人教版八年級數學下冊（全冊）教案

八年級數學下冊教學計劃

一、指導思想

在教學中努力推進九年義務教育，落實新課改，體現新理念，培

養創新精神通過數學課的教學，使學生切實學好從事現代化建設和進

一步學習現代化科學技術所必需的數學基本知識和基本技能；努力培

養學生的運算能力、邏輯思維能力，以及分析問題和解決問題的能力。

二、學情分析

八年級是初中學習過程中的關鍵時期，學生基礎的好壞，直接影

響到將來是否能升學。我班優生稍少，學生非常活躍，有少數學生不

求上進，思維不緊跟老師。有的學生思想單純愛玩，缺乏自主學習的

習慣，有部分同學基礎較差，厭學無目標。要在本期獲得理想成績，

老師和學生都要付出努力，查漏補缺，充分發揮學生是學習的主體，

教師是教的主體作用，注重方法，培養能力。

三、教材分析

本學期教學內容共計五章，知識的前后聯系，教材的教學目標，

重、難點分析如下：

《義務教育教科書?數學》八年級下冊包括二次根式，勾股定理,

平行四邊形，一次函數，數據的分析等五章內容，學習內容涉及到了

《義務教育數學課程標準（2011年版）》（以下簡稱《課程標準》）

中“數與代數”“圖形與幾何”“統計與概率”“綜合與實踐”全部

四個領域。其中對于“綜合與實踐”領域的內容，本冊書在第十九章、

第二十章分別安排了一個課題學習，并在每一章的最后安排了兩個數

學活動，通過這些課題學習和數學活動落實“綜合與實踐”的要求。

第16章“二次根式”主要討論如何對數和字母開平方而得到的

特殊式子一一二次根式的加、減、乘、除運算。通過本章學習，學生

將建立起比較完善的代數式及其運算的知識結構，并為勾股定理、一

元二次方程、二次函數等內容的學習做好準備。

第17章“勾股定理”主要研究勾股定理和勾股定理的逆定理，

包括它們的發現、證明和應用。

第18章“平行四邊形”主要研究一般平行四邊形的概念、性質

和判定，還研究了矩形、菱形和正方形等幾種特殊的平行四邊形。

第19章是“一次函數”，其主要內容包括：常量與變量的意義,

函數的概念，函數的三種表示法，一次函數的概念、圖象、性質和應

用舉例，一次函數與二元一次方程等內容的關系，以及以建立一次函

數模型來選擇最優方案為素材的課題學習。

第20章“數據的分析”主要研究平均數（主要是加權平均數）、

中位數、眾數以及方差等統計量的統計意義，學習如何利用這些統計

量分析數據的集中趨勢和離散情況，并通過研究如何用樣本的平均數

和方差估計總體的平均數和方差，進一步體會用樣本估計總體的思

想。

本學期全書共需約62課時，具體分配如下:

第十六章二次根式約9課時

第十七章勾股定理約9課時

第十八章平行四邊形約15課時

第十九章一次函數約17課時

第二十章數據的分析約12課時

四、提高學科教育質量的主要措施：

1、認真做好教學六認真工作。把教學六認真作為提高成績的主

要方法，認真研讀新課程標準，鉆研新教材，根據新課程標準，擴充

教材內容，認真上課，批改作業，認真輔導，認真制作測試試卷，也

讓學生學會認真學習。

2、興趣是最好的老師，愛因斯坦如是說。激發學生的興趣，給

學生介紹數學家，數學史，介紹相應的數學趣題，給出數學課外思考

題，激發學生的興趣。

3、引導學生積極參與知識的構建，營造民主、和諧、平等、自

主、探究、合作、交流、分享發現快樂的高效的學習課堂，讓學生體

會學習的快樂，享受學習。引導學生寫學后總結，寫復習提綱，使知

識來源于學生的構造。

4、引導學生積極歸納解題規律，引導學生一題多解，多解歸一,

培養學生透過現象看本質，提高學生舉一反三的能力，這是提高學生

素質的根本途徑之一，培養學生的發散思維，讓學生處于一種思如泉

涌的狀態。

5、運用新課程標準的理念指導教學，積極更新自己腦海中固有

的教育理念，不同的教育理念將帶來不同的教育效果。

6、培養學生良好的學習習慣，陶行知說：教育就是培養習慣,

有助于學生穩步提高學習成績，發展學生的非智力因素，彌補智力上

的不足。

7、開展分層教學，布置作業設置A、B、C三類分層布置分別適

合于差、中、好三類學生，課堂上的提問照顧好好、中、差三類學生,

使他們都等到發展。

8、進行個別輔導，優生提升能力，扎實打牢基礎知識，對差生,

一些關鍵知識，輔導差生過關，為差生以后的發展鋪平道路。

9、培養學生學習數學的良好習慣。這些習慣包括①認真做作業

的習慣包括作業前清理好桌面，作業后認真檢查；②預習的習慣；③

認真看批改后的作業并及時更正的習慣；④認真做好課前準備的習

慣；⑤在書上作精要筆記的習慣；⑥妥善保管書籍資料和學習用品的

習慣；⑦認真閱讀數學教材的習慣。

第十六章二次根式

教材內容

1.本單元教學的主要內容：

二次根式的概念；二次根式的加減；二次根式的乘除；最簡二次

根式.

