二次根式單元提優專項訓練一、選擇題提2『lLL-= 提2『lLL-= D.\;2+\.'3=<5卒()(a2+b2)2=a2+b2TOC\o"1-5"\h\zA.\：'（-5%=-5B.v；4y=2y C..對于所有實數a,b,下列等式總能成立的是A.（a+\，b）=a+b B.C.aa2+b2=a+b D..下列計算正確的是（ ）A.<3+\；2=<5 B.C.<3XJ2=6 D..計算％27^33+\2-X<6一（\/3）2的結果正確的是（ ）A.J3 B.3 C.6 D.3—33.對于已知三角形的三條邊長分別為a,b,。，求其面積的問題，中外數學家曾經進行過深入研究,古希臘的幾何學家海倫給出求其面積的海倫公式：a a+b+cS=\：'P（P—a）（p—b）（p—c），其中p=-2-，若一個三角形的三邊長分別為2,3,4,則其面積（）A.—X115 B.—Y15 C.—<5 D.-*5TOC\o"1-5"\h\zl, I".已知實數x,y滿足（x-■、:x2-2008）（y-\?y2-2008）=2008,則3x2-2y2+3x-3y-2007的值為（ ）A.-2008 B.2008 C.-1 D.1.關于V12的下列說法中錯誤的是（ ）A.<12是12的算術平方根 B.3<<12<4C.<12不能化簡 D.<12是無理數.下列二次根式中，與V3是同類二次根式的是（ ）A.<18 B.13 C. v'24 D. J03.已知最簡二次根式*必二3與而是同類二次根式，則a的值是（）A.2 B. 1 C. 3 D. 1或3.下列計算正確的是（）

A. 21+ 33 = <5 B. 2\；3 — V13 =2 C. \2l》=2 D. 3'9=3.在式子\2x（（X>0）,<2,\:yn（y=—2）,、,匚2X（x>0）,瓜｛E,x+y中，二次根式有（）A.2個 B. 3個 C. 4個 D. 5個.已知，x+y=-5,孫=3則x^X+y、；y的結果是（）A.2<3 B. -2^3 C. 3人 D. —3四二、填空題.實數a、b滿足、:a2-4a+4+<36-120+0?=10-|b+4|-|b-2|,則a2+b2的最大值為.甲容器中裝有濃度為a的果汁U^kg，乙容器中裝有濃度為b的果汁、?：90kg，兩個容器都倒出mkg,把甲容器倒出的果汁混入乙容器，把乙容器倒出的果汁混入甲容器，混合后，兩容器內的果汁濃度相同，則m的值為.把段根號外的因式移入根號內,得___.Ja2+2a+2-1的最小值是.一， 1r… 1 1 ,,一0.已知1<x<2,x+—7=7，則x--1-；——的的值是 .X-1 V--1.有一列數，3,娓,3,2道,岳, ,則第100個數是.已知a 4，化簡：《(a+3)2-12-a1=..若J3的整數部分是a,小數部分是b,則oa-b=.三、解答題21.因為先閱讀材料,再回答問題：321.因為先閱讀材料,再回答問題：3T)('2+1)=1，所以*=瑟-1；因為腹Y)(：3+、Q)=1,所以3=忑72；因為（4-、；3）（?4+；3）=1，所以 =<4-<33=忑72；因為44+331⑴以此類推忑*1⑴以此類推忑*1，n++1+nn11 1⑵請用你發現的規律計算式子n+看不+…+60K的值.【答案】(1)=5-v4，<n+1-<n；(2)9【分析】

（1）仿照例子，由（5-%'4）（5+國）=F可得57,：4的值；由F1可得^—〒的值;V++<1可得^—〒的值;V++<（2）根據（1）中的規律可將每個二次根式分母有理化，可轉化為實數的加減法運算，再尋求規律可得答案.【詳解】解：（1）因為建「/4）（.5+解：（1）因為建「/4）（.5+戶）=? 1 -_1,所以377T?5-<4；因為1，所以. 二 =二*:n+1-Jn；V++V（2）已知a（2）已知a、b是實數，且d2a+6+b-V2=0.求a、b的值故答案為：<5-<4;v,n+1—\.''n；1 1 1(2)<271++…+<1007<99二%；,2—1+3——%；2+%,14—v'3+,?,+\99—\,98+1100—\/99=<100—1=10—1=9.【點睛】本題考查了分母有理化，分子分母都乘以分母這兩個數的差進行分母有理化是解題關鍵.22.計算abc⑶已知abc：1,求ab+o+i+w+i+ac+c+i的值2a—2【答案】(1)———---；(2)a=-3,b=<2；(3)1.a根據二次根式及絕對值的非負性得到2a+6=0,b根據二次根式及絕對值的非負性得到2a+6=0,b—<2=0,從而可求出a、b；【分析】（1）先將式子進行變形得到a(（1）先將式子進行變形得到a(a+1)—1a(a—3)+1，此時可以將其化簡為r1)

