數(shù)學試卷

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是

符合題目要求的.

1.若全集。={1,2,3,4,5,6,7,8,9},A={1,2,3,5},B={1,2,4,67,8},貝（）（始）心）=（）

A.0B.{3,4,5,6,7,8,9}C.{9}D.{1,2}

2.已知x>0,y>0,成等差數(shù)列，x,c,d,y成等比數(shù)列，則絲土蛆的最小值是

cd

A.OB.1C.2D.4

3.記P：“方程（m-Df+G-m）產(chǎn)=1表示橢圓,,，q:“函數(shù)/（力=：/+（/"—2）/+x無極值”，則p

是q的（）

A.充要條件B.充分不必要條件C.必要不充分條件D.既不充分也不必要條件

4.2008年北京奧運會游泳中心（水立方）的設計靈感來于威爾?弗蘭泡沫，威爾?弗蘭泡沫是對開爾文胞體的

改進，開爾文體是一種多面體，它由正六邊形和正方形圍成（其中每一個頂點處有一個正方形和兩個正六邊

形），已知該多面體共有24個頂點，且棱長為1,則該多面體表面積是（）

開爾文胞體

A.9G+6B.9G+8C.12^+6D.12^+8

5.四名同學各擲骰子五次，分別記錄每次骰子出現(xiàn)的點數(shù).根據(jù)四名同學的統(tǒng)計結(jié)果，可以判斷出一定沒

有出現(xiàn)點數(shù)6的是（）.

A.平均數(shù)為3,中位數(shù)為2B.中位數(shù)為3,眾數(shù)為2

C.平均數(shù)為2,方差為2.4D,中位數(shù)為3,方差為2.8

239

6.（l+x）+（l+x）+...+（l+x）展開式中的系數(shù)是（）

A.45B.84C.120D.210

7.若空間中經(jīng)過定點。的三個平面。，夕，/兩兩垂直，過另一定點4作直線/與這三個平面的夾角都

相等，過定點A作平面S和這三個平面所夾的銳二面角都相等.記所作直線/的條數(shù)為如所作平面5的個

數(shù)為小則加+〃=()

A.4B.8C.12D.16

0.4

8.設。=/?=e01-bc=tan0.1,d=——,則()

71

Aa<b<c<dB.a<c<b<dC.a<b<d<cD.a<c<d<b

二、多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目

要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.

9.18世紀末期，挪威測量學家威塞爾首次利用坐標平面上的點來表示復數(shù)，使復數(shù)及其運算具有了幾何意

義，例如忸=|OZ|,也即復數(shù)z的模的幾何意義為z對應的點z到原點的距離.下列說法正確的是()

A.若目=1,則2=±1或2=±1

B.復數(shù)6+5i與-3+4i分別對應向量麗與礪，則向量麗對應的復數(shù)為9+i

C.若點Z的坐標為(-L1)，則三對應的點在第三象限

D.若復數(shù)z滿足14回4攻，則復數(shù)z對應的點所構(gòu)成的圖形面積為萬

10.若/(x)=kinX+|cosx|,則下列說法正確的有()

A.”力的最小正周期是兀

B.方程x=-1是/(力的一條對稱軸

C./(力的值域為［1,、歷］

D.3a,b>0,對WxeR都滿足了(x+a)+/(a-x)=?,(a,6是實常數(shù))

11.已知拋物線>2=2px上的四點4(2,2),B,C,P,直線AB,AC是圓例：(x—2)?+V=1的兩

條切線，直線尸。、依與圓〃分別切于點。、R,則下列說法正確的有()

A.當劣弧QR的弧長最短時，cosNQPR=_；B.當劣弧QR的弧長最短時，cosNQPR=；

C.直線8C的方程為x+2y+l=0D.直線8c的方程為3x+6y+4=0

12.已知函數(shù)及其導函數(shù)/'(x)的定義域均為R,對任意的x,yeR,恒有

/(x+y)+/(x-y)=2/(x>/(y),則下歹ij說法正確的有()

A./(O)=lB.r(x)必為奇函數(shù)

i2023i

C/(x)+/(O)>()D.若"1)=3則S"〃)=3

2M=1乙

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13已知向量a,5滿足向=M=i,無(萬一〃)=[■，則慳-可=.

14.若角a的終邊經(jīng)過點尸(sin70°,cos70°),且tana+tan2a+根tanaTan2a=6，則實數(shù)加=

15已知隨機變量J服從正態(tài)分布且產(chǎn)偌<6)=5尸傳<2),則P(2<J<6)=.

