2.3動能定理及應用學習目標核心提煉1.能從牛頓第二定律與運動學公式導出動能定理，理解動能定理的物理意義。1個定理——動能定理1個應用——應用動能定理解決簡單的問題2.能應用動能定理解決簡單的問題。[觀圖助學]如圖所示，滑雪運動員從山坡上加速滑下，運動員的動能怎樣變化？有哪些力對運動員做了功？這些力對運動員做的功與運動員的動能的變化有什么關系？動能定理1.推導：合力對物體所做功與動能變化的關系。如圖所示，質量為m的物體，在一恒定拉力F作用下，以初速度v1開始沿水平面運動，經位移s后速度增加到v2，已知物體與水平面的摩擦力恒為f。(1)外力做的總功：W＝(F－f)s。(2)由牛頓第二定律得：F－f＝ma。(3)由運動學公式得：s＝eq\f(veq\o\al(2,2)－veq\o\al(2,1),2a)。由以上式子求得：W＝eq\f(1,2)mveq\o\al(2,2)－eq\f(1,2)mveq\o\al(2,1)。2.內容：合力對物體所做的功等于物體動能的變化。3.表達式：W＝Ek2－Ek1。4.適用范圍：既適用于恒力做功，也適用于變力做功。既適用于直線運動，也適用于曲線運動。[理解概念]判斷下列說法是否正確。(1)合外力為零，物體的動能一定不會變化。(√)(2)合外力不為零，物體的動能一定會變化。(×)(3)物體動能增加，則它的合外力一定做正功。(√)(4)合外力對物體做負功，物體的動能可能不變。(×)動能定理的理解[觀察探究]殲－15戰機是我國自主研發的第一款艦載戰斗機，如圖1所示。圖1(1)殲－15戰機起飛時，合力對戰機做什么功？戰機動能怎么變化？(2)殲－15戰機著艦時，戰機動能怎么變化？合力對戰機做什么功？增加阻攔索的原因是什么？答案(1)合力做正功。動能變大。(2)動能減小。合力做負功。對戰機做負功更多，讓戰機盡快停下來。[探究歸納]1.對動能定理的理解(1)Ek2＝eq\f(1,2)mveq\o\al(2,2)表示這個過程的末動能；Ek1＝eq\f(1,2)mveq\o\al(2,1)表示這個過程的初動能。(2)W表示這個過程中合力做的功，它等于各力做功的代數和。2.物理意義：動能定理指出了合力對物體所做的總功與物體動能變化之間的關系，即：若合力做正功，物體的動能增加，若合力做負功，物體的動能減小，做了多少功，動能就變化多少。3.實質：動能定理從能量變化的角度反映了力改變運動的狀態時，在空間上的累積效果。[試題案例][例1]下列關于運動物體的合外力做功和動能、速度變化的關系，正確的是()A.物體做變速運動，合外力一定不為零，動能一定變化B.若合外力對物體做功為零，則合外力一定為零C.物體的合外力做功，它的速度大小一定發生變化D.物體的動能不變，所受的合外力必定為零解析力是改變物體速度的原因，物體做變速運動時，合外力一定不為零，但合外力不為零時，做功可能為零，動能可能不變，A、B錯誤；物體的合外力做功，它的動能一定變化，速度大小也一定變化，C正確；物體的動能不變，所受合外力做功一定為零，但合外力不一定為零，D錯誤。答案C[針對訓練1](多選)質點在恒力作用下，從靜止開始做勻加速直線運動，則質點的動能()A.與它通過的位移成正比B.與它通過的位移的平方成正比C.與它運動的時間成正比D.與它運動的時間的平方成正比解析由動能定理得Fs＝eq\f(1,2)mv2，運動的位移s＝eq\f(1,2)at2，質點的動能在恒力F一定的條件下與質點的位移成正比，與質點運動的時間的平方成正比，故A、D正確。