956,0.954.②由表中數(shù)據(jù)可估計(jì)優(yōu)等品的概率約為0.95.反思感悟(1)頻率是概率的近似值，隨著試驗(yàn)次數(shù)的增加，頻率會(huì)越來越接近概率.(2)頻率本身是隨機(jī)的，在試驗(yàn)前不能確定.(3)概率是一個(gè)確定的常數(shù)，是客觀存在的，在試驗(yàn)前已經(jīng)確定，與試驗(yàn)次數(shù)無關(guān).跟蹤訓(xùn)練1一個(gè)地區(qū)從某年起4年之內(nèi)的新生嬰兒數(shù)及其中的男嬰數(shù)如下表所示：時(shí)間范圍1年內(nèi)2年內(nèi)3年內(nèi)4年內(nèi)新生嬰兒數(shù)n554496071352017190男嬰數(shù)m2883497069948892(1)計(jì)算男嬰出生的頻率(保留4位小數(shù))；(2)這一地區(qū)男嬰出生的概率約是多少？解(1)計(jì)算eq\f(m,n)即得男嬰出生的頻率依次約是0.5200，0.5173，0.5173,0.5173.(2)隨著新生嬰兒數(shù)的增多，男嬰出生的頻率接近0.5173，因此，這一地區(qū)男嬰出生的概率約為0.5173.二、概率思想的實(shí)際應(yīng)用例2設(shè)有外形完全相同的兩個(gè)箱子，甲箱中有99個(gè)白球，1個(gè)黑球，乙箱中有1個(gè)白球，99個(gè)黑球.先隨機(jī)地抽取一箱，再從取出的一箱中抽取一球，結(jié)果取得白球.推斷這球是從哪一個(gè)箱子中取出的？解甲箱中有99個(gè)白球，1個(gè)黑球，故隨機(jī)地取出一球，得到白球的可能性是eq\f(99,100).乙箱中有1個(gè)白球，99個(gè)黑球，從中任取一球，得到白球的可能性是eq\f(1,100).由此可見，這一白球從甲箱中抽出的概率比從乙箱中抽出的概率大得多.既然在一次抽樣中抽到白球，當(dāng)然可以認(rèn)為是從概率大的箱子中取出的.所以我們作出統(tǒng)計(jì)推斷：該白球是從甲箱中取出的.反思感悟在一次試驗(yàn)中，概率大的事件比概率小的事件出現(xiàn)的可能性更大.跟蹤訓(xùn)練2為了估計(jì)某自然保護(hù)區(qū)中天鵝的數(shù)量，可以使用以下方法：先從該保護(hù)區(qū)中捕出一定數(shù)量的天鵝，如200只，給每只天鵝作上記號(hào)且不影響其存活，然后放回保護(hù)區(qū)，經(jīng)過適當(dāng)?shù)臅r(shí)間，讓它們和保護(hù)區(qū)中其余的天鵝充分混合，再從保護(hù)區(qū)中捕出一定數(shù)量的天鵝，如150只.查看其中有記號(hào)的天鵝，設(shè)有20只，試根據(jù)上述數(shù)據(jù)，估計(jì)該自然保護(hù)區(qū)中天鵝的數(shù)量.解設(shè)保護(hù)區(qū)中天鵝的數(shù)量為n，假設(shè)每只天鵝被捕到的可能性是相等的，從保護(hù)區(qū)中任捕一只，設(shè)事件A＝{捕到帶有記號(hào)的天鵝}，則P(A)＝eq\f(200,n).從保護(hù)區(qū)中捕出150只天鵝，其中有20只帶有記號(hào)，由概率的定義可知P(A)≈eq\f(20,150).由eq\f(200,n)≈eq\f(20,150)，解得n≈1500，所以該自然保護(hù)區(qū)中天鵝的數(shù)量約為1500只.三、用隨機(jī)模擬估計(jì)概率例3一個(gè)袋中有7個(gè)大小、形狀相同的小球，6個(gè)白球，1個(gè)紅球，現(xiàn)任取1個(gè)球，若為紅球就停止，若為白球就放回，攪拌均勻后再接著取，試設(shè)計(jì)一個(gè)模擬試驗(yàn)計(jì)算恰好第三次摸到紅球的概率.解用1,2,3,4,5,6表示白球，7表示紅球，利用計(jì)算器或計(jì)算機(jī)產(chǎn)生1到7之間(包括1和7)取整數(shù)值的隨機(jī)數(shù)，因?yàn)橐笄『玫谌蚊郊t球的概率，所以每三個(gè)隨機(jī)數(shù)作為一組，如下，產(chǎn)生20組隨機(jī)數(shù)：666743671464571561156567732375716116614445117573552274114662就相當(dāng)于做了20次試驗(yàn)，在這些數(shù)組中，前兩個(gè)數(shù)字不是7，第三個(gè)數(shù)字恰好是7就表示第一次、第二次摸到的是白球，第三次摸到的是紅球，它們分別是567和117，共兩組，因此恰好第三次摸到紅球的概率約為eq\f(2,20)＝0.1.