PAGEPAGE1課時分層訓練(五十一)相關性、最小二乘估計與統計案例A組根底達標(建議用時：30分鐘)一、選擇題1．四名同學根據各自的樣本數據研究變量x，y之間的相關關系，并求得回歸直線方程，分別得到以下四個結論：①y與x負相關且y＝2.347x－6.423；②y與x負相關且y＝－3.476x＋5.648；③y與x正相關且y＝5.437x＋8.493；④y與x正相關且y＝－4.326x－4.578.其中一定不正確的結論的序號是()A．①② B．②③C．③④ D．①④D[由正負相關性的定義知①④一定不正確．]2．兩個變量y與x的回歸模型中，分別選擇了4個不同模型，它們的相關系數r如下，其中擬合效果最好的模型是()A．模型1的相關系數r為0.98B．模型2的相關系數r為0.80C．模型3的相關系數r為0.50D．模型4的相關系數r為0.25A[相關系數r越大，擬合效果越好，因此模型1擬合效果最好．]3．第31屆夏季奧林匹克運動會，中國獲26金，18銀，26銅共70枚獎牌居獎牌榜第二，并打破3次世界記錄．由此許多人認為中國進入了世界體育強國之列，也有許多人持反對意見．有網友為此進行了調查，在參加調查的2548名男性公民中有1560名持反對意見，2452名女性公民中有1200人持反對意見，在運用這些數據說明中國的獎牌數是否與中國進入體育強國有無關系時，用什么方法最有說服力()【導學號：66482441】A．平均數與方差 B．回歸直線方程C．獨立性檢驗 D．概率C[由于參加討論的公民按性別被分成了兩組，而且每一組又被分成了兩種情況：認為有關與無關，故該資料取自完全隨機統計，符合2×2列聯表的要求．故用獨立性檢驗最有說服力．]4．(2022·福建高考)為了解某社區居民的家庭年收入與年支出的關系，隨機調查了該社區5戶家庭，得到如下統計數據表：收入x(萬元)8.28.610.011.311.9支出y(萬元)6.27.58.08.59.8根據上表可得回歸直線方程y＝bx＋a，其中b＝0.76，a＝eq\x\to(y)－beq\x\to(x).據此估計，該社區一戶年收入為15萬元家庭的年支出為()A．11.4萬元 B．11.8萬元C．12.0萬元 D．12.2萬元B[由題意知，eq\x\to(x)＝eq\f(8.2＋8.6＋10.0＋11.3＋11.9,5)＝10，eq\x\to(y)＝eq\f(6.2＋7.5＋8.0＋8.5＋9.8,5)＝8，∴a＝8－0.76×10＝0.4，∴當x＝15時，y＝0.76×15＋0.4＝11.8(萬元)．]5．通過隨機詢問110名性別不同的大學生是否愛好某項運動，得到如下的列聯表：男女總計愛好402060不愛好203050總計6050110由χ2＝eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)，算得χ2＝eq\f(110×40×30－20×202,60×50×60×50)≈7.8.附表：P(χ2≥x0)0.0500.0100.001x03.8416.63510.828參照附表，得到的正確結論是()A．在犯錯誤的概率不超過0.1%的前提下，認為“愛好該項運動與性別有關〞B．在犯錯誤的概率不超過0.1%的前提下，認為“愛好該項運動與性別無關〞C．有99%以上的把握認為“愛好該項運動與性別有關〞D．有99%以上的把握認為“愛好該項運動與性別無關〞C[根據獨立性檢驗的定義，由χ2≈7.8＞6.635，可知我們在犯錯誤的概率不超過0.01的前提下，即有99%以上的把握認為“愛好該項運動與性別有關〞．]二、填空題6．(2022·西安質檢)某車間為了規定工時定額，需要確定加工零件所花費的時間，為此進行了5次試驗．根據收集到的數據(如下表)，由最小二乘法求得回歸方程y＝0.67x＋54.9.零件數x(個)1020304050加工時間y(min)62758189現發現表中有一個數據看不清，請你推斷出該數據的值為________.