答案AD動能定理的應用[觀察探究]如圖2所示，物體(可視為質點)從長為L、傾角為θ的光滑斜面頂端由靜止滑下。圖2(1)物體受幾個力作用？各做什么功？怎么求合力的功？(2)如何求物體到達斜面底端時的速度大小？能用多種方法求解物體到達斜面底端時的速度大小嗎？哪種方法簡單？答案(1)物體受重力、支持力兩個力的作用，如圖所示。N不做功，重力做正功，W合＝WG＝mgLsinθ。(2)方法1：物體沿斜面下滑時a＝gsinθ由v2＝2aL得v＝eq\r(2gLsinθ)方法2：由動能定理得mgLsinθ＝eq\f(1,2)mv2所以v＝eq\r(2gLsinθ)方法2簡單。[探究歸納]1.動力學問題兩種解法的比較牛頓運動定律、運動學公式結合法動能定理適用條件只能研究在恒力作用下物體做直線運動的情況對于物體在恒力或變力作用下，物體做直線運動或曲線運動均適用應用方法要考慮運動過程的每一個細節只考慮各力的做功情況及初、末狀態的動能運算方法矢量運算代數運算相同點確定研究對象，對物體進行受力分析和運動過程分析兩種思路對比可以看出應用動能定理解題不涉及加速度、時間，運算簡單，不易出錯。2.應用動能定理解題的步驟(1)確定研究對象和研究過程(研究對象一般為單個物體或相對靜止的物體組成的系統)。(2)對研究對象進行受力分析(注意哪些力做功或不做功)。(3)確定合外力對物體做的功(注意功的正負)。(4)確定物體的初、末動能(注意動能增量是末動能減初動能)。(5)根據動能定理列式、求解。[試題案例][例2](2018·佛山高一檢測)如圖3所示，物體在離斜面底端5m處由靜止開始下滑，然后滑上與斜面平滑連接的水平面，若物體與斜面及水平面間的動摩擦因數均為0.4，斜面傾角為37°。求物體能在水平面上滑行的距離(sin37°＝0.6，cos37°＝0.8)。圖3解析對物體在斜面上和水平面上受力分析如圖所示。方法一分過程列方程：設物體滑到斜面底端時的速度大小為v，物體下滑階段N1＝mgcos37°，故f1＝μN1＝μmgcos37°。由動能定理得mgs1sin37°－μmgs1cos37°＝eq\f(1,2)mv2－0設物體在水平面上滑行的距離為s2，摩擦力f2＝μN2＝μmg由動能定理得－μmg·s2＝0－eq\f(1,2)mv2由以上各式可得s2＝3.5m。方法二全過程列方程mgs1sin37°－μmgs1cos37°－μmg·s2＝0得s2＝3.5m。答案3.5m1.動能定理應用中的研究對象一般為單個物體。2.動能定理的研究過程既可以是運動過程中的某一階段，也可以是運動全過程。3.通常情況下，某問題若涉及時間或過程的細節，要用牛頓運動定律去解決；某問題若不考慮具體細節、狀態或時間，如物體做曲線運動、受力為變力等情況，一般要用動能定理去解決。[針對訓練2]如圖4所示，物體從高h的斜面頂端A由靜止滑下，到斜面底端后又沿水平面運動到C點而停止。要使這個物體從C點沿原路返回到A，則在C點處物體應具有的速度大小至少是()圖4A.eq\r(2gh) B.2eq\r(gh)C.eq\r(gh) D.eq\r(3gh)解析從A→C由動能定理得mgh－Wf＝0，從C→A有－mgh－Wf＝0－eq\f(1,2)mveq\o\al(2,0)，故C點速度v0＝2eq\r(gh)。答案B巧用動能定理求變力做功利用動能定理求變力做功通常有以下兩種情況：(1)如果物體只受到一個變力的作用，那么W＝Ek2－Ek1。