反思感悟用隨機(jī)數(shù)模擬法求事件概率的方法在使用整數(shù)隨機(jī)數(shù)進(jìn)行模擬試驗(yàn)時(shí)，首先要確定隨機(jī)數(shù)的范圍和用哪個(gè)代表試驗(yàn)結(jié)果.(1)試驗(yàn)的基本結(jié)果是等可能時(shí)，基本事件的總數(shù)即為產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)的范圍，每個(gè)隨機(jī)數(shù)代表一個(gè)基本事件.(2)研究等可能事件的概率時(shí)，用按比例分配的方法確定表示各個(gè)結(jié)果的數(shù)字個(gè)數(shù)及總個(gè)數(shù).跟蹤訓(xùn)練3某籃球愛好者做投籃練習(xí)，假設(shè)其每次投籃命中的概率是60%，若該籃球愛好者連續(xù)投籃4次，求至少投中3次的概率，用隨機(jī)模擬的方法估計(jì)上述概率.解利用計(jì)算機(jī)或計(jì)算器產(chǎn)生0到9之間取整數(shù)值的隨機(jī)數(shù)，用1,2,3,4,5,6表示投中，用7,8,9,0表示未投中，這樣可以體現(xiàn)投中的概率是60%，因?yàn)橥痘@4次，所以每4個(gè)隨機(jī)數(shù)作為1組，例如5727,7895,0123，…，4560,4581,4698，共100組這樣的隨機(jī)數(shù)，若所有數(shù)組中沒有7,8,9,0或只有7,8,9,0中的一個(gè)數(shù)的數(shù)組的個(gè)數(shù)為n，則至少投中3次的概率近似值為eq\f(n,100).1.“某彩票的中獎(jiǎng)概率為eq\f(1,1000)”意味著()A.買1000張彩票就一定能中獎(jiǎng)B.買1000張彩票中一次獎(jiǎng)C.買1000張彩票一次獎(jiǎng)也不中D.購買彩票中獎(jiǎng)的可能性是eq\f(1,1000)答案D2.用隨機(jī)模擬方法估計(jì)概率時(shí)，其準(zhǔn)確程度取決于()A.產(chǎn)生的隨機(jī)數(shù)的大小B.產(chǎn)生的隨機(jī)數(shù)的個(gè)數(shù)C.隨機(jī)數(shù)對(duì)應(yīng)的結(jié)果D.產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)的方法答案B解析隨機(jī)數(shù)容量越大，所估計(jì)的概率越接近實(shí)際數(shù).3.某醫(yī)院治療一種疾病的治愈率為eq\f(1,5)，那么，前4個(gè)病人都沒有治愈，第5個(gè)病人被治愈的概率是()A.1B.eq\f(1,5)C.eq\f(4,5)D.0答案B解析每一個(gè)病人治愈與否都是隨機(jī)事件，故第5個(gè)人被治愈的概率仍為eq\f(1,5).4.天氣預(yù)報(bào)說，在今后的三天中，每一天下雨的概率均為40%，用隨機(jī)模擬的方法估計(jì)這三天中恰有兩天下雨的概率.可利用計(jì)算機(jī)產(chǎn)生0到9之間的取整數(shù)值的隨機(jī)數(shù)，如果我們用1,2,3,4表示下雨，用5,6,7,8,9,0表示不下雨，順次產(chǎn)生的隨機(jī)數(shù)如下：907966191925271932812458569683631257393027556488730113137989則這三天中恰有兩天下雨的概率約為()A.eq\f(13,20)B.eq\f(7,20)C.eq\f(9,20)D.eq\f(11,20)答案B解析由題意知，模擬三天中恰有兩天下雨的結(jié)果，經(jīng)隨機(jī)模擬產(chǎn)生了20組隨機(jī)數(shù)，在20組隨機(jī)數(shù)中表示三天中恰有兩天下雨的有：191,271,932,812,631,393,137，共7組隨機(jī)數(shù)，∴所求概率為eq\f(7,20).5.在一次擲硬幣試驗(yàn)中，擲100次，其中有48次正面朝上，設(shè)反面朝上為事件A，則事件A出現(xiàn)的頻率為________.