16.折紙是我國民間的一種傳統(tǒng)手工藝術(shù)，明德小學在課后延時服務中聘請了民間藝術(shù)傳人給同學們教授

折紙.課堂上，老師給每位同學發(fā)了一張長為10cm,寬為8cm的矩形紙片，要求大家將紙片沿一條直線折

疊.若折痕(線段)將紙片分為面積比為1:3的兩部分，則折痕長度的取值范圍是cm.

四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

17.已知集合4=卜卜=2〃-1,〃€1<},8={xk=3","eN*},將A與3中的所有元素按從小到大的

順序排列構(gòu)成數(shù)列{4}(若有相同元素，按重復方式計入排列)為1,3,3,5,7,9,9,11,…設數(shù)

列{4}的前〃項和為S”.

(1)若冊=27,求m的值；

(2)求S50的值.

18.某校所在省市高考采用新高考模式，學生按“3+1+2”模式選科參加高考：“3”為全國統(tǒng)一高考的語文、

數(shù)學、外語3門必考科目；“1”由考生在物理、歷史2門中選考1門科目；“2”由考生在思想政治、地理、化學、

生物學4門中選考2門科目.

(1)為摸清該校本屆考生的選科意愿，從本屆750位學生中隨機抽樣調(diào)查了100位學生，得到如下部分數(shù)

據(jù)分布：

選物理方向選歷史方向合計

男生3040

女生

合計50100

請在答題卡的本題表格中填好上表中余下的5個空，并判斷是否有99.9%的把握認為該校“學生選科的方

向,，與“學生的性別,,有關(guān);

(2)記已選物理方向的甲、乙兩同學在“4選2”的選科中所選的相同的選科門數(shù)為求J的分布列及數(shù)

學期望.

n(ad-bc)~

附：K2,n=a+b+c+d.

(a+Z?)(c+d)(a+c)(b+d)

P(R%)0.100.050.0250.0100.0050.001

%k()2.7063.8415.0246.6357.87910.828

19.在AABC中，設角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,且滿足(a+〃)/?=c?.

(1)求證：C=2B；

(2)求上a+一4bJ的最小值.

hcosB

20.

如圖，在直三棱柱ABC-A4G中，平面A8CL側(cè)面4ABS.

(I)求證：AB1BC；

(H)若直線AC與平面48c所成的角為仇二面角4-BCA的大小為外試判斷。與0的大小關(guān)系，并

(1)求/(尤)在卜乃，句上的極值;

（2）若對V%,%W（）,可，王都有"C"2）+a>0成立,求實數(shù)。的取值范圍.

22

22.已知雙曲線「j=%=l（a2>0）,經(jīng)過雙曲線「上的點A（2,l）作互相垂直的直線AM、AN分別交

雙曲線「于兩點.設線段的中點分別為B、C,直線OB、0C（0為坐標原點）的斜率都存在且

它們的乘積為.

4

（1）求雙曲線「的方程；

（2）過點A作ADLMN（O為垂足），請問：是否存在定點E,使得目為定值？若存在，求出點E的

坐標；若不存在，請說明理由.

數(shù)學試卷

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是

符合題目要求的.

1.若全集。={1,2,3,4,5,6,7,8,9},A={1,2,3,5},B={1,2,4,67,8},貝（）（始）心）=（）

A.0B.{3,4,5,6,7,8,9}C.{9}D.{1,2}

【答案】C

【解析】

【分析】求出領(lǐng)={4,6,7,8,9},uB={3,5,9},根據(jù)集合的交集運算即可求得答案.

【詳解】由題意可得瘩A={4,6,7,8,9},u3={3,5,9},

故（楸）0（M）39}，

故選：C

2.已知x>0,y>0,x,a,女y成等差數(shù)列，x,c,d,y成等比數(shù)列，則①十份一的最小值是

cd

A.OB.1C.2D.4

【答案】D

【解析】

【詳解】解：:x,a,b,y成等差數(shù)列，x,c,d,y成等比數(shù)列

根據(jù)等差數(shù)列和等比數(shù)列的性質(zhì)可知：a+b=x+y,cd=xy,

（a+b）2（x+4（2而另

cdxyxy

當且僅當x=y時取

3.記P：“方程（加—l）f+（3—加）y2=i表示橢圓，，，4：“函數(shù)/（力=夫3+（加-2*+x無極值,,，則?