只要求出做功過程中物體的動能變化量ΔEk，也就等于知道了這個過程中變力所做的功。(2)如果物體同時受到幾個力作用，但是其中只有一個力F1是變力，其他的力都是恒力，則可以先用恒力做功的公式求出這幾個恒力所做的功，然后再運用動能定理來間接求變力做的功：W1＋W其他＝ΔEk。【針對練習】如圖5所示，質量m＝60kg的高山滑雪運動員，從A點由靜止開始沿滑道滑下，然后由B點水平飛出，最后落在斜坡上的C點。已知BC連線與水平方向夾角θ＝37°，A、B兩點間的高度差為hAB＝25m，B、C兩點間的距離為L＝75m(不計空氣阻力，g取10m/s2，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8)，求：圖5(1)運動員從B點飛出時的速度vB的大小；(2)運動員從A滑到B的過程中克服摩擦力所做的功。解析(1)設由B到C平拋運動的時間為t豎直方向：hBC＝Lsin37°＝eq\f(1,2)gt2水平方向：Lcos37°＝vBt代入數據，解得vB＝20m/s。(2)A到B過程由動能定理有mghAB＋Wf＝eq\f(1,2)mveq\o\al(2,B)代入數據，解得Wf＝－3000J，運動員克服摩擦力所做的功為3000J。答案(1)20m/s(2)3000J1.(對動能定理的理解)有一質量為m的木塊，從半徑為r的圓弧曲面上的a點滑向b點，如圖6所示。如果由于摩擦使木塊的運動速率保持不變，則以下敘述正確的是()圖6A.木塊所受的合外力為零B.因木塊所受的力都不對其做功，所以合外力做的功為零C.重力和摩擦力的合力做的功為零D.重力和摩擦力的合力為零解析物體做曲線運動，速度方向變化，加速度不為零，故合外力不為零，A錯誤；速率不變，動能不變，由動能定理知，合外力做的功為零，而支持力始終不做功，重力做正功，所以重力做的功與摩擦力做的功的代數和為零，但重力和摩擦力的合力不為零，C正確，B、D錯誤。答案C2.(動能定理的應用)(多選)質量為m的物體，從靜止開始以a＝eq\f(1,2)g的加速度豎直向下運動h米，下列說法中正確的是()A.物體的動能增加了eq\f(1,2)mghB.物體的動能減少了eq\f(1,2)mghC.物體的勢能減少了eq\f(1,2)mghD.物體的勢能減少了mgh解析物體的合力為ma＝eq\f(1,2)mg，向下運動h米時合力做功eq\f(1,2)mgh，根據動能定理物體的動能增加了eq\f(1,2)mgh，A正確，B錯誤；向下運動h米過程中重力做功為mgh，物體的勢能減少了mgh，D正確，C錯誤。答案AD3.(動能定理的應用)如圖7所示，質量相等的物體A和物體B與地面間的動摩擦因數相等，在力F的作用下，一起沿水平地面向右移動s，則()圖7A.摩擦力對A、B做功相等B.A、B動能的增量相同C.F對A做的功與F對B做的功相等D.合外力對A做的功與合外力對B做的功不相等解析因F斜向下作用在物體A上，A、B受到的摩擦力不相同，因此，摩擦力對A、B做的功不相等，選項A錯誤；A、B兩物體一起運動，速度始終相同，故A、B動能的增量一定相同，選項B正確；F不作用在B上，因此力F對B不做功，選項C錯誤；合外力對物體做的功應等于物體動能的增量，選項D錯誤。答案B4.(動能定理的應用)如圖8所示，右端連有一個光滑弧形槽的水平桌面AB長L＝1.5m，一個質量為m＝0.5kg的木塊在F＝1.5N的水平拉力作用下，從桌面上的A端由靜止開始向右運動，木塊到達B端時撤去拉力F，木塊與水平桌面間的動摩擦因數μ＝0.2，取g＝10m/s2。