-.z.三重積分和多重積分方法在第三節(jié)中我們討論了二重積分，本節(jié)將之推廣到一般的n維空間中去.類似于第三節(jié),我們先定義一個R3中集合的可求體積性.同樣可以給出一列類似的結(jié)論.讀者自己推廣.這里將不再贅述.引例設(shè)一個物體在空間R3中占領(lǐng)了一個有界可求體積的區(qū)域，它的點密度為，現(xiàn)在要求這個物體的質(zhì)量．假設(shè)密度函數(shù)是有界的連續(xù)函數(shù)，可以將區(qū)域分割為假設(shè)干個可求體積的小區(qū)域，其體積分別是，直徑分別是，即,(i=1,2,…,n〕,|WQ|表示W(wǎng),Q兩點的距離．設(shè)，則當很小時，在上的變化也很小．可以用這個小區(qū)域上的任意一點的密度來近似整個小區(qū)域上的密度，這樣我們可以求得這個小的立體的質(zhì)量近似為，所有這樣的小的立體的質(zhì)量之和即為這個物體的質(zhì)量的一個近似值．即．當時，這個和式的極限存在，就是物體的質(zhì)量．即．從上面的討論可以看出，整個求質(zhì)量的過程和求曲頂柱體的體積是類似的，都是先分割，再求和，最后取極限．所以我們也可以得到下面一類積分．三重積分的定義設(shè)是空間中的一個有界可求體積的閉區(qū)域V上的有界函數(shù)，將V任意分割為假設(shè)干個可求體積的小閉區(qū)域，這個分割也稱為V的分劃，記為P:.(空,),其體積分別是，直徑分別是．設(shè),或記為||P||.在每個小區(qū)域中任意取一點，作和(稱為Riemann和)，假設(shè)當時，這個和式的極限存在，則稱其極限為函數(shù)在區(qū)域上的三重積分，記為．并稱函數(shù)在區(qū)域上可積．稱為被積函數(shù),*,y,z稱為積分變量.,V稱為積分區(qū)域.特別地，在直角坐標系下，可以記為．我們同樣可以引入Darbou*大,小和來判別可積,也有同樣的結(jié)論(略).1.假設(shè)是有界閉區(qū)域上的連續(xù)函數(shù)，則函數(shù)在區(qū)域上可積．2.假設(shè)=1時,的體積.3.假設(shè)在有界閉區(qū)域上的連續(xù)點集合是0體積時,在可積.三重積分有著與二重積分類似的性質(zhì)．下面簡單表達一下．可積函數(shù)的和〔或差〕及積仍可積.和〔差〕的積分等于積分的和(差)．可積函數(shù)的函數(shù)倍仍可積.其積分等于該函數(shù)積分的倍．設(shè)是可求體積的有界閉區(qū)域，在上可積，分為兩個無共同內(nèi)點的可求體積的閉區(qū)域之并，則在上可積，并有．等等.三重積分的計算方法同二重積分一樣,我們這里給出三重積分的計算方法,理論上的證明讀者自己完成..利用直角坐標系計算三重積分先給一個結(jié)論.定理12.14假設(shè)函數(shù)是長方體V=[a,b]×[c,d]×[e,h]上的可積,記D=[c,d]×[e,h],對任意*∈[a,b],二重積分存在,則(記為)也存在,且.這時右邊稱為三次積分或累次積分,即三重積分化為三次積分.證明分別中[a,b],[c,d],[e,h]插入假設(shè)干個分點;;作平面,,,(i=0,1,2,…,n;,ji=0,1,2,…,m;k=0,1,2,…,s,)得到V的一個分劃P.令(i=1,2,…,n;,ji=1,2,…,m;k=1,2,…,s,),,分別是在上的上,下確界.則在上有其中Δ*i,=*i-*i-1,Δyj,=yj-yj-1,Δzk,=zk-zk-1,(i=1,2,…,n;,ji=1,2,…,m;k=1,2,…,s,).因可積，所以當||P||趨于0時，Darbou*大,小和趨于同一數(shù)，即三重積分.z*y故定理得證.z*yhz*hz*yDz如果V如右圖,Dzz*z*ye≤z≤h,z=z與Vz*z*y面積為Dz,ez*ez*y圖12-4-1y圖12-4-1y**y不難得到,假設(shè)函數(shù)在V上的可積,則.下面給出一般三重積分的具體計算方法，理論證明讀者可參照二重積分自己完成．設(shè)函數(shù)在有界閉區(qū)域上連圖12-4-2圖12-4-2續(xù)，我們先討論一種比較特殊的情況．，其中為在平面上的投影，且．如圖1２．我們現(xiàn)在軸上做積分，暫時將看成是常數(shù)．把函數(shù)看作是的函數(shù)，將它在區(qū)間上積分得到．顯然這個結(jié)果是的函數(shù)，再把這個結(jié)果在平面區(qū)域上做二重積分．在利用二重積分的計算公式便可以得到所要的結(jié)果．假設(shè)平面區(qū)域可以用不等式表示，則．這個公式也將三重積分化為了三次積分．如果積分區(qū)域是其他的情形，可以用類似的方法計算．例1計算三重積分，其中是由三個坐標面和平面所圍的立體區(qū)域．