是q的（）

A.充要條件B.充分不必要條件C.必要不充分條件D.既不充分也不必要條件

【答案】B

【解析】

【分析】先利用"命題和q命題各自推出加的范圍，接著利用小集合推出大集合得到答案

777-1>0

【詳解】由〃可得{3-m>0，解得1<“<3且mw2,

加一1w3—m

所以加的取值范圍為{制1<m<3且m工2}

由4：“函數(shù)/（%）=3%3+（加一2卜2+》無極值，，可得r（x）=f+2（m—2）x+l

結(jié)合開口向上，可得拋物線與x軸最多一個交點，

所以A=4（加一2）一一440,解得14m43

所以小的取值范圍為同加<3}

因為{司1<加<3且m#2}u1<m<3）

所以，是9的充分不必要條件

故選：B

4.2008年北京奧運會游泳中心（水立方）的設計靈感來于威爾?弗蘭泡沫，威爾?弗蘭泡沫是對開爾文胞體的

改進，開爾文體是一種多面體，它由正六邊形和正方形圍成（其中每一個頂點處有一個正方形和兩個正六邊

形），已知該多面體共有24個頂點，且棱長為1,則該多面體表面積是（）

A.9G+6B.9G+8C.12^+6D.12有+8

【答案】C

【解析】

【分析】由已知得最多有6個正方形，最少有4個正六邊形，1個正六邊形與3個正方形相連，所以該多

面體有6個正方形，正六邊形有8個，分別求得正方形和正六邊形的面積可得答案.

【詳解】棱長為1的正方形的面積為1x1=1，正六邊形的面積為6XLX1X1XY3=T8,

222

又正方形有4個頂點，正六邊形有6個頂點，該多面體共有24個頂點，所以最多有6個正方形，最少有

4個正六邊形，1個正六邊形與3個正方形相連，

所以該多面體有6個正方形，正六邊形有6x4+3=8個,

所以該多面體的表面積為8x鋁+6=12>/3+6，

2

故選：C.

5.四名同學各擲骰子五次，分別記錄每次骰子出現(xiàn)的點數(shù).根據(jù)四名同學的統(tǒng)計結(jié)果，可以判斷出一定沒

有出現(xiàn)點數(shù)6的是().

A.平均數(shù)為3,中位數(shù)為2B.中位數(shù)為3,眾數(shù)為2

C.平均數(shù)為2,方差為2.4D.中位數(shù)為3,方差為2.8

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)題意舉出反例，即可得出正確選項.

【詳解】解：對于4當投擲骰子出現(xiàn)結(jié)果為1,1,2,5,6時，滿足平均數(shù)為3,中位數(shù)為2,可以

出現(xiàn)點數(shù)6,故A錯誤；

對于8,當投擲骰子出現(xiàn)結(jié)果為2,2,3,4,6時，滿足中位數(shù)為3,眾數(shù)為2,可以出現(xiàn)點數(shù)6,故8

錯誤；

對于C,若平均數(shù)為2,且出現(xiàn)6點，則方差(6-2)2=3.2>2.4,

二平均數(shù)為2,方差為2.4時，一定沒有出現(xiàn)點數(shù)6,故C正確；

對于。，當投擲骰子出現(xiàn)結(jié)果為1,2,3,3,6時，滿足中位數(shù)為3,

_1

平均數(shù)為：x=w(1+2+3+3+6)=3

方差為(1-3)2+(2-3)2+(3-3)2+(3-3)2+(6-3)2]=2.8,可以出現(xiàn)點數(shù)6,故。錯

誤.

故選：C.

6.(l+x)2+(l+xf+…+(1+力9的展開式中爐的系數(shù)是()

A.45B.84C.120D.210

【答案】C

【解析】

【分析】利用二項展開式的通項公式，組合數(shù)的性質(zhì)，求得含項的系數(shù).

【詳解】解：(l+x)2+(l+x)3+...+(l+x)9的展開式中,

含下項的系數(shù)為C；+C；+C：+...+C；=C：o=120,

故選：C.

7.若空間中經(jīng)過定點。的三個平面。，/，/兩兩垂直，過另一定點A作直線/與這三個平面的夾角都

相等，過定點A作平面S和這三個平面所夾的銳二面角都相等.記所作直線/的條數(shù)為，小所作平面b的個

數(shù)為〃，則加+n=()

A.4B.8C.12D.16

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)正方體的對稱性可知，正方體的四條對角線滿足與三個平面a,/，/所成角都相等，將

不過A點的三條對角線平移到過A即可求出加=4,過A分別作與正四面體。-BtCDt四個面平行的平面

即可，根據(jù)題意可求出〃=4,即可得出答案.

