直線與圓的位置關系●知識梳理直線和圓1.直線和圓位置關系的判定方法一是方程的觀點，即把圓的方程和直線的方程聯立成方程組，利用判別式Δ來討論位置關系.①Δ＞0，直線和圓相交.②Δ=0，直線和圓相切.③Δ＜0，直線和圓相離.方法二是幾何的觀點，即把圓心到直線的距離d和半徑R的大小加以比較.①d＜R，直線和圓相交.②d=R，直線和圓相切.③d＞R，直線和圓相離.k或直線上一點兩種情況，而直線上一點又可分為圓上一點和圓外一點兩種情況.3.直線和圓相交，這類問題主要是求弦長以及弦的中點問題.●點擊雙基1.〔2005年海淀區期末練習題〕設m>0，那么直線A.相切〔x+y〕+1+m=0與圓x2+y2=m的位置關系為解析：圓心到直線的距離為d=，圓半徑為.∵d－r=－=〔m－2+1〕=〔－1〕2≥0，∴直線與圓的位置關系是相切或相離.答案：Cx2＋y2－4x+4y+6=0截直線x－y－5=0所得的弦長等于A.B.C.1解析：圓心到直線的距離為，半徑為，弦長為2=.答案：A3.〔2004年全國卷Ⅲ，4〕圓x2+y2－4x=0在點P〔1，〕處的切線方程為A.x+y－2=0B.x+y+4=0D.x－y－4=0C.x－y+2=0解法一：x2+y2－4x=0y=kx－k+x2－4x+〔kx－k+〕2=0.該二次方程應有兩相等實根，即Δ=0，解得k=.∴y－=〔x－1〕，即x－y+2=0.解法二：∵點〔1，〕在圓x2+y2－4x=0上，∴點P為切點，從而圓心與P的連線應與切線垂直.又∵圓心為〔2，0〕，∴·k=－1.解得k=，∴切線方程為x－y+2=0.答案：D4.〔2004年某某，理8〕圓心在直線2x－y－7=0上的圓C與y軸交于兩點A〔0，－4〕、B〔0，－2〕，那么圓C的方程為____________.解析：∵圓C與y軸交于A〔0，－4〕，B〔0，－2〕，∴由垂徑定理得圓心在y=－3這條直線上.又圓心在直線2x－y－7=0上，y=－3，2x－y－7=0.∴圓心為〔2，－3〕，半徑r=|AC|==.∴所求圓C的方程為〔x－2〕2+〔y+3〕2=5.答案：〔x－2〕2+〔y+3〕2=5y=x+k與曲線x=恰有一個公共點，那么k的取值X圍是___________.解析：利用數形結合.答案：－1＜k≤1或k=－●典例剖析[例1]圓x2+y2+x－6y+m=0和直線x+2y－3=0交于P、Q兩點，且OP⊥OQ〔O為坐標原點〕，求該圓的圓心坐標及半徑.剖析：由于OP⊥OQ，所以kOP·kOQ=－1，問題可解.解：將x=3－2y代入方程x2+y2+x－6y+m=0，得5y2－20y+12+m=0.設P〔x1，y1〕、Q〔x2，y2〕，那么y1、y2滿足條件y1+y2=4，y1y2=.∵OP⊥OQ，∴x1x2+y1y2=0.而x1=3－2y1，x2=3－2y2，∴x1x2=9－6〔y1+y2〕+4y1y2.∴m=3，此時Δ＞0，圓心坐標為〔－，3〕，半徑r=.評述：在解答中，我們采用了對直線與圓的交點“設而不求〞的解法技巧，但必須注意這樣的交點是否存在，這可由判別式大于零幫助考慮.[例2]求經過兩圓〔x+3〕2+y2=13和x2+〔y+3〕2=37的交點，且圓心在直線x－y－4=0上的圓的方程.剖析：根據，可通過解方程組〔x+3〕2+y2=13，x2+〔y+3〕2=37由圓心在直線x－y－4=0上，三個獨立條件，用待定系數法求出圓的方程；也可根據，設所求圓的方程為〔x+3〕2+y2－13+λ［x2+〔y+3〕2－37］=0，再由圓心在直線x－y－4=0上，定出參數λ，得圓方程.