PAGEPAGE23第十二章統計考點1隨機抽樣用樣本估計總體1.(2022·山東,3)某高校調查了200名學生每周的自習時間(單位：小時),制成了如下圖的頻率分布直方圖,其中自習時間的范圍是[17.5,30],樣本數據分組為[17.5,20),[20,22.5),[22.5,25),[25,27.5),[27.5,30].根據直方圖,這200名學生中每周的自習時間不少于22.5小時的人數是()A.56B.60C.120D.1401.解析由題圖知,組距為2.5,故每周的自習時間不少于22.5小時的頻率為：(0.16＋0.08＋0.04)×2.5＝0.7,∴人數是200×0.7＝140人,應選D.答案D2.(2022·北京,8)某學校運動會的立定跳遠和30秒跳繩兩個單項比賽分成預賽和決賽兩個階段.下表為10名學生的預賽成績,其中有三個數據模糊.學生序號12345678910立定跳遠(單位：米)1.961.921.821.801.781.761.741.721.681.6030秒跳繩(單位：次)63a7560637270a－1B65在這10名學生中,進入立定跳遠決賽的有8人,同時進入立定跳遠決賽和30秒跳繩決賽的有6人,那么()A.2號學生進入30秒跳繩決賽B.5號學生進入30秒跳繩決賽C.8號學生進入30秒跳繩決賽D.9號學生進入30秒跳繩決賽2.解析由數據可知,進入立定跳遠決賽的8人為：1～8號,所以進入30秒跳繩決賽的6人需要從1～8號產生,數據排序后可知第3,6,7號必須進跳繩決賽,另外3人需從63,a,63,60,a－1四個得分中抽取,假設63分的人未進決賽,那么60分的人就會進入決賽,與事實矛盾,所以63分必進決賽.應選B.答案B3.(2022·四川,3)某學校為了了解三年級、六年級、九年級這三個年級之間的學生視力是否存在顯著差異,擬從這三個年級中按人數比例抽取局部學生進行調查,那么最合理的抽樣方法是()A.抽簽法B.系統抽樣法C.分層抽樣法D.隨機數法3.解析結合幾種抽樣的定義知選C.答案C4.(2022·北京,4)某校老年、中年和青年教師的人數見下表,采用分層抽樣的方法調查教師的身體狀況,在抽取的樣本中,青年教師有320人,那么該樣本的老年教師人數為()類別人數老年教師900中年教師1800青年教師1600合計4300A.90B.100C.180D.3004.解析由題意抽樣比為eq\f(320,1600)＝eq\f(1,5),∴該樣本的老年教師人數為900×eq\f(1,5)＝180(人).答案C5.(2022·陜西,2)某中學初中部共有110名教師,高中部共有150名教師,其性別比例如下圖,那么該校女教師的人數為()A.93B.123C.137D.1675.解析由題干扇形統計圖可得該校女教師人數為：110×70%＋150×(1－60%)＝137.應選C.答案C6.(2022·湖南,2)在一次馬拉松比賽中,35名運發動的成績(單位：分鐘)的莖葉圖如下圖假設將運發動按成績由好到差編為1～35號,再用系統抽樣方法從中抽取7人,那么其中成績在區間[139,151]上的運發動人數是()A.3B.4C.5D.66.解析由題意知,將1～35號分成7組,每組5名運發動,成績落在區間[139,151]的運發動共有4組,故由系統抽樣法知,共抽取4名.選B.答案B7.(2022·重慶,4)重慶市2022年各月的平均氣溫(℃)數據的莖葉圖如下：那么這組數據的中位數是()A.19B.20C.21.5D.237.解析由莖葉圖,把數據由小到大排列,處于中間的數為20,20,所以這組數據的中位數為20.答案B8.(2022·山東,6)為比擬甲、乙兩地某月14時的氣溫狀況,隨機選取該月中的5天,將這5天中14時的氣溫數據(單位：℃)制成如下圖的莖葉圖.考慮以下結論：①甲地該月14時的平均氣溫低于乙地該月14時的平均氣溫；②甲地該月14時的平均氣溫高于乙地該月14時的平均氣溫；③甲地該月14時的氣溫的標準差小于乙地該月14時的氣溫的標準差；④甲地該月14時的氣溫的標準差大于乙地該月14時的氣溫的標準差.其中根據莖葉圖能得到的統計結論的編號為()A.①③B.①④C.②③D.②④8.解析甲地5天的氣溫為：26,28,29,31,31,其平均數為x甲＝eq\f(26＋28＋29＋31＋31,5)＝29；方差為seq\o\al(2,甲)＝eq\f(1,5)[(26－29)2＋(28－29)2＋(29－29)2＋(31－29)2＋(31－29)2]＝3.6；標準差為s甲＝eq\r(3.6).