【詳解】將e,力，/放入正方體片GA，根據(jù)對稱性可知，對角線OG分別與三個平面

a,0,7所成角都相等，對角線分別與三個平面a,(3,7所成角都相等，

因為平面B￡//平面a,所以對角線8。分別與三個平面a,/3,7所成角都相等，同理對角線

耳。,AC分別與三個平面a,/3,7所成角都相等，

過點A分別作3R,耳A。,OG的平行線，則所作四條平行線分別與三個平面a,夕，/所成角都相

等，所以加=4.

如下圖，正方體的內(nèi)接正四面體。-8cA的四個平面與a,B，7所夾的銳二面角都相等，所以過A

分別作與正四面體。-用四個面平行的平面即可，所以“=4.

故選：B.

8.設〃=/?=e0J-Bc=tan0.1,d=,則()

71

A.a<b<c<dB.a<c<h<dC.a<b<d<cD.a<c<d<h

【答案】B

【解析】

【分析】觀察4個數(shù)易得均與00有關(guān),故考慮a(x)=ln(x+l),b(x)=cx-1,c(x)=tanx,

4

d(x)=—x在x=0.1時的大小關(guān)系，故利用作差法，分別構(gòu)造相減的函數(shù)判斷單調(diào)性以及與0的大小關(guān)

兀

系即可.

【詳解】設a(x)=ln(x+l),Z?(x)=e'-1,c(x)=tanx,d{x)=-x,易得

71

6/(0)=/?(())=c(O)=J(O).

設y=t/(x)-Z?(x)=—x-er+1,則令y'=g—=0有x=ln3,故y=d(x)_〃(x)在1-8,ln3

717171\71

上單調(diào)遞增.

小°(4y°/v°

①因為->—=匚5>e,即(3]>e,故101n±>l,即

[乃)\3.2y16)\16J\2)J冗

In—>0.1,故d(0.1)—力(0.1)>d(0)—力(0)=0,即

②設y=Z7(x)—c(x)=e'—l—tanx,JJPJy=ex----ecosx-1設/(1)=]cos2%—1,則

cos-xcos"x

/r(x)=ev(cos2x_2sinx)=e"(—sin?九一2sin九+1).

設g(x)=x-sinx,則g<%)=l-cosx/0,故g(x)=x-sinx為增函數(shù)，故g(x)Ng(0)=0,即

x>sinx.

故—(九)之已，(一/-2x+l)=e*-(x+1)2+2,當xw[(),0.1]時f(x)=e"cos2x-l為

增函數(shù)，故/(無)Ne。8s2。-1=0,故當xw[0,0.(時y=A(x)—c(x)為增函數(shù),故

/?(O.l)-c(().l)>Z?(())-c(O)=0,故〃>c.

[1x+sin?x

③設y=c(x)—a(x)=tanx—ln(x+l),y'=-----------=-；--------—,易得當XE(0,0.1)時

'，'，'，cosxx+1(x+l)cos-x

/>0,故c(0.1)-Q(0.l)>c(0)_a(0)=0,即c>a.

綜上d>h>c>a

故選：B

【點睛】本題主要考查了構(gòu)造函數(shù)求導根據(jù)單調(diào)性分析函數(shù)大小的問題，需要根據(jù)題中所給的信息判斷出

需要構(gòu)造的函數(shù)，再求導適當放縮分析函數(shù)的單調(diào)性，進而得出函數(shù)值的大小即可.屬于難題.

二、多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目

要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.

9.18世紀末期，挪威測量學家威塞爾首次利用坐標平面上的點來表示復數(shù)，使復數(shù)及其運算具有了幾何意

義，例如忸=|QZ|,也即復數(shù)z的模的幾何意義為z對應的點z到原點的距離.下列說法正確的是（）

A.若回=1,則2=±1或z=±i

B.復數(shù)6+5i與-3+4i分別對應向量方與麗，則向量而對應的復數(shù)為9+i

C.若點Z的坐標為（T/），則1對應的點在第三象限

D.若復數(shù)z滿足lw|z|40,則復數(shù)z對應的點所構(gòu)成的圖形面積為萬

【答案】BCD

【解析】

【分析】由復數(shù)的幾何意義對四個選項依次判斷即可.