解：因為所求的圓經過兩圓〔x+3〕2+y2=13和x2+〔y+3〕2=37的交點，所以設所求圓的方程為〔x+3〕2+y2－13+λ［x2+〔y+3〕2－37］=0.展開、配方、整理，得〔x+〕2+〔y+〕2=+.圓心為〔－，－〕，代入方程x－y－4=0，得λ=－7.故所求圓的方程為〔x+〕2+〔y+〕2=.評述：圓C1：x2+y2+D1x+E1y+F1=0，圓C2：x2+y2+D2x+E2y+F2=0，假設圓C1、C2相交，那么過兩圓公共點的圓系方程為〔x2+y2+D1x+E1y+F1〕+λ〔x2+y2+D2x+E2y+F2〕=0〔λ∈R且λ≠－1〕.它表示除圓C2以外的所有經過兩圓C1、C2公共點的圓.特別提示在過兩圓公共點的圖象方程中，假設λ=－1，可得兩圓公共弦所在的直線方程.[例3]圓C：〔x－1〕2＋〔y－2〕2＝25，直線l：〔2m+1〕x+〔m+1〕y－7m－4=0〔m∈R〕.〔1〕證明：不論m取什么實數，直線l與圓恒交于兩點；〔2〕求直線被圓C截得的弦長最小時l的方程.剖析：直線過定點，而該定點在圓內，此題便可解得.〔1〕證明：l的方程〔x+y－4〕+m〔2x+y－7〕=0.2x+y－7=0，x=3，x+y－4=0，y=1，即l恒過定點A〔3，1〕.∵圓心C〔1，2〕，｜AC｜＝＜5〔半徑〕，∴點A在圓C內，從而直線l恒與圓C相交于兩點.〔2〕解：弦長最小時，l⊥AC，由kAC＝－，∴l的方程為2x－y－5=0.評述：假設定點A在圓外，要使直線與圓相交那么需要什么條件呢？思考討論求直線過定點，你還有別的辦法嗎？●闖關訓練夯實基礎1.假設圓〔x－3〕2＋〔y+5〕2＝r2上有且只有兩個點到直線4x－3y=2的距離等于1，那么半徑r的X圍是A.〔4，6〕B.［4，6〕C.〔4，6］D.［4，6］解析：數形結合法解.答案：A2.〔2003年春季〕直線ax+by+c=0〔abc≠0〕與圓x2+y2=1相切，那么三條邊長分別為｜a｜、｜b｜、｜c｜的三角形解析：由題意得=1，即c2=a2+b2，∴由｜a｜、｜b｜、｜c｜構成的三角形為直角三角形.答案：B3.〔2005年春季，11〕假設圓x2+y2+mx－=0與直線y=－1相切，且其圓心在y軸的左側，那么m的值為____________.解析：圓方程配方得〔x+〕2+y2=，圓心為〔－，0〕.由條件知－<0，即m>0.又圓與直線y=－1相切，那么0－〔－1〕=，即m2=3，∴m=.答案：4.〔2004年某某，13〕直線x+2y=0被曲線x2+y2－6x－2y－15=0所截得的弦長等于____________.解析：由x2+y2－6x－2y－15=0，得〔x－3〕2+〔y－1〕2=25.知圓心為〔3，1〕，r=5.由點〔3，1〕到直線x+2y=0的距離d==.可得弦長為2答案：4，弦長為4.A〔－3，3〕發出的光線l射到x軸上，被x軸反射，其反射光線所在的直線與圓x2＋y2－4x－4y＋7＝0相切，求光線l所在直線的方程.解：圓〔x－2〕2＋〔y－2〕2＝1關于x軸的對稱方程是〔x－2〕2＋〔y＋2〕2＝1.設l方程為y－3＝k〔x＋3〕，由于對稱圓心〔2，－2〕到l距離為圓的半徑1，從而可得k1＝－，k2＝－．故所求l的方程是3x＋4y－3＝0或4x＋3y＋3＝0.6.M〔x0，y0〕是圓x2+y2=r2〔r>0〕內異于圓心的一點，那么直線x0x+y0y=r2與此圓有何種位置關系?分析：比較圓心到直線的距離與圓半徑的大小.解：圓心O〔0，0〕到直線x0x+y0y=r2的距離為d=.∵P〔x0，y0〕在圓內，∴<r.