va+O-3j，然后根據異分母的加減法法則進行化簡即可;(2)(3)根據abc=1先將所求代數式轉化:ababbc+b+1abc+ab+aab+a+1abcac+c+1aabcac+c+1a2bc+abc+abab+a+1，然后再進行分式的加減計算即可.【詳解】解：（1）原式二a(a+1)—1a(a—3)+1a+1a—3(a—3)+(a+1)二一(a+1)(a-3)(2)V<2a+6+A2a+6=0,b—,：2=0,...a=-3,b=<2；(3)Vabc=1,abababcabababcbc+bc+b+1abc+ab+aab+a+1ac+c+1a2bc+abc+abab+a+1，a ab 1?.?原式=ab+a+1+ab+a+1+ab+a+1a+ab+1ab+a+1=1.【點睛】本題考查了分式的化簡求值和二次根式、絕對值的非負性，分式中一些特殊求值題并非一味的化簡，代入，求值，熟練掌握轉化、整體思想等解題技巧是解答這類題目的關鍵.23.已知y=v'1—8x+8xx—1+—,求代數式J—+2+2—1—+——2的值.2 yx\yx【答案】1【解析】【分析】根據已知和二次根式的性質求出X、y的值，把原式根據二次根式的性質進行化簡，把x、y的值代入化簡后的式子計算即可.【詳解】11-8x>0,x<-一—88x-1>0,x>—,/.x=_,y=—,一_8 8)2???原式二25/9=5???原式二25/9=54 423=2=122【點睛】本題考查的是二次根式的化簡求值，把已知條件求出x、y,把要求的代數式進行正確變形是解題的關鍵，注意因式分解在化簡中的應用.24.小明在解決問題：已知@=不二，求2a2-8a+1的值，他是這樣分析與解的:2+33_ 1 2-<3'a=「=(2+、⑶(2-,"=2-'：3:a-2=-Q「?(a-2)2=3,a2-4a+4=3…a2-4a=-1:2a2-8a+1=2(a2-4a)+1=2x(-1)+1=-1請你根據小明的分析過程，解決如下問題：（1）化簡K+737-2+74??3+...+ +'（1（2）若a=—2~1，求4a2-8a+1的值.【答案】（1）9；（2）5.【解析】試題分析：（1）此式必須在把分母有理化后才能實現化簡，即各分式分子分母同乘以一個因式，使得與分母相乘后，為平方差公式結構，如22-與分母相乘后，為平方差公式結構，如22-1v2+1 (<2+1)(v2-) G.?2)2-12⑵先對。值進行化簡得c2+1,若就接著代入求解，計算量偏大.模仿小明做法，可先計算（。-1）2的值，就能較為簡單地算出結果；也可對這個二次三項式進行配方，再代入求值.后兩種方法都比直接代入計算量小很多.解：（1）原式=（、：2-1）+（v3-<2）+（西-<3）+…+J時-999）=yW1=10-1=9(2)(2):a=2--1=(<2-1)(<2+1)=22+1,解法一：???(〃-1)2=?'2+1-1)2=2,…a2—2a+1=2，即a2-2a=1

二?原式二4(a2-2a)+1=4x1+1=5解法二,?原式二4(a2-2a+1-1)+1=4(a-1)2-3=4(<2+1-1)2-3=4x2-3=5點睛：(1)把分母、a+bb有理化的方法：分子分母同乘以分母的有理化因式高-托，得(、萬+bb)￡a-bb)=Q))2-￡b)2=a-b,去掉根號，實現分母有理化.(2)當已知量為根式時，求這類二次三項式的值，直接代入求值，計算量偏大，若能巧妙利用完全平方公式或者配方法，計算要簡便得多.25．閱讀下列材料，然后回答問題：在進行二次根式運算時，我們有時會碰上如W、高這樣的式子，其實我們還可以將其進一步化簡：5=5x褥=5與2=2xG/3-1）=2x（百-1）=用_1