【詳解】對于選項A,設2=。+為，只需/+〃=1即可，故錯誤；

對于選項B,???復數(shù)6+5i與-3+4i分別表示向量礪與礪，

???表示向量麗的復數(shù)為6+5i-（-3+4i）=9+i,故正確；

對于選項C,點Z的坐標為（T/），則I對應的點為（-1,-1）,在第三象限，故正確；

對于選項D,若復數(shù)z滿足掇仙|0,則復數(shù)z對應的點在以原點為圓心，內(nèi)圓半徑為1,外圓半徑為

0的圓環(huán)上，故所構(gòu)成的圖形面積為2萬-萬=萬，故正確；

故選：BCD.

10.若.”%）=卜山m+|85%|,則下列說法正確的有（）

A.“X）的最小正周期是兀

B.方程是/（X）的一條對稱軸

C./（X）的值域為［1,拒］

D.3a,b>0,對VxeR都滿足/(x+a)+/(。-x)=2Z;,(a,b是實常數(shù))

【答案】BC

【解析】

【分析】根據(jù)/x+不H(x)，可判斷A,根據(jù)“x-兀)于'(x)可判斷B,根據(jù)周期性以及三角函數(shù)的性

質(zhì)可判斷C,根據(jù)圖象可判斷D.

【詳解】對A,因為/(x)=kinR+|cosx|,所以

/\cos[x+])=|

fx+—+|+|sin%|=/'(x),故■^是/(x)的一個周期，故最小正周

I2)COSX

期是兀是錯誤的,

對B,因為/■(%—兀)=忖11(%一兀)|+卜05(%—兀)|=卜泊目+|85目于'(尤)，故x=-5是/(x)的一條對稱

軸是正確的,

,八兀

對C,當x￡0,—時，/(x)=|sinx|+|cosx\=sinx+cosx=y[2sinx+—由0,—則

2

x+~^e,，故sin(x+￡)e4,1，因此由A知:是/(x)周期，故/(x)

的值域為[1,3],C正確，

兀

對D,因為當XE0,-時,/(x)=|sinx|+|cosx|=sin尤+cosx=>/2sinX+且T是/(x)的周

期，故畫出/(x)的圖象如圖:

y

/(x)=|sinx|+|cosx|

713兀X

O~2~2

由圖可知，/(X)沒有對稱中心，故不存在a,b,使得y(x+a)+/(a—x)=2/2,故D錯誤.

故選：BC

11.已知拋物線y2=2px上的四點A(2,2),B,C,P,直線AB,AC是圓M:(x—2)2+丁=1

的兩條切線，直線PQ、網(wǎng)與圓M分別切于點Q、R,則下列說法正確的有（)

A.當劣弧QR的弧長最短時，cosNQPR=—gB.當劣弧QR的弧長最短時，cosNQPR=；

C.直線BC的方程為x+2y+l=0D.直線8C的方程為3x+6y+4=0

【答案】BD

【解析】

【分析】對于AB選項，當劣弧最短時，即NQMR最小，NQPR最大,cos/QPR最小，根據(jù)二倍角公

式及三角函數(shù)可得cos/QPR=l-兩r,設點P底,為,求的最小值即可得解；對于CD選

項，根據(jù)相切可得直線與AC的方程，進而可得點5與點C的坐標，即可得直線8C.

【詳解】由已知得拋物線V=2px過點A（2,2）,l|J22=2/7x2,所以〃=1,

即拋物線為V=2x,

對于AB選項，如圖所示，

設點尸當劣弧QR的弧長最短時，NQMR最小，

又NQMR+NQOR="，所以NQPR最大，即cos/QPR最小，

2M

又cosNQPR=cos2ZQPM=l-2sin2NQPM=1-\2Q-f,

一'\PM\

又圓M:（x—2『+y2=i,所以圓心M（2,0）,半徑「=|加|=1,

cos/QP/?=l--J

一\PM['

/2\21

又+乂=；（乂_2丫+3,

o21

所以當需=2時，|PM『取最小值為3,此時cosNQPR最小為1一§=§,

所以A選項錯誤，B選項正確；

對于CD選項，設過點A作圓M切線的方程為y-2=Mx-2）,即辰一丁―2左+2=0,

|2左_0_2女+2|l

所以d=-------/-------r—\,解得k=±5/3，

yjl+k2

則直線A8的方程為：y-2=^3（x-2）,即曠=后一26+2,

直線AC的方程為：y-2=-V3（x-2）,即y=—6x+26+2,

y=-JSx—2G+2,2\P546一、

聯(lián)立直線A8與拋物線廠2，得丁一生-yd----------4=0,

|y=2x33

、

痂c4百,c/84G2V3

故2%=亍-4’）‘『亍一2,噌-亍，亍-2,

7

同理可得迪，一述一？］,

（333J

PHU?