2.本單元在教材中的地位和作用：

二次根式是在學完了八年級下冊第十七章《反比例正函數》、第

十八章《勾股定理及其應用》等內容的基礎之上繼續學習的，它也是

今后學習其他數學知識的基礎.

教學目標

1.知識與技能

(1)理解二次根式的概念.

(2)理解&(a20)是一個非負數，(6)2=a(a20),J/=a

(a》0).

(3)掌握G,\[b=\[ab(a20,bNO),4ab=>[a*\[b;

馬口(a20,b>0)，E*(a20,b>0).

4b1b\b4b

(4)了解最簡二次根式的概念并靈活運用它們對二次根式進行

加減.

2.過程與方法

(1)先提出問題，讓學生探討、分析問題，師生共同歸納，得

出概念.再對概念的內涵進行分析，得出幾個重要結論，并運用這些

重要結論進行二次根式的計算和化簡.

(2)用具體數據探究規律，用不完全歸納法得出二次根式的乘

(除)法規定，?并運用規定進行計算.

(3)利用逆向思維，得出二次根式的乘(除)法規定的逆向等

式并運用它進行化簡.

(4)通過分析前面的計算和化簡結果，抓住它們的共同特點，?

給出最簡二次根式的概念.利用最簡二次根式的概念，來對相同的二

次根式進行合并，達到對二次根式進行計算和化簡的目的.

3.情感、態度與價值觀

通過本單元的學習培養學生：利用規定準確計算和化簡的嚴謹的

科學精神，經過探索二次根式的重要結論，二次根式的乘除規定，發

展學生觀察、分析、發現問題的能力.

教學重點

1.二次根式G(a20)的內涵.石(aNO)是一個非負數；(6)

2=a(a20)；77=a(a20)?及其運用.

2.二次根式乘除法的規定及其運用.

3.最簡二次根式的概念.

4.二次根式的加減運算.

教學難點

1.對G(a20)是一個非負數的理解；對等式(&)2=a(a

20)及V7=a(a20)的理解及應用.

2.二次根式的乘法、除法的條件限制.

3.利用最簡二次根式的概念把一個二次根式化成最簡二次根式.

教學關鍵

1.潛移默化地培養學生從具體到一般的推理能力，突出重點，

突破難點.

2.培養學生利用二次根式的規定和重要結論進行準確計算的能

力，?培養學生一絲不茍的科學精神.

單元課時劃分

本單元教學時間約需11課時，具體分配如下：

21.1二次根式3課時

21.2二次根式的乘法3課時

21.3二次根式的加減3課時

教學活動、習題課、小結2課時

16.1二次根式

第一課時

教學內容

二次根式的概念及其運用

教學目標

知識與技能：1、理解二次根式的概念，并利用石（a》0）的意

義解答具體題目.

2、提出問題，根據問題給出概念，應用概念解決實際問題.

過程與方法：經歷觀察、比較，總結二次根式概念和被開方數取

值的過程，發展學生的歸納概括能力。

情感態度與價值觀：經歷觀察、比較和應用等數學活動，感受數

學活動充滿了探索性和創造性，體驗發現的快樂，并提高應用的意識。

教學重難點1.重點：形如石（a20）的式子叫做二次根式

的概念；

2.難點：利用“G（a20）”解決具體問題.

教學方法：講解——小組合作

教學準備：多媒體課件

教學過程

一、復習引入

（學生活動）請同學們獨立完成下列三個問題：

問題1：已知反比例函數y=J那么它的圖象在第一象限橫、縱

X

坐標相等的點的坐標是.

問題2：如圖，在直角三角形ABC中，AC=3,BC=1,ZC=90°,

那么AB邊的長是.

問題3：甲射擊6次，各次擊中的環數如下：8、7、9、9、7、8,

那么甲這次射擊的方差是S2,那么S=.

老師點評：

問題1：橫、縱坐標相等，即x=y,所以X2=3.因為點在第一象

限，所以x=G，所以所求點的坐標（6，6）.

問題2：由勾股定理得AB=&3

問題3：由方差的概念得5=

二、探索新知

很明顯百、而、形,都是一些正數的算術平方根.像這樣一

些正數的算術平方根的式子，我們就把它稱二次根式.因此，一般地,

我們把形如G（a?0）?的式子叫做二次根式，稱為二次根號.

（學生活動）議一議：

1.-1有算術平方根嗎？

2.0的算術平方根是多少？

3.當a<0,G有意義嗎？

老師點評：(略)

例1.下列式子，哪些是二次根式，哪些不是二次根式：收、眄、

->&(x>0)、Vd>亞、-72>—'―、Jx+y(x20,y?20).

xx+y

分析：二次根式應滿足兩個條件：第一，有二次根號“一”；

第二，被開方數是正數或0.

解：二次根式有：6、y[x(x>0)>Vo>-尬、y]x+y(x20,y

20)；不是二次根式的有：冷、L、板、

xx+y

例2.當x是多少時，V1』在實數范圍內有意義？

分析：由二次根式的定義可知，被開方數一定要大于或等于0,

所以3x-120，?再T才能有意義.