乙地5天的氣溫為：28,29,30,31,32,其平均數為x乙＝eq\f(28＋29＋30＋31＋32,5)＝30；方差為seq\o\al(2,乙)＝eq\f(1,5)[(28－30)2＋(29－30)2＋(30－30)2＋(31－30)2＋(32－30)2]＝2；標準差為s乙＝eq\r(2).∴x甲＜x乙,s甲＞s乙.答案B9.(2022·陜西,9)某公司10位員工的月工資(單位：元)為x1,x2,…,x10,其均值和方差分別為eq\x\to(x)和s2,假設從下月起每位員工的月工資增加100元,那么這10位員工下月工資的均值和方差分別為()A.eq\x\to(x),s2＋1002B.eq\x\to(x)＋100,s2＋1002C.eq\x\to(x),s2D.eq\x\to(x)＋100,s29.解析方法一對平均數和方差的意義深入理解可巧解.因為每個數據都加上了100,故平均數也增加100,而離散程度應保持不變,應選D.方法二由題意知x1＋x2＋…＋xn＝nx,s2＝eq\f(1,n)[(x1－x)2＋(x2－x)2＋…＋(xn－x)2],那么所求均值y＝eq\f(1,n)[(x1＋100)＋(x2＋100)＋…＋(xn＋100)]＝eq\f(1,n)(nx＋n×100)＝x＋100,而所求方差t2＝eq\f(1,n)[(x1＋100－y)2＋(x2＋100－y)2＋…＋(xn＋100－y)2]＝eq\f(1,n)[(x1－x)2＋(x2－x)2＋…＋(xn－x)2]＝s2,應選D.答案D10.(2022·山東,8)為了研究某藥品的療效,選取假設干名志愿者進行臨床試驗,所有志愿者的舒張壓數據(單位：kPa)的分組區間為[12,13),[13,14),[14,15),[15,16),[16,17],將其按從左到右的順序分別編號為第一組,第二組,……,第五組.以下圖是根據試驗數據制成的頻率分布直方圖.第一組與第二組共有20人,第三組中沒有療效的有6人,那么第三組中有療效的人數為()A.6B.8C.12D.1810.解析由題意,第一組和第二組的頻率之和為0.24＋0.16＝0.4,故樣本容量為eq\f(20,0.4)＝50,又第三組的頻率為0.36,故第三組的人數為50×0.36＝18,故該組中有療效的人數為18－6＝12.答案C11.(2022·廣東,6)為了解1000名學生的學習情況,采用系統抽樣的方法,從中抽取容量為40的樣本,那么分段的間隔為()A.50B.40C.25D.2011.解析由eq\f(1000,40)＝25,可得分段的間隔為25.應選C.答案C12.(2022·重慶,3)某中學有高中生3500人,初中生1500人.為了解學生的學習情況,用分層抽樣的方法從該校學生中抽取一個容量為n的樣本,從高中生中抽取70人,那么n為()A.100B.150C.200D.25012.解析樣本抽取比例為eq\f(70,3500)＝eq\f(1,50),該校總人數為1500＋3500＝5000,那么eq\f(n,5000)＝eq\f(1,50),故n＝100,選A.答案A13.(2022·湖南,3)對一個容量為N的總體抽取容量為n的樣本,中選取簡單隨機抽樣、系統抽樣和分層抽樣三種不同方法抽取樣本時,總體中每個個體被抽中的概率分別為p1,p2,p3,那么()A.p1＝p2＜p3B.p2＝p3＜p1C.p1＝p3＜p2D.p1＝p2＝p313.解析根據抽樣方法的概念可知,簡單隨機抽樣、系統抽樣和分層抽樣三種抽樣,每個個體被抽到的概率都是p＝eq\f(n,N),故p1＝p2＝p3,應選D.答案D(2022·福建,13)某校高一年級有900名學生,其中女生400名.按男女比例用分層抽樣的方法,從該年級學生中抽取一個容量為45的樣本,那么應抽取的男生人數為________.14.解析由題意知,男生共有500名,根據分層抽樣的特點,在容量為45的樣本中男生應抽取人數：45×eq\f(500,900)＝25.]答案25(2022·江蘇,2)一組數據4,6,5,8,7,6,那么這組數據的平均數為________.15.解析這組數據的平均數為eq\f(1,6)(4＋6＋5＋8＋7＋6)＝6.