所以噎］|一竽\|+竽12，

直線BC的方程為3-）/一卜3）］

,即3x+6y+4=0,所以C選項錯誤，D選項

正確；

故選：BD.

12.已知函數(shù)“X）及其導函數(shù)/'（力的定義域均為R,對任意的x,ywR,恒有

/（x+^）+/（x-y）=2/（x）-/（y）,則下列說法正確的有（）

A./(0)=1B.r（x）必為奇函數(shù)

]20231

C./(x)+/(0)>0D.若"1)=5,則Z/(〃)=5

Ln=l乙

【答案】BCD

【解析】

【分析】賦值法求/（0）的值，判斷A；賦值法結(jié)合導數(shù)以及函數(shù)奇偶性的定義，判斷B

2023

；賦值法結(jié)合換元法判斷C;利用賦值法求得/(〃),〃eN*的值有周期性，即可求得￡/(〃)的值，判斷

?=1

D.

【詳解】對于A,令x=y=0,則由〃x+y)+/(x_y)=2/(x>/(y)可得2/(0)=2〃(0),

故/(0)=0或"0)=1,故A錯誤；

對于B,當/(0)=0時，令y=0,貝！]/(x)+/(x)=2/(x)?/(())=0,則f(x)=0,

故尸(幻=0,函數(shù)/'(x)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)；

令x=0,則〃>)+〃—>)=2/(O)-/(y),則r(y)—7'(—y)=2,“0>r(y),

當"0)=1時，r(y)-r(-加2r⑴,則，(一丁)=—/⑶刈―為奇函數(shù),

綜合以上可知/'(X)必為奇函數(shù)，B正確；

對于C,令”=y,則/(2X)+/(0)=2/2(X),故于(2X)+/(0)-0。

由于XGR,令」=2x,fwR,即/(。+)(0)之0,即有〃x)+/(0)20,故C正確；

對于D,若/⑴=<，令x=l,y=0,則〃1)+/(1)=2/(1)"(0),則/(0)=1,

故令x=y=l,則〃2)+〃0)=2/2(1),即”2)+i=g,“(2)=_g,

令x=2,y=l,則/(3)+〃1)=2〃2)"(1),即/⑶+g=_g,?.〃3)=T,

令x=3,y=l,則/(4)+.“2)=2/(3>〃1),即/(4)—：=一1,，/(4)=一3，

令x=4,y=l,則/(5)+/⑶=2/(4)?/⑴，即“5)—1/(5)=g,

令x=5,y=l,則〃6)+/(4)=2/(5>〃1),即〃6)-；=；,;./⑹=1,

令x=6,y=l,則/⑺+/⑸=2/(6)?/⑴，即〃7)+g=l,.J⑺=；,

L

由此可得/(〃),〃eN*的值有周期性，且6個為一周期，且

/(D+/(2)+/(3)+/(4)+/(5)+*6)=0,

2023|

故X”〃)=337x"⑴+./?⑵+/(3)+/(4)+/(5)+/(6)]+/(1)--,故D正確，

n=\2

故選：BCD

【點睛】本題考查了抽象函數(shù)的奇偶性和特殊值以及求函數(shù)值的和的問題，涉及到導數(shù)問題，綜合性強,

對思維能力要求高，解答的關(guān)鍵是利用賦值法確定/（〃）,〃eN*的周期性.

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

rQ

13.已知向量汗，日滿足同="=1,無（萬一5）=],則忸一.=^.