解：由3x-120,得：—

3

當X》!時，反不在實數范圍內有意義.

3

三、鞏固練習

教材P3練習1、2、3.

四、應用拓展

例3.當x是多少時，岳仔+」-在實數范圍內有意義？

X+1

分析：要使岳仔+二-在實數范圍內有意義，必須同時滿足

X+1

7^工行中的20和」一中的X+1W0.

x+1

解：依題意，得(2X+32°

x+lwO

由①得：X》.

2

由②得：xW-1

當且xW-l時-，后行+」一在實數范圍內有意義.

2X+1

例4(1)已知+F5+5,求足的值.(答案:2)

y

(2)若G+d=O,求az^+b?。04的值.(答案:|)

五、歸納小結(學生活動，老師點評)

本節課要掌握：

1.形如八(a20)的式子叫做二次根式，稱為二次根號.

2.要使二次根式在實數范圍內有意義，必須滿足被開方數是非

負數.

六、布置作業

1.P5復習鞏固1、綜合應用5.

2.課后作業：《同步訓練》

教學反思：

16.1二次根式(2)

第二課時

教學內容

1.4a(a20)是一個非負數；2.(G)2=a(a20).

教學目標

知識與技能：1、理解及(a20)是一個非負數和(G)2=a(a

NO）,并利用它們進行計算和化簡.

2、通過復習二次根式的概念，用邏輯推理的方法推出&（aNO）

是一個非負數，用具體數據結合算術平方根的意義導出（G）2=a（a

20）；最后運用結論嚴謹解題.

過程與方法：1、在明確（6）2=a（a20）的算理的過程中，感

受數學的實用性；2、課堂計算通過小組合作交流，培養學生的合作

意識。

情感態度與價值觀：通過二次根式的相關計算，進而解決一些實

際問題，培養學生解決問題的能力。

教學重難點1.重點：石（a20）是一個非負數；（&）2=@

（a20）及其運用.

2.難點、：用分類思想的方法導出&（aNO）是一個非負數；?

用探究的方法導出（G）2=a（a20）.

教學方法：講解一練習法

教學準備：多媒體課件

教學過程

一、復習引入

（學生活動）口答

1.什么叫二次根式？

2.當a20時、&叫什么？當a<0時一，6有意義嗎？

老師點評（略）.

二、探究新知

議一議：（學生分組討論，提問解答）

&（a20）是一個什么數呢？

老師點評：根據學生討論和上面的練習，我們可以得出

石（a20）是一個非負數.

做一做：根據算術平方根的意義填空：

（">2=；（72）2=；（V9）2=;（V3）

2=_______,.

（卜2=一；橘產——；（"=——.

老師點評："是4的算術平方根，根據算術平方根的意義，而是

一個平方等于4的非負數，因此有（"）2=爾

同理可得：（6）2=2,（79）2=9,（百）2=3,（）2=L

丫33

（、口）2=2,（To）2=0,所以

V22

（指）2=a（a20）

例1計算

1.（舟22.（375）23.（^|）24.（程）2

分析：我們可以直接利用（G）2=a（a20）的結論解題.

解：（甘）2=2,（3>/5）2=32,（石）2=32,5=45,

V22

（￡）2=』，茗）2=嘈1=工.

V662224

三、鞏固練習

計算下列各式的值:

(9)2(J|)2呼產"(4導2

(36)2—(5百)2

四、應用拓展

例2計算

1.(Jx+1)2(x'O)2.(4^)23.(yla2+2a+\)2

4.(j4f-12x+9)2

分析：(1)因為x20,所以x+l〉0；(2)a2^0；(3)a2+2a+l=

(a+1)20；

(4)4x2-12x+9=(2x)2-2?2x-3+3?=(2x-3)2^0.

所以上面的4題都可以運用(及)2=a(a20)的重要結論解題.

解：(1)因為x20,所以x+l〉0

(Jx+1)2=x+l

,,222

(2).a^0,(7?)=a

(3)Va2+2a+l=(a+1)2

又(a+1)220,/.a2+2a+l^0,/.+2a+l=a2+2a+1

(4)V4x2-12x+9=(2x)2-2?2x?3+32=(2x-3)2

又■(2x-3)230

222

/.4x-12x4-9^0,-12X+9)=4x-12x+9

例3在實數范圍內分解下列因式：

(1)x2-3(2)x4~4(3)2x2-3

分析：(略)

五、歸納小結

本節課應掌握：

1.石(a》0)是一個非負數；

2.(&)2=a(a》0);反之:a=(Va)2(a^O).

六、布置作業

1.教材P5復習鞏固2.(1)、(2)P67.

3.課后作業：《基礎訓練》

教學反思：

16.1二次根式(3)

第三課時

教學內容

y/a^=a(a20)

教學目標

知識與技能：1、理解V7=a(a20)并利用它進行計算和化簡.

2、通過具體數據的解答，探究病=a(a20),并利用這個結論

解決具體問題.