<3x,/3-3V；73+1-（v3+1）G./3-1）~（,/3）2-1-"其進一步化簡：以上這種化簡過程叫做分母有理化.2--3+1還可以用以下方法化簡:2=3-1=（并）2-12=（回）（r-1）=02--3+1還可以用以下方法化簡:TOC\o"1-5"\h\z<3+1-<3+1 J3+1 73+1 ”4(1)請用其中一種方法化簡、/_、甘；22 2 2(2)化簡：河+75+^+^5++河97.【答案】(1)%15+<11；⑵3<11-1.【分析】 …(1)運用了第二種方法求解，即將4轉化為樂-、斤1；(2)先把每一個加數進行分母有理化，再找出規律，即后面的第二項可以和前面的第一項抵消，然后即可得出答案.【詳解】(1)原式="I?；；，；；)；，,.：記乜：五；（2）原式2CV99-T97）十…L而十二-W麗丁麗)_2蟲-1） 2CV99-T97）十…L而十二-W麗丁麗)[VJ+l）（Vs-1）+"2+（V?+遍）（斫-V5）=；;'3-1+"5-三+v7-v5+…二自9-V97=、=99-1=3匚11-1【點睛】本題主要考查了分母有理化，找準有理化的因式是解題的關鍵.26.計算：(J2—<8—<12)八6【答案】3J2—4V3【分析】先將括號內的二次根式進行化簡并合并，再進行二次根式的乘法運算即可.【詳解】解：(丁—衣—、五)x<6=(3<3—2<2—2<3)x<6=(V3-2⑸x、,,6=3<2-4V;3.【點睛】此題主要考查了二次根式的混合運算，熟練掌握運算法則是解答此題的關鍵.27.計算：—v'16—(4+J八(4—、斤)【答案】(1)-5;(2)9【分析】(1)第一項利用算術平方根的定義計算，后一項利用零指數冪法則計算，即可得到結果；(2)利用平方差公式計算即可.【詳解】c(1￥—\/16-—12)——4—1,--5；(4+<7)(4—<7)—16—7—9.【點睛】本題考查了二次根式的混合運算以及零指數冪，熟練掌握平方差公式是解題的關鍵.28.計算下列各題

(1)12/—6,3卜2/(2)(<5+33)(<5—<3)-(2<3—<2)2【答案】(1)1;(2)-12+446.【分析】(1)先把二次根式化為最簡二次根式，然后把括號內合并后進行二次根式的除法運算即可；(2)利用完全平方公式和平方差公式展開，然后再進行合并即可.【詳解】(1)原式=(4%：3-2%；,3):2%：3=2<3:2<3=1；(2)原式=5-3-(12-4<6+2)=2-14+4<6=-12+4<6.【點睛】本題考查了二次根式的混合運算，熟練掌握二次根式混合運算的運算順序以及運算法則是解題的關鍵.現已知"二，戶后國，求下列各式的值:x2-町+y2；yx(2)-+--xy【答案】(1)7；(2)8.【分析】計算出x+y=弋5,xy=2,(1)把x2-xy+y2變形為(x+y)2-3xy,然后利用整體代入的方法計算;(x(x+y)2一2xy(2)把原式變形為———-xy然后利用整體代入的方法計算.【詳解】??X= 1 —J5*'3 y=1<5—\：'3 2 <5+<3 2，xy=，xy=2,x2-xy+y2=(x+y)2-3xy,TOC\o"1-5"\h\zL 1=(<5)2-3x_27- ,2，(<5)2-2x1小、>「(x+y)2-2xy 22(2)-+-= = i =8.xyxy 12【點睛】本題考查了二次根式的化簡求值：二次根式的化簡求值，一定要先化簡再代入求值．二次根式運算的最后，注意結果要化到最簡二次根式，二次根式的乘除運算要與加減運算區分，避免互相干擾．m2—4m+4/330.先化簡，再求值： +( —m—1),其中m=v'2—2.m—1 m—12—m【答案】-一,2<2—1.2+m【解析】分析：先根據分式的混合運算順序和運算法則化簡原式，再將m的值代入計算可得.