【答案】n

【解析】

【分析】先根據(jù)求出￡%=—g,故求出慳一小求出忸一可

【詳解】a\a-b\=~,所以a-ab=~,

因為向="=1，所以l-a/u'l，所以a4=-g,

忸一年=422—4萬石+7=4+2+1=7,所以慳一同=療

故答案為：不

14.若角a的終邊經(jīng)過點P(sin70°,cos70°),且tana+tan2a+mtana-tan2a=6，則實數(shù)加=

【答案】6

【解析】

cos70°

【分析】由題意可得角a是第一象限的角，且tana=--------,根據(jù)誘導公式可得

sin70°

a-20°+k-360°,keZ,不妨取a=20°，代入tana+tan2a+mtana-tan2a-y/3中利用兩角和的

正切變形公式化簡可求出m的值

【詳解】因為角a的終邊經(jīng)過點P（sin70。,cos70。），

cos70°.cos(90°-20°)-sin20°220。

所以tana

sin70°sin(90°-20°)cos20°

因為sin70°>0,cos70°>0,

所以角。是第一象限的角，

所以a=20°+k?360°,keZ9

不妨取攵=0,則a=20°,

所以tana+tan2a+mtana?tan2a

=tan200+tan40°+mtan200-tan400

=tan(20°+40°)(1-tan20°?tan40°)+皿an200-tan40°

=tan60°(1-tan20°tan40°)+mtan20°-tan40°

=g(1—tan20°?tanO°)+mtan20°tan40°,

所以G(1-tan20°tan40°)+mtan20°tan40°=0),

所以(加一JJ)tan20°tan40°=0,

所以，w=V3，

故答案為：x/3

15.已知隨機變量自服從正態(tài)分布N(4Q2),且尸偌<6)=5尸(J<2),則P(2<J<6)=.

【答案】|

【解析】

［分析］根據(jù)正態(tài)分布的對稱性即可得到答案

【詳解】因為隨機變量J服從正態(tài)分布N(4,CT2),其對稱軸方程為X=〃=4

設P(4<2)=x,所以尸修<2)=尸(4>6)=》

又尸(J<6)=5尸(自<2)

尸(2<4<6)=4x

根據(jù)題意x+4x+x=l,.-.x=1

6

P(2<J<6)=4x=§

2

故答案為：j

16.折紙是我國民間的一種傳統(tǒng)手工藝術(shù)，明德小學在課后延時服務中聘請了民間藝術(shù)傳人給同學們教授

折紙.課堂上，老師給每位同學發(fā)了一張長為10cm,寬為8cm的矩形紙片，要求大家將紙片沿一條直線折

疊.若折痕(線段)將紙片分為面積比為1:3的兩部分，則折痕長度的取值范圍是cm.

【答案】［82屈］

【解析】

【分析】由已知可確定R

,分別在三種折疊方式下利用面積建立關(guān)于折痕的函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)二次函數(shù)和對勾函數(shù)的單調(diào)性可求得

最值，由此可得結(jié)果.

【詳解】由題意得：長方形紙片的面積為10x8=80(cm『，又E：S2=1：3,

22

/.S|=20cm,S2=60cm,

當折痕如下圖MN所示時，

—xy=20

孫=40

設AM=x,AN=y,則<0<x<10,解得：?

5<x<]0f

04y48

2222

MN=x+y=x+1^22>80,即MN24逃，當且僅當x=2，歷時取等號;

X

令t=x2,/e[25,100],則/(7)=r+l^,

/⑺在［25,40］上單調(diào)遞減，在［40,100］上單調(diào)遞增,

又f(25)=89J(40)=80J(100)=116,故阿融[80,116],故MN也,2曬]；

當折痕如下圖所示時,

~(x+y)x8=20

x+y=5

設AM=x,DN=y,貝卜04x410,解得:

0<x<5

OMyWlO

MA^2=(x-y)2+64=(2x-5)2+64,0<x<5,

當尤=g時，MN2=(2x—5)2+64取得最小值64,

當x=()或5時，政72=(2*—5)2+64取得最大值89,則MNe［8,廊］;

當折痕如下圖所示時，

—(x+^)xl0=20

2fx+V=4

設AM=x,8N=y,則<04xW8,解得：\,

0<x<4

0<y<8I

則MN2=(x-y)2+l00=(2x-4)2+100,

令/?(X)=(2X-4)2+100,(04X<4),則力(幻在［0,2］上單調(diào)遞減，在［2,4］上單調(diào)遞增，

又〃(2)=100,〃(0)=〃(4)=116,故〃(x)e［100,116］,

We［10,2729］；

綜上所述：折痕長的取值范圍為［8,2a］,

故答案為：［82回］

【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題考查了函數(shù)的應用問題，涉及到求函數(shù)最值以及對勾函數(shù)二次函數(shù)的性質(zhì)問

題，綜合性強，計算量大，要注意分類討論的思想方法.