過程與方法：課堂計算通過小組合作交流，培養學生的合作意識,

提高競爭意識。

情感態度與價值觀：通過二次根式的相關計算，進而解決一些實

際問題，培養學生解決問題的能力。

教學重難點關鍵

1.重點："=a(aNO).

2.難點：探究結論.

教學方法：練習法

教學準備：多媒體課件

教學過程

一、復習引入

老師口述并板收上兩節課的重要內容；

1.形如&(aNO)的式子叫做二次根式；

2.&(a^O)是一個非負數；

3.(G)2=a(a20).

那么，我們猜想當a》0時，行=2是否也成立呢？下面我們就

來探究這個問題.

二、探究新知

(學生活動)填空：

V?=；Vo.oi2=；.1(—)2=_____；

(老師點評)：根據算術平方根的意義，我們可以得到：

萬=2；Vo.oi2=0.01；=噌；；而=0；?

因此，一般地：C=a(a20)

例1化簡

(1)V9⑵正后⑶V25(4)必？

分析：因為(1)9=-32,(2)(-4)2=42,(3)25=52,

(4)(-3)2=32,所以都可運用V7=a(a20)?去化簡.

解：(1)V9=A/F=3(2)J(-4)2=邛=4

(3)岳=療=5(4)/(田=A/F=3

三、鞏固練習

教材P5練習2.

四、應用拓展

例2填空：當a》0時-，J/=；當a<0時，77=,

?并根據這一性質回答下列問題.

(1)若行=a,則a可以是什么數？

(2)若行=-a,則a可以是什么數？

(3)V7>a,則a可以是什么數？

分析：???〃7=a(a20),...要填第一個空格可以根據這個結論,

第二空格就不行，應變形，使“()2”中的數是正數，因為，當a

WO時，'=J(-a)2,那么-a20.

(1)根據結論求條件；(2)根據第二個填空的分析，逆向思想;

(3)根據(1)、(2)可知行=|a|,而|a|要大于a,只有什

么時候才能保證呢？a<0.

解：(1)因為"=a,所以a20；

(2)因為J/=-a,所以aWO；

(3)因為當a20時V7=a,要使J/>a,即使a>a所以a不存在;

當a<0時，V7=-a,要使J/>a,即使-a>a,a<0綜上，a<0

例3當x>2,化簡例x-2）2-J（l—2".

分析：（略）

五、歸納小結

本節課應掌握：J/=a（a20）及其運用，同時理解當a<0時，V7

=-a的應用拓展.

六、布置作業

1.教材P5習題21.13、4、6、8.

3.課后作業：《基礎訓練》

教學反思：

16.2二次根式的乘除

第一課時

教學內容

4a?y/b=>fab（a20,b10）,反之而=G,>Jb（aNO,b20）

及其運用.

教學目標

知識與技能：1、理解G,4b=4ab（a》0,b20）,y/ab=y[a,4b

（a10,b》0）,并利用它們進行計算和化簡2、由具體數據，發現

規律，導出&-耳=而（a20,be0）并運用它進行計算；利用逆

向思維，得出而=&?揚（a》0,b10）并運用它進行解題和化簡.

過程與方法：1、經歷“探索——發現——猜想——驗證”的過程

引導學生體會合情推理與演繹推理的相互依賴，相互補充的辯證關

系；2、培養學生用規范的數學語言進行表達的習慣和能力。

情感態度與價值觀：鼓勵學生積極參與數學活動，激發學生的好

奇心和求知欲，體驗數學活動中的探索和創新，感受數學的嚴謹性。

教學重難點重點：G?揚=而(a》0,b30),而=&-指

(a＞0,b20)及它們的運用.

難點：發現規律，導出G,\[b=\[ab(aNO,b10).

教學方法：探索——發現——應用

教學準備：多媒體課件

教學過程

一、復習引入

(學生活動)請同學們完成下列各題.

1.填空

(1)V4X79=,J4x9=;

(2)XV25=,716x25=.

(3)V100X病=,7100x36=.

參考上面的結果，用“＞、＜或="填空.

V4X79_____74^9,V16XV25J16x25,V100X

V367100x36

2.利用計算器計算填空

(1)V2XV3"，(2)V2XV5屈,

(3)75XV6廊，(4)74XV5720,

（5）x/7xVioV70.

老師點評（糾正學生練習中的錯誤）

二、探索新知

（學生活動）讓3、4個同學上臺總結規律.

老師點評：（1）被開方數都是正數；

（2）兩個二次根式的乘除等于一個二次根式，?并且把這兩個二

次根式中的數相乘，作為等號另一邊二次根式中的被開方數.

一般地，對二次根式的乘法規定為

&R=&.(a20,b20)

反過來：疝=八?8(a20,b20)

例L計算

(1)V5XT7(2)《X?(3)V9XV27(4)X

瓜

分析：直接利用G,y[b=y/ab(a20,b20)計算即可.

解：(1)不義V7=V35

(2)1義工=J：X9=6

(3)V9XV27=V9X27=V92X3=9V3

(4)XV6=J1x6=V3

例2化簡

(1)V9X16(2)716x81(3)781x100

(4)再斤⑸V54

分析：利用=G,y[b(a20,bNO)直接化簡即可.