(m—2)2 3m2—1TOC\o"1-5"\h\z詳解：原式= 1—:(m~1- 1)(m—2)2 4—m2= : m—1 m—1(m—2)2 m—1= ?—: ：: m—1 —(m+2)(m—2)m—2m+22—m2+m_ 、 <2—2—2當m=；2-2時，原式二-二 2—2+2=-1+2弋2=2<2—1.點睛：本題主要考查分式的化簡求值，解題的關鍵是掌握分式的混合運算順序和運算法則．【參考答案】***試卷處理標記，請不要刪除一、選擇題1．C解析：C【分析】根據二次根式的性質對4B進行判斷；利用分母有理化對C進行判斷；利用二次根式的加減法對D進行判斷.【詳解】解：4原式=5,所以A選項錯誤；B、原式=2、,7，所以B選項錯誤；一, 2%，；2 2、ja 一一C、原式=[= =- ，所以C選項正確；2x,,aaD、22與晶不能合并，所以D選項錯誤.故選：C【點睛】本題主要考查了二次根式的性質以及合并同類項法則,正確化簡各式是解題的關鍵．2．B解析：B【詳解】解：A、錯誤，?:(?1"+bb)=a+b+2j：a；B、正確，因為a2+b220,所以、；1(a2+b2)2=a2+b2；C、錯誤，v;027b2是最簡二次根式，無法化簡；D、錯誤，?二;(a+b)2=|a+b|,其結果a+b的符號不能確定.故選B.3．B解析：B【解析】解：A.石+<2不能合并.故選項錯誤；B.<12—<3-2<3—<3-33.故選項正確；C.V3x -66.故選項錯誤；

D.v12+?、3=<1273=v"4=2.故選項錯誤.故選B.4．A解析：A【分析】分別根據二次根式的除法和乘法法則以及二次根式的平方計算每一項，再合并即可．【詳解】解：原式=、；9+J3—3=3+<3—3=<3.故選：A.【點睛】本題主要考查了二次根式的混合運算，屬于基礎題型，熟練掌握二次根式的乘除法則是解題的關鍵．5．A解析：A【分析】根據公式解答即可．【詳解】根據題意，若一個三角形的三邊長分別為2根據題意，若一個三角形的三邊長分別為2，a+b+c2+3+43,4,則p=---=——二?其面積為。 T7-F-——7 ：9/9C、/9。、/9八;9531 3<15S=、邛(p-a)(p-b)(p-c)=：2x.-2)xq-3)xq-4)=6x2x丁x-二---故選：A.【點睛】本題考查二次根式的應用、數學常識等知識,難度較難,掌握相關知識是解題關鍵..D解析：D【解析】由（x-、川2-2008）（匕、yy2-2008）=2008,可知將方程中的x,y對換位置，關系式不變，那么說明x=y是方程的一個解由此可以解得x二y=、.;2008，或者x=y=-、■-2008，貝U3x2-2y2+3x-3y-2007=1,故選D..C解析：C【分析】根據算術平方根的定義，無理數的定義及估值，二次根式的化簡依次判斷.【詳解】A、＜12是12的算術平方根，故該項正確；B、3＜出2＜4，故該項正確；C、＜12=2＜3，故該項不正確；D、???v12=2v3，二＜12是無理數，故該項正確；故選：C.【點睛】此題考查算術平方根的定義，無理數的定義及估值，二次根式的化簡，熟練掌握各知識點并運用解題是關鍵.8．B解析：B【詳解】＜18=3①，與＜3不是同類二次根式，故此選項錯誤；；1=立，與＜3，是同類二次根式，故此選項正確；3 3＜24=2K6，與＜3不是同類二次根式，故此選項錯誤；忌=/=丹00，與J3不是同類二次根式，故此選項錯誤；故選B.9．C解析：C【分析】根據同類二次根式的性質即可求出答案．【詳解】由題意可知：a2-3=2a，解得：a=3或a=-1當a=-1時，該二次根式無意義，故a=3故選C.【點睛】本題考查二次根式的概念，解題的關鍵是熟練正確理解最簡二次根式以及同類二次根式的概念.10．C解析：C【分析】根據立方根、二次根式的加減乘除運算法則計算．解析：解析：【分析】【詳解】A、非同類二次根式，不能合并，故錯誤；B、2<3-<3=<3，故原結果錯誤；C、(''2)=2，正確；D、39開不出有理數，故原結果錯誤；故選C.