求：圖8(1)木塊沿弧形槽上升的最大高度(木塊未離開弧形槽)；(2)木塊沿弧形槽滑回B端后，在水平桌面上滑動的最大距離。解析(1)設木塊沿弧形槽上升的最大高度為h，木塊在最高點時的速度為零。從木塊開始運動到弧形槽最高點，由動能定理得FL－fL－mgh＝0其中f＝μN＝μmg＝0.2×0.5×10N＝1.0N所以h＝eq\f(FL－fL,mg)＝eq\f(（1.5－1.0）×1.5,0.5×10)m＝0.15m(2)設木塊離開B點后沿桌面滑動的最大距離為x。由動能定理得mgh－fx＝0所以x＝eq\f(mgh,f)＝eq\f(0.5×10×0.15,1.0)m＝0.75m答案(1)0.15m(2)0.75m合格性檢測1.關于動能定理，下列說法中正確的是()A.在某過程中，動能的變化等于各個力單獨做功的絕對值之和B.只要有力對物體做功，物體的動能就一定改變C.動能定理只適用于直線運動，不適用于曲線運動D.動能定理既適用于恒力做功的情況，也適用于變力做功的情況解析動能的變化等于各個力單獨做功的代數和，A錯誤；根據動能定理，決定動能是否改變的是總功，而不是某一個力做的功，B錯誤；動能定理既適用于直線運動，也適用于曲線運動，既適用于恒力做功的情況，也適用于變力做功的情況，C錯誤，D正確。答案D2.(多選)一物體做變速運動時，下列說法正確的有()A.合外力一定對物體做功，使物體動能改變B.物體所受合外力一定不為零C.合外力一定對物體做功，但物體動能可能不變D.物體加速度一定不為零解析物體的速度發生了變化，則合外力一定不為零，加速度也一定不為零，B、D正確；物體的速度變化，可能是大小不變，方向變化，故動能不一定變化，合外力不一定做功，A、C錯誤。答案BD3.(多選)甲、乙兩個質量相同的物體，用大小相等的力F分別拉它們在水平面上從靜止開始運動相同的距離s。如圖1所示，甲在光滑面上，乙在粗糙面上，則下列關于力F對甲、乙兩物體做的功和甲、乙兩物體獲得的動能的說法中正確的是()圖1A.力F對甲物體做功多B.力F對甲、乙兩個物體做的功一樣多C.甲物體獲得的動能比乙大D.甲、乙兩個物體獲得的動能相同解析由功的公式W＝Fscosα可知，兩種情況下力F對甲、乙兩個物體做的功一樣多，A錯誤，B正確；根據動能定理，對甲有Fs＝Ek1，對乙有Fs－fs＝Ek2，可知Ek1＞Ek2，即甲物體獲得的動能比乙大，C正確，D錯誤。答案BC4.(2018·湛江高一檢測)兩個物體A、B的質量之比為mA∶mB＝2∶1，二者初動能相同，它們和水平桌面間的動摩擦因數相同，則二者在桌面上滑行到停止經過的距離之比為(忽略空氣阻力的影響)()A.sA∶sB＝2∶1 B.sA∶sB＝1∶2C.sA∶sB＝4∶1 D.sA∶sB＝1∶4解析物體滑行過程中只有摩擦力做功，根據動能定理，對A有－μmAgsA＝0－Ek；對B有－μmBgsB＝0－Ek，故eq\f(sA,sB)＝eq\f(mB,mA)＝eq\f(1,2)，B正確。答案B5.在籃球比賽中，某位同學獲得罰球機會，他站在罰球線處用力將籃球投出，籃球約以1m/s的速度撞擊籃筐。已知籃球質量約為0.6kg，籃筐離地高度約為3m，該同學身高約為1.5m，忽略籃球受到的空氣阻力，則該同學罰球時對籃球做的功最接近(g取10m/s2)()A.1J B.10JC.50J D.100J解析對整個過程運用動能定理得W－mgh＝eq\f(1,2)mv2－0，代入數據解得W＝mgh＋eq\f(1,2)mv2＝0.6×10×1.5J＋eq\f(1,2)×0.6×12J＝9.3J，最接近10J，選項B正確。