解：(1)>/97i6=V9XVl6=3X4=12

(2)716^81=716X781=4X9=36

(3)V8bdOO=V8iXVi()o=9X10=90

(4)m2y2=正義正7=存義J7*J7=3xy

(5)V54=V9X6=7?X76=376

三、鞏固練習

(1)計算(學生練習，老師點評)

①而義冊②3底X2而③扃■8

(2)化簡：^20;V18；V24；V54；112a汨

教材P8練習全部

四、應用拓展

例3.判斷下列各式是否正確，不正確的請予以改正：

(1)J(—4)x(-9)=匕x"

(2)忠義后=4X、但X后=4、但義后=4至=8百

V25725V25

解：(1)不正確.

改正：J(-4)x(-9)=J4x9=〃X也=2X3=6

(2)不正確.

改正：，廄*后=,陛X后=J^x2；=VHI=>/16x7=4近

V25V25V25

五、歸納小結

本節課應掌握：(1),y/b=4ab=(a20,b10)，4ab=y[a?新

(a10,b^O)及其運用.

六、布置作業

1.課本P121,4,5,6.(1)(2).

教學反思：

16.2二次根式的乘除

第二課時

教學內容

4a_[a[a_yfa

訪一匕(a20,b〉0),反過來心—訪(a20,b>0)及利用它

們進行計算和化簡.

教學目標

理解R(aNO,b>0)和匹立(a20,

知識與技能：1、

4b\b\b4b

b>0)及利用它們進行運算.

2、利用具體數據，通過學生練習活動，發現規律，歸納出除法規

定，并用逆向思維寫出逆向等式及利用它們進行計算和化簡.

過程與方法：1、發展有條理的思考和語言表達能力。

2、培養化歸的數學思想。

情感態度與價值觀：在經歷二次根式乘除法運算法則的過程中,

獲得成就感，建立學習數學的信心和興趣。

教學重難點L重點：理解?/(a20,b>0),哼

(a20,b>0)及利用它們進行計算和化簡.

2.難點：發現規律，歸納出二次根式的除法規定.

教學方法：引導——探索——發現

教學準備：多媒體課件

教學過程

一、復習引入

(學生活動)請同學們完成下列各題：

1.寫出二次根式的乘法規定及逆向等式.

2.填空

(3)里=

3.利用計算器計算填空:

，⑵*

⑴尹，⑶宗=

(4)4=-

規律:4_____、口；*[2V2[2V7[7

V4V4V3卜忑————七。

每組推薦一名學生上臺闡述運算結果.

（老師點評）

二、探索新知

剛才同學們都練習都很好，上臺的同學也回答得十分準確，根據

大家的練習和回答，我們可以得到:

一般地，對二次根式的除法規定:

馬口(a20,b>0),

4bNb

反過來,沁e，"

下面我們利用這個規定來計算和化簡一些題目.

分析一面4小題利晦噂（心。.

b>0）便可直接得出答案.

⑷*除E

例2.化簡:

2

(1)總⑵64b(3)9%(4)

64/

分析：直接利用甘=得（a20,b>0）就可以達到化簡之目的.

教材P11練習1.

四、應用拓展

例3.已知=告’且X為偶數,求Sx）尸—5x+4白勺

x2-1

值.

分析：式子4卷,只有a20,b〉0時才能成立.

因此得到9-x^0且x-6>0,即6<xW9,又因為x為偶數，所以

x=8.

途。，即!

解：由題意得[9-x<9

x-6>0x>6

，6<xW9

???x為偶數

J(x-4)(1)

.,.原式=(1+x)

\(x+l)(x-l)

八十x）舄

(l+x)=J(l+x)(x-4)

JU+1)

/.當X=8時，原式的值=J4x9=6.

五、歸納小結

本節課要掌握小巧（aeo,b>0）和/呼（aNO,b>0）及

其運用.

六、布置作業

1.教材Pi2習題21.22、7、8、9.

2.課后作業：《基礎訓練》

教學反思：

16.2二次根式的乘除（3）

第三課時

教學內容

最簡二次根式的概念及利用最簡二次根式的概念進行二次根式

的化簡運算.

教學目標

知識與技能：理解最簡二次根式的概念，并運用它把不是最簡二

次根式的化成最簡二次根式.

過程與方法：通過計算或化簡的結果來提煉出最簡二次根式的概

念，并根據它的特點來檢驗最后結果是否滿足最簡二次根式的要求.

情感態度與價值觀：在經歷二次根式乘除法運算法則的過程中，

獲得成就感，建立學習數學的信心和興趣。

重難點1.重點：最簡二次根式的運用.

2.難點：會判斷這個二次根式是否是最簡二次根式.

教學方法：練習法

教學準備：多媒體課件

教學過程

一、復習引入

（學生活動）請同學們完成下列各題（請三位同學上臺板書）

1.計算(1)噌，(2)整，(3)-A

V5V27V2a

老師點評：玲叵,建=二器二巫

V55V273V2aa

2.現在我們來看本章引言中的問題：如果兩個電視塔的高分別

是hikm,h2km，?那么它們的傳播半徑的比是

它們的比是溪.