【導學號：66482442】68[由eq\x\to(x)＝30，得eq\x\to(y)＝0.67×30＋54.9＝75.設表中的“模糊數字〞為a，那么62＋a＋75＋81＋89＝75×5，即a＝68.]7．為了判斷高中三年級學生是否選修文科與性別的關系，現隨機抽取50名學生，得到如下2×2列聯表：理科文科總計男131023女72027總計203050P(χ2≥3.841)≈0.05，P(χ2≥5.024)≈0.025.根據表中數據，得到χ2＝eq\f(50×13×20－10×72,23×27×20×30)≈4.844.那么認為選修文科與性別有關系出錯的可能性為________．5%[∵χ2≈4.844，根據假設檢驗的根本原理，應該斷定“是否選修文科與性別之間有關系〞成立，并且這種判斷出錯的可能性約為5%.]8．(2022·長沙雅禮中學質檢)某單位為了了解用電量y(度)與氣溫x(℃)之間的關系，隨機統計了某4天的用電量與當天氣溫，并制作了對照表：氣溫(℃)181310－1用電量(度)24343864由表中數據得回歸直線方程y＝bx＋a中的b＝－2，預測當氣溫為－4℃時，用電量為________度．68[根據題意知eq\x\to(x)＝eq\f(18＋13＋10＋－1,4)＝10，eq\x\to(y)＝eq\f(24＋34＋38＋64,4)＝40，因為回歸直線過樣本點的中心，所以a＝40－(－2)×10＝60，所以當x＝－4時，y＝(－2)×(－4)＋60＝68，所以用電量為68度．]三、解答題9．(2022·石家莊質檢)微信是現代生活進行信息交流的重要工具，據統計，某公司200名員工中90%的人使用微信，其中每天使用微信時間在一小時以內的有60人，其余的員工每天使用微信的時間在一小時以上，假設將員工分成青年(年齡小于40歲)和中年(年齡不小于40歲)兩個階段，那么使用微信的人中75%是青年人．假設規定：每天使用微信時間在一小時以上為經常使用微信，那么經常使用微信的員工中eq\f(2,3)是青年人．(1)假設要調查該公司使用微信的員工經常使用微信與年齡的關系，列出2×2列聯表：青年人中年人總計經常使用微信不經常使用微信總計(2)由列聯表中所得數據判斷，是否有99.9%的把握認為“經常使用微信與年齡有關〞？附：χ2＝eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d).P(χ2≥x0)0.0100.001x06.63510.828[解](1)由可得，該公司員工中使用微信的有200×90%＝180(人)，經常使用微信的有180－60＝120(人)，其中青年人有120×eq\f(2,3)＝80(人)，使用微信的人中青年人有180×75%＝135(人)，所以2×2列聯表：青年人中年人總計經常使用微信8040120不經常使用微信55560總計135451805分(2)將列聯表中數據代入公式可得：χ2＝eq\f(180×80×5－55×402,120×60×135×45)≈13.333，由于13.333＞10.828，所以有99.9%的把握認為“經常使用微信與年齡有關〞.12分10．為了研究某種細菌在特定環境下隨時間變化的繁殖情況，得如下試驗數據：天數t(天)34567繁殖個數y(千個)2.5344.56(1)求y關于t的線性回歸方程；(2)利用(1)中的回歸方程，預測t＝8時的細菌繁殖個數．附：回歸直線的斜率和截距的最小二乘法估計公式分別為：b＝eq\f(\o(∑,\s\up12(n))\o(,\s\do14(i＝1))ti－\x\to(t)yi－\x\to(y),\o(∑,\s\up12(n))\o(,\s\do14(i＝1))ti－\x\to(t)2)，a＝eq\x\to(y)－beq\x\to(t).