解積分區(qū)域如下列圖，可以用不等式表示為，所以積分可以化為圖12-4-3圖12-4-3四、三重積分的積分變換和二重積分的積分變換一樣，有如下的結(jié)果:定理12.15設(shè)V是uvw空間R3中的有界可求體積的閉區(qū)域，T：*=*(u,v,w),y=y(u,v,w),z=z(u,v,w),是V到*yz空間R3中的一一映射，它們有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，并且(稱為Jacobi).如果f(*,y,z)是T(V)上的可積函數(shù)，則在R3中有兩種重要的變換柱面坐標和球面坐標.1.利用柱面坐標計算三重積分前面我們可以看到，由于積分區(qū)域與被積函數(shù)的特點，二重積分可以用極坐標來計算．同樣對于三重積分可以用柱面坐標和球面坐標計算．我們先討論用柱面坐標來計算三重積分．設(shè)空間中有一點，其在坐標面上的投影點的極坐標為，這樣三個數(shù)就稱為點的柱面坐標〔如圖12-4-4〕．zzMM(*,y,z)yyMM’**圖12-4-5圖12-4-4圖12-4-5圖12-4-4這里規(guī)定三個變量的變化范圍是，注意到，當常數(shù)時，表示以軸為中心軸的一個柱面．當=常數(shù)時，表示通過軸，與平面的夾角為的半平面．當常數(shù)時，表示平行于平面，與平面距離為的平面．空間的點的直角坐標與柱面坐標之間的關(guān)系,即是R3到R3的映射:．所以其Jacobi為故容易得到:如果f(*,y,z)是R3中的有界可求體積的閉區(qū)域V上的可積函數(shù),則,其中,變換前后區(qū)域都用V表示.我們也可以從幾何直觀的意義來描述這個公式的由來.用三組坐標面將積分區(qū)域劃分為假設(shè)干個小區(qū)域，考慮其中有代表性的區(qū)域，如圖12-4-5所示的區(qū)域可以看成是由底面圓半徑為兩個圓柱面，極角為的兩個半平面，以及高度為的兩個平面所圍成的．它可以近似的看作一個柱體，其底面的面積為，高為．所以其體積為柱面坐標下的體積元素，即．再利用兩種坐標系之間的關(guān)系，可以得到．在柱面坐標下的三重積分的計算也是化為三次積分．例2計算三重積分，其中是由橢圓拋物面和平面所圍成的區(qū)域．解如下列圖，積分區(qū)域在坐標面上的投影是一個圓心在原點的單位圓．所以．于是圖12-4-6圖12-4-62．利用球面坐標計算三重積分我們知道球面坐標用數(shù)來表示空間的一個點．設(shè)有直角坐標系的空間點，點在坐標面上的投影，其中，為軸到射線轉(zhuǎn)角．為向量與軸的夾角．如圖12-4-7．規(guī)定三個變量的變化范圍是．我們可以看到，注意到，當常數(shù)時，表示以原點為球心的球面．當=常數(shù)時，表示通過軸的半平面．M’當常數(shù)時，表示以原點為頂點，軸為中心的錐面．M’兩種坐標系之間的關(guān)系如下：圖12-4-7．圖12-4-7即又是一個即是R3到R3的映射.它的Jacobi是由一般的重積分變換公式容易得到:如果f(*,y,z)是R3中的有界可求體積的閉區(qū)域V上的可積函數(shù),則,其中,變換前后區(qū)域都用V表示.用幾何直觀的意義可以如下理解:f(*,y,z)閉區(qū)域V上的可積函數(shù).用三組坐標常數(shù)，常數(shù)，常數(shù)，將積分區(qū)域V劃分為假設(shè)干個小的區(qū)域.考慮其中有代表性的區(qū)域，此小區(qū)域可以看成是有半徑為的球面，極角為和的半平面，與中心軸夾角為和的錐面所圍成，它可以近似的看作邊長分別是的小長方體，從而得到球面坐標系下的體積元素為．再由直角坐標系與球面坐標之間的關(guān)系，可以得到下面的公式．例3計算三重積分，其中是右半球面所圍成的區(qū)域．解在球面坐標下，積分區(qū)域可以表示為所以與二重積分,三重積分一樣可以定義一般n重積分.我們這里只是簡單介紹.當V是Rn中的有界閉區(qū)域.依照可求面積的方法定義V的可求"體積〞或可測(略).設(shè)f(*1,*2,,…,*n,)是Rn中的有界可測閉區(qū)域V上的函數(shù),任取V的分劃P,,即把分成假設(shè)干個可測小區(qū)域,它們的〞體積〞或測度分別記為,當令,表示兩點的距離,,對任取,如果存在,稱f(*1,*2,,…,*n,)是V上的可積函數(shù).其極限值稱為f(*1,*2,,…,*n,)在V上的n重積分,記為或.特別當V=[a1,b1]×[a2,b2]×…×[an,bn]時,.假設(shè)V上有一一映射T，其每個分量的函數(shù)有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，當V是有界可測區(qū)域，f(*1,*2,,…,*n,)在T(V)上可積，并且Jacobi則.特別是Rn中的球坐標變換T:……,,,在Rn中,這時的Jacobi是。同樣可以得到相應(yīng)的公式.例4求.解用球坐標.這時,,,其中從而有.習(xí)題12-41.設(shè)有物體占有空間V:0≤*≤1,0≤y≤1,0≤z≤1,在點的密度是,求該物質(zhì)量.2.計算,其中V是曲面與平面和所圍成的閉區(qū)域．3.計算,其中V是平面所圍成的四面體．4.計算,其中