二、探索新知

觀察上面計算題1的最后結果，可以發現這些式子中的二次根式

有如下兩個特點：

1.被開方數不含分母；

2.被開方數中不含能開得盡方的因數或因式.

我們把滿足上述兩個條件的二次根式，叫做最簡二次根式.

那么上題中的比是否是最簡二次根式呢？如果不是，把它們化成

最簡二次根式.

學生分組討論，推薦3?4個人到黑板上板書.

老師點評：不是.

例1.(1)3啟(2)^V+^2；(3)

例2.如圖，在RtZ^ABC中，ZC=90°，AC=2.5cm,BC=6cm,求

AB的長.

解：因為AB2=AC2+BC2

所以AB=V2.52+62=+6.5(cm)

因此AB的長為6.5cm.

三、鞏固練習

教材Pu練習2、3

四、應用拓展

例3.觀察下列各式，通過分母有理數，把不是最簡二次根式的

化成最簡二次根式:

1_1>(層1)=石_]

V2+1(72+1)(72-1)-2-1'-

1.lx(V3-V2)_V3-V2_

73772(6+3)(石-偽一行廠7W，

]

同理可得:=V4—y/3，...

C+百

從計算結果中找出規律，并利用這一規律計算

(,2002+1)的值.

V2+1V3+V2V4+V3V2002+V200T

分析：由題意可知，本題所給的是一組分母有理化的式子，因此,

分母有理化后就可以達到化簡的目的.

解：原式=(V2-1+V3-V2+74-V3+.........+V2002-V2001)義

(V2002+1)

=(V2002-1)(V2002+1)

=2002-1=2001

五、歸納小結

本節課應掌握：最簡二次根式的概念及其運用.

六、布置作業

1.教材九習題21.23、7、10.

3.課后作業：《基礎訓練》

教學反思:

16.3二次根式的加減(1)

第一課時

教學內容

二次根式的加減

教學目標

知識與技能：理解和掌握二次根式加減的方法.

過程與方法：先提出問題，分析問題，在分析問題中，滲透對二

次根式進行加減的方法的理解.再總結經驗，用它來指導根式的計算

和化簡.

情感態度與價值觀：體會合作學習的先進性。

重難點關鍵

1.重點：二次根式化簡為最簡根式.

2.難點關鍵：會判定是否是最簡二次根式.

教學準備：多媒體課件

教學方法：情境導入，歸納應用。

教學過程

一、復習引入

學生活動：計算下列各式.

(1)2x+3x；(2)2X2-3X2+5X2；(3)x+2x+3y；(4)3a2-2a2+a3

教師點評：上面題目的結果，實際上是我們以前所學的同類項合

并.同類項合并就是字母不變，系數相加減.

二、探索新知

學生活動：計算下列各式.

(1)272+372(2)2V8-3V8+5V8

(3)幣+2幣+3(4)3V3-2V3+V2

老師點評：

(1)如果我們把〃當成x,不就轉化為上面的問題嗎？

272+372=(2+3)&=5上

(2)把一當成y；

278-378+578=(2-3+5)V8=4V8=8V2

(3)把S當成z；

V7+2V7+V9V7

=2/+2萬+3/=(1+2+3)汨=6幣

(4)6看為x,近看為y.

3百-26+C

=(3-2)V3+V2

=A/3+V2

因此，二次根式的被開方數相同是可以合并的，如2上與血表

面上看是不相同的，但它們可以合并嗎？可以的.

（板書）3V2+V8=3V2+2A/2=5V2

+后=3百+36=6G

所以，二次根式加減時，可以先將二次根式化成最簡二次根式，

?再將被開方數相同的二次根式進行合并.

例1.計算

(1)瓜+屈(2)V16x+V64x

分析：第一步，將不是最簡二次根式的項化為最簡二次根式；第

二步，將相同的最簡二次根式進行合并.

解：(1)78+718=272+372=(2+3)&=56

(2)J16x+J64x=46+8&=(4+8)&=12&

例2.計算

(1)3748-9^+3712

(2)(V48+V20)+(A/12-V5)

解：(1)3748-9^1+3712=1273-373+673=(12-3+6)6=156

(2)(V48+V20)+(V12-^)=V48+V20+V12-V5

=473+2V5+2>/3-V5=673+V5

三、鞏固練習

教材除練習1、2.

四、應用拓展

例3.已知4x2+y2-4x-6y+10=0,求(|-XA/9X+y2)-

(x2^-5x^)的值.

分析：本題首先將已知等式進行變形，把它配成完全平方式，得

(2X-1)2+(y-3)2=0,即乂=\y=3.其次，根據二次根式的加減運

2

算，先把各項化成最簡二次根式，?再合并同類二次根式，最后代入

求值.

解：V4x2+y2-4x-6y+10=0

4x2-4x+l+y2-6y+9=0

(2x-l)2+(y-3)2=0

/.x=-,y=3

2

原式=|x阮+y2帶X2〉+5XR

=2xVx+Vx+5^/^

=x4x^6y/xy

當x=Ly=3時，

2

原式=工義口+6，口=也+3庭

2V2V24

五、歸納小結

本節課應掌握：(1)不是最簡二次根式的，應化成最簡二次根

式；(2)相同的最簡二次根式進行合并.