[解](1)由表中數據計算得，eq\x\to(t)＝5，eq\x\to(y)＝4，eq\o(∑,\s\up12(n))eq\o(,\s\do14(i＝1))(ti－eq\x\to(t))(yi－eq\x\to(y))＝8.5，eq\o(∑,\s\up12(n))eq\o(,\s\do14(i＝1))(ti－eq\x\to(t))2＝10，2分b＝eq\f(\o(∑,\s\up12(n))\o(,\s\do14(i＝1))ti－\x\to(t)yi－\x\to(y),\o(∑,\s\up12(n))\o(,\s\do14(i＝1))ti－\x\to(t)2)＝0.85，a＝eq\x\to(y)－beq\x\to(t)＝4－0.85×5＝－0.25.所以回歸方程為y＝0.85t－0.25.5分(2)將t＝8代入(1)的回歸方程中得y＝0.85×8－0.25＝6.55.10分故預測t＝8時，細菌繁殖個數為6.55千個.12分B組能力提升(建議用時：15分鐘)1．根據如下樣本數據：x345678y4.02.5－0.50.5－2.0－3.0得到的回歸方程為y＝bx＋a，那么()A．a＞0，b＞0 B．a＞0，b＜0C．a＜0，b＞0 D．a＜0，b＜0B[作出散點圖如下：觀察圖像可知，回歸直線y＝bx＋a的斜率b＜0，當x＝0時，y＝a＞0.故a＞0，b＜0.]2．(2022·贛中南五校聯考)心理學家分析發現視覺和空間想象能力與性別有關，某數學興趣小組為了驗證這個結論，從所在學校中按分層抽樣的方法抽取50名同學(男30女20)，給所有同學幾何題和代數題各一題，讓各位同學自由選擇一道題進行解答．選題情況如下表：(單位：人)幾何題代數題總計男同學22830女同學81220總計302050根據上述數據，推斷視覺和空間想象能力與性別有關系，那么這種推斷犯錯誤的概率不超過________．附表：P(χ2≥x)0.150.100.050.0250.0100.0050.001x2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.8280.025[由列聯表計算χ2的值χ2＝eq\f(50×22×12－8×82,30×20×20×30)≈5.556＞5.024，∴推斷犯錯誤的概率不超過0.025.]3．(2022·全國卷Ⅰ)某公司為確定下一年度投入某種產品的宣傳費，需了解年宣傳費x(單位：千元)對年銷售量y(單位：t)和年利潤z(單位：千元)的影響．對近8年的年宣傳費xi和年銷售量yi(i＝1,2，…，8)數據作了初步處理，得到下面的散點圖及一些統計量的值．圖9-4-5(1)根據散點圖判斷，y＝a＋bx與y＝c＋deq\r(x)哪一個適宜作為年銷售量y關于年宣傳費x的回歸方程類型？(給出判斷即可，不必說明理由)(2)根據(1)的判斷結果及表中數據，建立y關于x的回歸方程；(3)這種產品的年利潤z與x，y的關系為z＝0.2y－x.根據(2)的結果答復以下問題：①年宣傳費x＝49時，年銷售量及年利潤的預報值是多少？②年宣傳費x為何值時，年利潤的預報值最大？附：對于一組數據(u1，v1)，(u2，v2)，…，(un，vn)，其回歸直線v＝α＋βu的斜率和截距的最小二乘估計分別為β＝eq\f(\o(∑,\s\up12(n))\o(,\s\do14(i＝1))ui－\x\to(u)vi－\x\to(v),\o(∑,\s\up12(n))\o(,\s\do14(i＝1))ui－\x\to(u)2)，α＝eq\x\to(v)－βeq\x\to(u).[解](1)由散點圖可以判斷，y＝c＋deq\r(x)適宜作為年銷售量y關于年宣傳費x的回歸方程類型.4分(2)令w＝eq\r(x)，先建立y關于w的線性回歸方程．由于d＝eq\f(\i\su(i＝1,8,)wi－\x\to(w)yi－\x\to(y),\i\su(i＝1,8,)wi－\x\to(w)2)＝eq\f(108.8,1.6)＝68，c＝eq\x\to(y)－deq\x\to(w)＝563－68×6.8＝100.6，所以y關于w的線性回歸方程為y＝100.6＋68w，因此y關于