那么有d>r，故直線和圓相離.培養能力ax2+ay2－4〔a－1〕x+4y=0表示圓，求a的取值X圍，并求出其中半徑最小的圓的方程.解：〔1〕∵a≠0時，方程為［x－］2+〔y+〕2=，由于a2－2a+2＞0恒成立，∴a≠0且a∈R時方程表示圓.〔2〕r2=4·=4［2(－)2+］，∴a=2時，rmin2=2.此時圓的方程為〔x－1〕2+〔y－1〕2=2.8.〔文〕求經過點A〔－2，－4〕，且與直線l：x+3y－26=0相切于〔8，6〕的圓的方程.解：設圓為x2+y2+Dx+Ey+F=0，依題意有方程組3D－E=－36，2D+4E－F=20，8D+6E+F=－100.D=－11，E=3，F=－30.∴圓的方程為x2+y2－11x+3y－30=0.〔理〕點P是圓x2+y2=4上一動點，定點Q〔4，0〕.〔1〕求線段PQ中點的軌跡方程；〔2〕設∠POQ的平分線交PQ于R，求R點的軌跡方程.解：〔1〕設PQ中點M〔x，y〕，那么P〔2x－4，2y〕，代入圓的方程得〔x－2〕2+y2=1.〔2〕設R〔x，y〕，由設P〔m，n〕，那么有==，m=n=，，代入x2+y2=4中，得〔x－〕2+y2=〔y≠0〕.探究創新P到兩個定點M〔－1，0〕、N〔1，0〕距離的比為解：設點P的坐標為〔x，y〕，，點N到直線PM的距離為1，求直線PN的方程.由題設有即=，=·，整理得x2+y2－6x+1=0.①因為點N到PM的距離為1，|MN|=2，所以∠PMN=30°，直線PM的斜率為±.直線PM的方程為y=±〔x+1〕.②將②代入①整理得x2－4x+1=0.解得x1=2+，x2=2－.代入②得點P的坐標為〔2+，1－〕.，1+〕或〔2－，－1+〕；〔2+，－1－〕或〔2－直線PN的方程為y=x－1或y=－x+1.●思悟小結1.直線和圓的位置關系有且僅有三種：相離、相切、相交.判定方法有兩個：幾何法，比較圓心到直線的距離與圓的半徑間的大小；代數法，看直線與圓的方程聯立所得方程組的解的個數.2.解決直線與圓的位置關系的有關問題，往往充分利用平面幾何中圓的性質使問題簡化.●教師下載中心教學點睛1.有關直線和圓的位置關系，一般要用圓心到直線的距離與半徑的大小來確定.2.當直線和圓相切時，求切線方程一般要用圓心到直線的距離等于半徑，求切線長一般要用切線、半徑及圓外點與圓心連線構成的直角三角形；與圓相交時，弦長的計算也要用弦心距、半徑及弦長的一半構成的直角三角形.3.有關圓的問題，注意圓心、半徑及平面幾何知識的應用.4.在確定點與圓、直線與圓、圓與圓的位置關系時，經常要用到距離，因此，兩點間的距離公式、點到直線的距離公式等應熟練掌握，靈活運用.拓展題例[例1]圓的方程為x2+y2+ax+2y+a2=0，一定點為A〔1，2〕，要使過定點A〔1，2〕作圓的切線有兩條，求a的取值X圍.解：將圓的方程配方得〔x+〕2+〔y+1〕2=，圓心C的坐標為〔－，－1〕，半徑r=，條件是4－3a2＞0，過點A〔1，2〕所作圓的切線有兩條，那么點A必在圓外，即＞.化簡得a2+a+9＞0.4－3a2＞0，a2+a+9＞0，－＜a＜，a∈R.∴－＜a＜.故a的取值X圍是〔－，〕.[例2]⊙O方程為x2+y2=4，定點A〔4，0〕，求過點A且和⊙O相切的動圓圓心的軌跡.剖析：兩圓外切，連心線長等于兩圓半徑之和，兩圓內切，連心線長等于兩圓半徑之差，由此可得到動圓圓心在運動中所應滿足的幾何條件，然后將這個幾何條件坐標化，即得到它的軌跡方程.解法一：設動圓圓心為P〔x，y〕，因為動圓過定點A，所以|P