六、布置作業

1.教材PK習題21.31、2、3、5.

2.課后作業:基訓

教學反思：

16.3二次根式的加減(2)

第二課時

教學內容

利用二次根式化簡的數學思想解應用題.

教學目標

知識與技能：運用二次根式、化簡解應用題.

過程與方法：通過復習，將二次根式化成被開方數相同的最簡二

次根式，進行合并后解應用題.

情感態度與價值觀：學會和他人分享交流。

重難點關鍵

講清如何解答應用題既是本節課的重點，又是本節課的難點、關

鍵點.

教學準備：多媒體課件。

教學方法：小組合作交流，應用提高。

教學過程

一、復習引入

上節課，我們已經講了二次根式如何加減的問題，我們把它歸為

兩個步驟：第一步，先將二次根式化成最簡二次根式；第二步，再將

被開方數相同的二次根式進行合并，下面我們講三道例題以做鞏固.

二、探索新知

例1.如圖所示的RtZ\ABC中，NB=90°,點P從點B開始沿BA

邊以1厘米/?秒的速度向點A移動；同時，點Q也從點B開始沿BC

邊以2厘米/秒的速度向點C移動.問：幾秒后aPBO的面積為35平

方厘米？PQ的距離是多少厘米？（結果用最簡二次根式表示）

c

ApB

分析：設x秒后△PBQ的面積為35平方厘米，那么PB=x,BQ=2x,

?根據三角形面積公式就可以求出x的值.

解：設x后^PISQ的面積為35平方厘米.

則有PB=x,BQ=2x

依題意,得：*2X=35

x2=35

x=V35

所以庖秒后△PBQ的面積為35平方厘米.

PQ=y]PB2+BQ2==席=J5x35=5/

答：后秒后△PBQ的面積為35平方厘米，PQ的距離為5萬厘

米.

例2.要焊接如圖所示的鋼架，大約需要多少米鋼材（精確到

0.1m)?

分析：此框架是由AB、BC、BD、AC組成，所以要求鋼架的鋼材,

?只需知道這四段的長度.

B

解：由勾股定理，得

AB=yjAD2+BD2=A/42+22=A/20=2V5

BC=y]BD2+CD2=V22+l2=#)

所需鋼材長度為

AB+BC+AC+BD

=275+75+5+2

=36+7

43X2.24+7-13.7(m)

答：要焊接一個如圖所示的鋼架，大約需要13.71n的鋼材.

三、鞏固練習

教材P16練習3

四、應用拓展

例3.若最簡根式"標拓與根式J2而2_。+6〃是同類二次根式,

求a、b的值.(?同類二次根式就是被開方數相同的最簡二次根式)

分析：同類二次根式是指幾個二次根式化成最簡二次根式后，被

開方數相同；?事實上，根式數和223+6反不是最簡二次根式,因此

把也評否必化簡成|b|?12a-b+6,才由同類二次根式的定義得

3a-*b=*2,2a-b+6=4a+3b.

解：首先把根式J2而2-力+6從化為最簡二次根式:

42曲-廿+6b2=:從(2&-l+6)=|b|?y/2a-b+6

4。+3人=2。一/7+6

由題意得《

3a—b=2

2a+4〃=6

3a-b=2

a=1,b=l

五、歸納小結

本節課應掌握運用最簡二次根式的合并原理解決實際問題.

六、布置作業

1.教材％習題21.37.

2.課后作業:基訓

教學反思：

16.3二次根式的加減⑶

第三課時

教學內容

含有二次根式的單項式與單項式相乘、相除；多項式與單項式相

乘、相除；多項式與多項式相乘、相除；乘法公式的應用.

教學目標

知識與技能：含有二次根式的式子進行乘除運算和含有二次根式

的多項式乘法公式的應用.

過程與方法：復習整式運算知識并將該知識運用于含有二次根式

的式子的乘除、乘方等運算.

情感態度與價值觀：學會知識間的類比，進一步體會數學學習方

法的重要性。

重難點

重點：二次根式的乘除、乘方等運算規律；

難點：由整式運算知識遷移到含二次根式的運算.

教學準備：多媒體課件。

教學方法：練習，小組合作。

教學過程

一、復習引入

學生活動：請同學們完成下列各題：

1.計算

(1)(2x+y)?zx(2)(2x2y+3xy2)4-xy

2.計算

(1)(2x+3y)(2x-3y)(2)(2x+l)2+(2xT)2

老師點評：這些內容是對八年級上冊整式運算的再現.它主要有

(1)?單項式X單項式；(2)單項式義多項式；(3)多項式+單項

式；(4)完全平方公式；(5)平方差公式的運用.

二、探索新知

如果把上面的x、y、z改寫成二次根式呢？以上的運算規律是否

仍成立呢？?仍成立.

整式運算中的x、y、z是一種字母，它的意義十分廣泛，可以代

表所有一切，?當然也可以代表二次根式，所以，整式中的運算規律

也適用于二次根式.

例1.計算：

(1)(76+78)*百(2)(4V6-3V2)+2也

分析：剛才已經分析，二次根式仍然滿足整式的運算規律，?所

以直接可用整式的運算規律.