答案B6.物體在合外力作用下做直線運動的v－t圖象如圖2所示，下列表述正確的是()圖2A.在0～1s內，合外力做正功B.在0～2s內，合外力總是做負功C.在1～2s內，合外力不做功D.在0～3s內，合外力總是做正功解析由v－t圖知0～1s內，v增加，動能增加，由動能定理可知合外力做正功，A正確；1～2s內v減小，動能減小，合外力做負功，0～3s內，合外力做功為零，可見B、C、D錯誤。答案A7.(多選)某人用手將1kg的物體由靜止向上提起1m，這時物體的速度為2m/s(g取10m/s2)，則下列說法正確的是()A.手對物體做功12JB.合力做功2JC.合力做功12JD.物體克服重力做功10J解析WG＝－mgh＝－10J，D正確；由動能定理W合＝ΔEk＝eq\f(1,2)mv2－0＝2J，B正確，C錯誤；又因W合＝W手＋WG，故W手＝W合－WG＝12J，A正確。答案ABD等級性檢測8.(2018·揭陽高一檢測)(多選)如圖3甲所示，斜面AB與水平面BC是由同種材料制成的。質量相等的可視為質點的a、b兩物塊，從斜面上的同一位置A由靜止開始下滑，經B點在水平面上滑行一段時間后停止。不計經過B點時的能量損失，用傳感器采集到它們的速度—時間圖象如圖乙所示，則由上述信息判斷下列說法正確的是()圖3A.在斜面上滑行的加速度，物塊a比物塊b的小B.在水平面上滑行的距離，物塊a比物塊b的大C.與斜面間的動摩擦因數，物塊a比物塊b的小D.在整個運動過程中克服摩擦力做的功，物塊a比物塊b多解析由圖象可以看出在斜面上滑動時aa>ab，選項A錯誤；根據圖象與時間軸所夾面積可知在水平面滑行時，xa>xb，選項B正確；在斜面上運動，受力分析有mgsinθ－μmgcosθ＝ma，解得μ＝eq\f(gsinθ－a,gcosθ)，因aa>ab，所以μa<μb，選項C正確；整個過程由動能定理得mgh－Wf＝0，解得Wf＝mgh，選項D錯誤。答案BC9.如圖4所示，一質量為m的質點在半徑為R的半球形容器中(容器固定)由靜止開始自邊緣上的A點滑下，到達最低點B時，它對容器的正壓力為N。重力加速度為g，則質點自A滑到B的過程中，摩擦力對其所做的功為()圖4A.eq\f(1,2)R(N－3mg) B.eq\f(1,2)R(3mg－N)C.eq\f(1,2)R(N－mg) D.eq\f(1,2)R(N－2mg)解析質點到達最低點B時，它對容器的正壓力為N，根據牛頓第二定律有N－mg＝meq\f(v2,R)，根據動能定理，質點自A滑到B的過程中有Wf＋mgR＝eq\f(1,2)mv2，故摩擦力對其所做的功Wf＝eq\f(1,2)RN－eq\f(3,2)mgR，故A項正確。答案A10.(多選)如圖5甲所示，質量m＝2kg的物體以100J的初動能在粗糙的水平地面上滑行，其動能Ek隨位移s變化的關系圖象如圖乙所示，則下列判斷中正確的是()圖5A.物體運動的總位移大小為10mB.物體運動的加速度大小為10m/s2C.物體運動的初速度大小為10m/sD.物體所受的摩擦力大小為10N解析由圖象可知，物體運動的總位移大小為10m，根據動能定理得－fs＝0－Ek0，解得f＝eq\f(Ek0,s)＝eq\f(100,10)N＝10N，故A、D正確；根據牛頓第二定律得，物體的加速度大小為a＝eq\f(f,m)＝eq\f(10,2)m/s2＝5m/s2，故B錯誤；