答案0.52解析eq\f(100－48,100)＝0.52.1.知識(shí)清單：(1)概率與頻率的關(guān)系.(2)用頻率估計(jì)概率.(3)用隨機(jī)模擬估計(jì)概率.2.常見誤區(qū)：頻率與概率的關(guān)系易混淆.1.氣象臺(tái)預(yù)測“本市明天降雨的概率是90%”，對(duì)預(yù)測的正確理解是()A.本市明天將有90%的地區(qū)降雨B.本市明天將有90%的時(shí)間降雨C.明天出行不帶雨具肯定會(huì)淋雨D.明天出行不帶雨具可能會(huì)淋雨答案D解析降雨概率為90%是指明天降雨這個(gè)隨機(jī)事件發(fā)生的可能性為90%，明天也可能不下雨，故選D.2.經(jīng)過市場抽檢，質(zhì)檢部門得知市場上食用油合格率為80%，經(jīng)調(diào)查，某市市場上的食用油大約有80個(gè)品牌，則不合格的食用油品牌大約有()A.64個(gè)B.6個(gè)C.16個(gè)D.8個(gè)答案C解析80×(1－80%)＝16.3.給出下列3種說法：①設(shè)有一大批產(chǎn)品，已知其次品率為0.1，則從中任取100件，必有10件是次品；②做7次拋硬幣的試驗(yàn)，結(jié)果3次出現(xiàn)正面，因此，拋一枚硬幣出現(xiàn)正面的概率是eq\f(3,7)；③隨機(jī)事件發(fā)生的頻率就是這個(gè)隨機(jī)事件發(fā)生的概率.其中正確說法的個(gè)數(shù)是()A.0B.1C.2D.3答案A解析由頻率與概率之間的聯(lián)系與區(qū)別知，①②③均不正確.4.某種心臟手術(shù)，成功率為0.6，現(xiàn)采用隨機(jī)模擬方法估計(jì)“3例心臟手術(shù)全部成功”的概率；先利用計(jì)算器或計(jì)算機(jī)產(chǎn)生0～9之間取整數(shù)值的隨機(jī)數(shù)，由于成功率是0.6，故我們用0,1,2,3表示手術(shù)不成功，4,5,6,7,8,9表示手術(shù)成功；再以每3個(gè)隨機(jī)數(shù)為一組，作為3例手術(shù)的結(jié)果，經(jīng)隨機(jī)模擬產(chǎn)生如下10組隨機(jī)數(shù)：812,832,569,683,271,989,730,537,925,907由此估計(jì)“3例心臟手術(shù)全部成功”的概率為()A.0.2B.0.3C.0.4D.0.5答案A解析由10組隨機(jī)數(shù)知，3個(gè)隨機(jī)數(shù)都在4～9中的有569,989兩組，故所求的概率為P＝eq\f(2,10)＝0.2.5.從一批電視機(jī)中隨機(jī)抽出10臺(tái)進(jìn)行檢驗(yàn)，其中有1臺(tái)次品，則關(guān)于這批電視機(jī)，下列說法正確的是()A.次品率小于10% B.次品率大于10%C.次品率等于10% D.次品率接近10%答案D解析抽出的樣本中次品的頻率為eq\f(1,10)，即10%，所以樣本中次品率大約為10%，所以總體中次品率大約為10%.6.已知隨機(jī)事件A發(fā)生的頻率是0.02，事件A出現(xiàn)了10次，那么共進(jìn)行了________次試驗(yàn).答案500解析設(shè)進(jìn)行了n次試驗(yàn)，則有eq\f(10,n)＝0.02，得n＝500，故進(jìn)行了500次試驗(yàn).7.從一堆蘋果中任取了20個(gè)，并得到它們的質(zhì)量(單位：克)數(shù)據(jù)分布表如下：分組[90,100)[100,110)[110,120)[120,130)[130,140)[140,150]頻數(shù)1231031則這堆蘋果中，質(zhì)量不小于120克的蘋果數(shù)約占蘋果總數(shù)的________%.答案70解析計(jì)算出樣本中質(zhì)量不小于120克的蘋果的頻率，來估計(jì)這堆蘋果中質(zhì)量不小于120克的蘋果所占的比例，由題意知eq\f(10＋3＋1,20)＝0.7＝70%.8.在用隨機(jī)數(shù)(整數(shù))模擬“有4個(gè)男生和5個(gè)女生，從中抽選4個(gè)，并選出2個(gè)男生2個(gè)女生”的概率時(shí)，可讓計(jì)算機(jī)產(chǎn)生1～9的隨機(jī)整數(shù)，并且1～4代表男生，用5～9代表女生.