解：(1)(V6+V8)X73=76XV3+V8X73

==

VT8+,243A/2+2V6

解：(45/6-3V2)+2亞.=4&+2亞亞.+26

=2斤。

2

例2.計算

(1)(V5+6)(3-V5)(2)(V10+V7)(V10-V7)

分析：剛才已經分析，二次根式的多項式乘以多項式運算在乘法

公式運算中仍然成立.

解：(1)(V5+6)(3-75)

=375~(Vs)2+18-6>/5

=13-375

(2)(V10+V7)(Vio-V7)=(Vio)2-(近)2

=10-7=3

三、鞏固練習

課本P”練習1、2.

四、應用拓展

例3.已知三心=2-二，其中a、b是實數，且a+b#0,

ab

化簡包.￡+忙I+巧,并求值.

yjX+1+\XX+T-X

分析：由于（而1+五）（同-?）=1,因此對代數式的化簡,

可先將分母有理化，再通過解含有字母系數的一元一次方程得到x的

值，代入化簡得結果即可.

解，原式=____(Jx+1_____+_____(Jx+1+4)~_____

(JX+1+Vx)(VX+1—V%)(JX+1—+1+y/~X)

-_-(-J--x--+--1--—--V--x--)"-I?--(-J--x--+--1--+--V--x--)--

(x+l)-x(X+1)-X

-(x+1)+x~~2Jx(x+1)+x+2Jx(x+1)

=4x+2

.?x-b=2—x~a

ab

b(x-b)=2ab-a(x-a)

I.bx-b2=2ab-ax+a2

(a+b)x=a2+2ab+b2

I.(a+b)x=(a+b)2

Va+b^0

/.x=a+b

原式=4x+2=4(a+b)+2

五、歸納小結

本節課應掌握二次根式的乘、除、乘方等運算.

六、布置作業

1.教材％習題21.31、8、9.

2.課后作業:基訓。

教學反思：

二次根式復習課

教學目標

知識與技能：1.使學生進一步理解二次根式的意義及基本性質，并

能熟練地化簡含二次根式的式子；

2.熟練地進行二次根式的加、減、乘、除混合運算.

過程與方法：在復習過程中，體會知識的連貫性，以及提高對知識的

應用能力。

情感態度與價值觀：感受數學的實用價值，提高解決問題的能力。

教學重點和難點

重點：含二次根式的式子的混合運算.

難點：綜合運用二次根式的性質及運算法則化簡和計算含二次根式的

式子.

教學準備：多媒體課件。

教學方法：歸納總結，練習提高。

教學過程設計

一、復習

1.請同學回憶二次根式有哪些基本性質？用式子表示出來，并說明

各式成立的條件.

指出：二次根式的這些基本性質都是在一定條件下才成立的，主要

應用于化簡二次根式.

2.二次根式的乘法及除法的法則是什么？用式子表示出來.

指出：二次根式的乘、除法則也是在一定條件下成立的.把

兩個二次根式相除，

先寫成分式形式，即、質+、反=今，再運用二次根式的除法法則進行計算，計算,

計算結果要把分母有理化.

3.在二次根式的化簡或計算中，還常用到以下兩個二次根

式的關系式：

⑴a=(、局2缶蕓0)；(2)|a|=7?.

4.在含有二次根式的式子的化簡及求值等問題中，常運用

三個可逆的式子：

⑴/)2=a(a,O)與a=(6)2(a)0)；

(2)^b=Va>7b(a^0,b》0)與7b=Vab(a^O,b》0)；

(3)、(=(a)0,b〉0)與一^=,C(a》O,b>0).

例如，化簡，，可以用3種方法：

⑴直接約分卜察二行

⑵分母有理化缶緇=立

(3)看作二次根式的除法，==、療.

5.■不一定能化成6局七

當a20時，如(石〉2="=(石尸，(Jo)2=Vo7-(VO)2,此時，

=(、?)?,當a<0時，正2尸=厲=(防,但無意義，所以］(-2尸卉(PA，此

時'好"中(石尸.

二、例題

例1X取什么值時，下列各式在實數范圍內有意義：

(1)V3-x+Jx-2；(2)-~~-y=;

/4-0

⑶每'+、卜2x；(4)二一.

3x

分析：

(1)題是兩個二次根式的和，x的取值必須使兩個二次根式

都有意義；

(2)題中，式子的分母不能為零，即x不能取使1-必=0的值；

(3)題是兩個二次根式的和，x的取值必須使兩個二次根式

都有意義;

(4)題的分子是二次根式，分母是含x的單項式，因此x

的取值必須使二次根式有意義，同時使分母的值不等于零.

解(1)要使J3-X有意義,必須3-x>0,即x43i要使Jx-2有意義,必須x-2>0,

即x>2.所以使式子j3-x+Jx-2有意義的腿為24K3.

(2)因為1.值=1.國,當乂=±1時，Mx|=O,原式沒有意義，所以當xH土1時,

2x

式子有意義.

1-

(3)因為使必有意義的x值為x>0,使下云有意義的那值為x40,所以使、②F

+J-2x有意義的嫌為x=0.

(4)因為使衣較有意義的x取值為x+