【點睛】本題考查二次根式、立方根的運算法則，熟練掌握基本法則是關鍵..B解析：B【解析】解：當y=-2時，y+1=-2+1=-1,「.q'y+2(y=-2)無意義；當x>0時，2x無意義；所以二次根式有機(x>0)，\；2,;X771共3個.故選B..B解析：B【分析】由x+y=-5,xy=3可得到x<0,y<0,再利用二次根式的性質化簡得到原式=丹+4;=一2、后，然后把xy=3代入計算即可.IxIIyI【詳解】x+y=-5,xy=3,.??x<0,y<0,???原式=x、運+y1五二者+言=-2、區(x<0,y<0),x2 yy2 |xIIyI當xy=3時，原式=-2。.故選B.【點睛】此題考查二次根式的化簡求值，解題關鍵在于先化簡.二、填空題?【分析】首先化簡，可得|a-2|+|a-6|+|b+4|+|b-2|=10，然后根據|a-2|+|a-6|“，|b+4|+|b-2|N6，判斷出a，b的取值范圍，即可求出的最大值.【詳解】首先化簡\.'a2-4a+4+、；36-12a+晟=10-|b+4|-|b-2|，可得|a-2|+|a-6|+|b+4|+|b-2|=10,然后根據|a-2|+|a-6|M,|b+4|+|b-2|26,判斷出a,b的取值范圍，即可求出a2+b2的最大值.【詳解】解：???%；a2-4a+4+\；36-12a+在=10-|b+4|-|b-2|,即{(a-2>+{(a-6>=10-b+4|-b-2|,???a-2|+a-6=10-b+4|-b-q,??.|a-2|+a-6|+b+4|+b-2|=10,:a-2|+a-6>4,b+4|+|b-2|>6,|a-2|+|a-6|=4,|b+4|+|b-2|=6,.\2<a<6,-4<b<2,a2+b2的最大值為62+(-4)=52,故答案為52.【點睛】本題考查了二次根式的性質與化簡，絕對值的意義，算術平方根的性質.解題的關鍵是要明確化簡二次根式的步驟：①把被開方數分解因式；②利用算術平方根的性質，把被開方數中能開得盡方的因數(或因式)都開出來；③化簡后的二次根式中的被開方數中每一個因數(或因式)的指數都小于根指數2..【分析】分別求出甲，乙容器中原溶液中純果汁的含量，再求出mkg溶液中純果汁的含量，最后利用混合后果汁的濃度相等列出關系式，求出m即可.【詳解】解：根據題意，甲容器中純果汁含量為akg,乙容器解析：業5【分析】分別求出甲，乙容器中原溶液中純果汁的含量，再求出mkg溶液中純果汁的含量，最后利40a-ma+mb<90b-mb+ma ,用混合后果汁的濃度相等列出關系式^ - = - ，求出m即<40 %90可.【詳解】解：根據題意，甲容器中純果汁含量為、.',40akg,乙容器中純果汁含量為<90bkg,甲容器倒出mkg果汁中含有純果汁makg,乙容器倒出mkg果汁中含有純果汁mbkg,重新混合后甲容器內果汁的濃度為重新混合后乙容器內果汁的濃度為；40重新混合后甲容器內果汁的濃度為重新混合后乙容器內果汁的濃度為；40a—ma+mb?40 ，<90b—mb+mav90由題意可得<40聞a—ma+mb<90b—mb+ma由題意可得<40整理得，6%10a-6<10b=5ma-5mb,A6<10（a-b）=5m（a-b），._6v1O??m ?5【點睛】本題考查二次根式的應用，能夠正確理解題意，化簡二次根式是解題的關鍵．15．【分析】根據被開方數大于等于零，可得出，再根據二次根式的性質進行計算即可．【詳解】解：???，故答案為：．【點睛】本題考查的知識點是二次根式的性質與化簡，掌握二次根式的基本性質解析：上aa【分析】根據被開方數大于等于零，可得出a<0，再根據二次根式的性質進行計算即可.【詳解】．1解：?:一一2．1解：?:一一20,a3故答案為：旦a【點睛】本題考查的知識點是二次根式的性質與化簡，掌握二次根式的基本性質是解此題的關鍵．16．0【解析】【分析】先將化簡為就能確定其最小值為1，再和1作差，即可求解。【詳解】解：-1=-1??最小值為：1,??-1的最小值是0.故答案為：0．【點睛】本題考查了二次根式求最小解析：0【解析】【分析】先將％a+2a+2化簡為*'(a+1)2+1就能確定其最小值為1,再和1作差，即可求解。【詳解】解：v,a2+