因?yàn)槭沁x出4個(gè)，所以每4個(gè)隨機(jī)數(shù)作為一組.若得到的一組隨機(jī)數(shù)為“4678”，則它代表的含義是________________.答案選出的4人中，只有1個(gè)男生解析用1～4代表男生，用5～9代表女生，4678表示1個(gè)男生3個(gè)女生.9.在一個(gè)不透明的袋中有大小相同的4個(gè)小球，其中有2個(gè)白球，1個(gè)紅球，1個(gè)藍(lán)球，每次從袋中摸出一球，然后放回?cái)噭蛟倜诿蛟囼?yàn)中得到下列表格中部分?jǐn)?shù)據(jù)：摸球次數(shù)105080100150200250300出現(xiàn)紅球的頻數(shù)220273650出現(xiàn)紅球的頻率30%26%24%(1)請將表中數(shù)據(jù)補(bǔ)充完整；(2)如果按照此方法再摸球300次，所得頻率與表格中摸球300次對(duì)應(yīng)的頻率一定一樣嗎？為什么？(3)試估計(jì)紅球出現(xiàn)的概率.解(1)頻數(shù)分別是15,65,72；頻率分別是20%,25%,27%,24%,25%.(2)可能不一樣，因?yàn)轭l率會(huì)隨每次試驗(yàn)的變化而變化.(3)頻率集中在25%附近，所以可估計(jì)概率為0.25.10.如圖，A地到火車站共有兩條路徑L1和L2，現(xiàn)隨機(jī)抽取100位從A地到火車站的人進(jìn)行調(diào)查，調(diào)查結(jié)果如下表：所用時(shí)間/分10～2020～3030～4040～5050～60選擇L1的人數(shù)612181212選擇L2的人數(shù)0416164(1)試估計(jì)40分鐘內(nèi)不能趕到火車站的概率；(2)分別求通過路徑L1和L2所用時(shí)間落在上表中各時(shí)間段內(nèi)的頻率.解(1)由已知共調(diào)查了100人，其中40分鐘內(nèi)不能趕到火車站的有12＋12＋16＋4＝44(人)，所以用頻率估計(jì)相應(yīng)的概率為0.44.(2)選擇L1的有60人，選擇L2的有40人，故由調(diào)查結(jié)果得頻率為所用時(shí)間/分10～2020～3030～4040～5050～60選擇L1的人數(shù)0.10.20.30.20.2選擇L2的人數(shù)00.10.40.40.111.某水產(chǎn)試驗(yàn)廠實(shí)行某種魚的人工孵化，10000個(gè)魚卵能孵出8513尾魚苗，根據(jù)概率的統(tǒng)計(jì)定義，這種魚卵的孵化概率()A.約為0.8513B.必為0.8513C.再孵一次仍為0.8513D.不確定答案A解析這種魚卵的孵化頻率為eq\f(8513,10000)＝0.8513，它近似的為孵化的概率.12.某市交警部門在調(diào)查一起車禍過程中，所有的目擊證人都指證肇事車是一輛普通桑塔納出租車，但由于天黑，均未看清該車的車牌號(hào)碼及顏色，而該市有兩家出租車公司，其中甲公司有100輛桑塔納出租車，3000輛帕薩特出租車，乙公司有3000輛桑塔納出租車，100輛帕薩特出租車，交警部門應(yīng)先調(diào)查哪個(gè)公司的車輛較合理()A.甲公司 B.乙公司C.甲或乙公司均可 D.以上都對(duì)答案B解析由于甲公司桑塔納的比例為eq\f(100,100＋3000)＝eq\f(1,31)，乙公司桑塔納的比例為eq\f(3000,3000＋100)＝eq\f(30,31)，可知肇事車在乙公司的可能性大些.13.先后拋擲兩枚均勻的五角、一元的硬幣，觀察落地后硬幣的正反面情況，則下列哪個(gè)事件的概率最大()A.至少一枚硬幣正面向上B.只有一枚硬幣正面向上C.兩枚硬幣都是正面向上D.兩枚硬幣一枚正面向上，另一枚反面向上答案A解析拋擲兩枚硬幣，其結(jié)果有“正正”，“正反”，“反正”，“反反”四種情況.至少有一枚硬幣正面向上包括三種情況，其概率最大.14.通過模擬試驗(yàn)產(chǎn)生了20組隨機(jī)數(shù)：68303013705574307740442278842604334609526807970657745725657659299768607191386754如果恰好有三個(gè)數(shù)在1,2,3,4,5,6中，表