四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

17.已知集合4={1,=2〃-1,〃€1^*},8={xk=3",〃wN*},將A與8中的所有元素按從小到大的

順序排列構(gòu)成數(shù)列{4}(若有相同元素，按重復方式計入排列)為1,3,3,5,7,9,9,11,….，設數(shù)

列{叫的前〃項和為S,.

(1)若凡,=27,求m的值;

(2)求S50的值?

【答案】（1）加=16或17

（2）2236

【解析】

【分析】（1）當。,“=27時?，確定此時｛%｝含有A中的元素以及含有8中的元素，即可得答案；

（2）確定數(shù)列｛4｝中前50項中含有4中的元素以及含有B中的元素，分組求和，結(jié)合等差數(shù)列的求和公

式即可得答案.

【小問1詳解】

因為。,“=27,所以數(shù)列｛%｝中前加項中含有A中的元素為1,3,5,7,9,27,共有14項，

數(shù)列｛4｝中前，"項中含有B中的元素為3,9,27,共有3項，

排列后為1,3,3,,5,7,9,9,...?27,27,29,…,

所以加=16或17.

【小問2詳解】

因為2x50—1=99,34=81<99.35=243>99.

所以數(shù)列｛%,｝中前50項中含有B中的元素為3,9,27,81共有4項，它們都是正奇數(shù)，均屬于4

所以數(shù)列｛%｝中前50項中含有A中的元素為1,3,5,7,9,27,29,79,81,83....

2x46-1=91,共有46項，

所以050=46>（；+9"+（3+9+27+81）=2116+120=2236.

18.某校所在省市高考采用新高考模式，學生按“3+1+2”模式選科參加高考：“3”為全國統(tǒng)一高考的語文、

數(shù)學、外語3門必考科目；“1”由考生在物理、歷史2門中選考1門科目；“2”由考生在思想政治、地理、化學、

生物學4門中選考2門科目.

（1）為摸清該校本屆考生的選科意愿，從本屆750位學生中隨機抽樣調(diào)查了100位學生，得到如下部分數(shù)

據(jù)分布：

選物理方向選歷史方向合計

男生3040

女生

合計50100

請在答題卡的本題表格中填好上表中余下的5個空，并判斷是否有99.9%的把握認為該校“學生選科的方

向，，與“學生的性別，，有關(guān)；

（2）記已選物理方向的甲、乙兩同學在“4選2”的選科中所選的相同的選科門數(shù)為自，求J的分布列及數(shù)

學期望.

八9n(ad-bcV

附：K—9H—ci+h+c+d.

(a+b)(c+d)(〃+c)(b+d)

2

P(K>k0)0.100.050.0250.0100.0050.001

冗）2.7063.8415.0246.6357.87910.828

【答案】（1）填表答案見解析，有99.9%把握認為該校“學生選科的方向”與“學生的性別”有關(guān)

（2）分布列見解析，數(shù)學期望：1

【解析】

【分析】（1）根據(jù)題意即可填表，得到列聯(lián)表，計算K?的值，即可得到結(jié)論；

（2）確定變量自的取值，計算每個值對應的概率，可得其分布列，根據(jù)期望的計算公式可得答案.

【小問1詳解】

根據(jù)題意可得列聯(lián)表，如圖：

選物理方向選歷史方向合計

男生301040

女生204060

合計5050100

由于P（K2>10.828）=0.001,故而有99.9%的把握認為該校“學生選科的方向”與“學生的性別”有關(guān)

【小問2詳解】

C2C21C1A2?

g可能取值為0,1,2,則P傳=0)=6蓑=]p(g=i)=B=§；

oc2I

3

(或p(4=l)=l—P偌=0)-p信=2)=g)，/U=2)=-5A_=-;

3C4c46

。分布列如下表:

012

2

p

636

I2i

所以E(J)=0x_+lx_+2x_=l.

636

19.在AABC中，設角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,且滿足（。+））人=。2.

（1）求證：C=2B；

，八a+4b，+

（2）求;-----的最小值.

0cos5

【答案】（1）證明見解析

（2）4G

【解析】

【分析】（1）由己知及余弦定理可推出人=a-勃cosC,利用正弦定理邊化角結(jié)合兩角和差的正弦公式化

簡可得sin3=sin（C-3）,即可證明結(jié)論；

（2）利用（1）的結(jié)論將手?邊化角，結(jié)合三角恒等變換可得