答案6(2022·廣東,12)樣本數據x1,x2,…,xn的均值eq\x\to(x)＝5,那么樣本數據2x1＋1,2x2＋1,…,2xn＋1的均值為________.16.解析由x1,x2,…,xn的均值x＝5,得2x1＋1,2x2＋1,…,2xn＋1的均值為2x＋1＝2×5＋1＝11.答案1117.(2022·湖北,14)某電子商務公司對10000名網絡購物者2022年度的消費情況進行統計,發現消費金額(單位：萬元)都在區間[0.3,0.9]內,其頻率分布直方圖如下圖.(1)直方圖中的a＝________；(2)在這些購物者中,消費金額在區間[0.5,0.9]內的購物者的人數為________.17.解析由頻率分布直方圖及頻率和等于1可得0.2×0.1＋0.8×0.1＋1.5×0.1＋2×0.1＋2.5×0.1＋a×0.1＝1,解之得a＝3.于是消費金額在區間[0.5,0.9]內頻率為0.2×0.1＋0.8×0.1＋2×0.1＋3×0.1＝0.6,所以消費金額在區間[0.5,0.9]內的購物者的人數為：0.6×10000＝6000,故應填3,6000.答案(1)3(2)6000(2022·湖北,11)甲、乙兩套設備生產的同類型產品共4800件,采用分層抽樣的方法從中抽取一個容量為80的樣本進行質量檢測.假設樣本中有50件產品由甲設備生產,那么乙設備生產的產品總數為________件.解析分層抽樣中各層的抽樣比相同.樣本中甲設備生產的有50件,那么乙設備生產的有30件.在4800件產品中,甲、乙設備生產的產品總數比為5∶3,所以乙設備生產的產品總數為1800件.答案1800(2022·天津,9)某大學為了解在校本科生對參加某項社會實踐活動的意向,擬采用分層抽樣的方法,從該校四個年級的本科生中抽取一個容量為300的樣本進行調查.該校一年級、二年級、三年級、四年級的本科生人數之比為4∶5∶5∶6,那么應從一年級本科生中抽取________名學生.19.解析由分層抽樣的特點可得應該從一年級本科生中抽取eq\f(4,4＋5＋5＋6)×300＝60(名)學生.答案6020.(2022·北京,17)某市民用水擬實行階梯水價,每人月用水量中不超過w立方米的局部按4元/立方米收費,超出w立方米的局部按10元/立方米收費,從該市隨機調查了10000位居民,獲得了他們某月的用水量數據,整理得到如下頻率分布直方圖：(1)如果w為整數,那么根據此次調查,為使80%以上居民在該月的用水價格為4元/立方米,w至少定為多少？(2)假設同組中的每個數據用該組區間的右端點值代替,當w＝3時,估計該市居民該月的人均水費.20.解(1)如題圖所示,用水量在[0.5,3)的頻率的和為：(0.2＋0.3＋0.4＋0.5＋0.3)×0.5＝0.85.∴用水量小于等于3立方米的頻率為0.85,又w為整數,∴為使80%以上的居民在該月的用水價格為4元/立方米,w至少定為3.(2)當w＝3時,該市居民該月的人均水費估計為：(0.1×1＋0.15×1.5＋0.2×2＋0.25×2.5＋0.15×3)×4＋0.15×3×4＋[0.05×(3.5－3)＋0.05×(4－3)＋0.05×(4.5－3)]×10＝7.2＋1.8＋1.5＝10.5(元).即該市居民該月的人均水費估計為10.5元.21.(2022·四川,16)我國是世界上嚴重缺水的國家,某市為了制定合理的節水方案,對居民用水情況進行了調查,通過抽樣,獲得了某年100位居民每人的月均用水量(單位：噸),將數據按照[0,0.5),[0.5,1),……,[4,4.5]分成9組,制成了如下圖的頻率分布直方圖.(1)求直方圖中a的值；(2)設該市有30萬居民,估計全市居民中月均用水量不低于3噸的人數.說明理由；(3)估計居民月均用水量的中位數.21.解(1)由頻率分布直方圖,可知：月均用水量在[0,0.5)的頻率為0.08×0.5＝0.04.同理,在[0.5,1),[1.5,2),[2,2.5),[3,3.5),[3.5,4),[4,4.5)等組的頻率分別0.08,0.21,0.25,0.06,0.04,0.02.由1－(0.04＋0.08＋0.21＋0.25＋0.06＋0.04＋0.02)＝0.5×a＋0.5×a,解得a＝0.30.(2)由(1)知,100位居民月均用水量不低于3噸的頻率為0.06＋0.04＋0.02＝0.12.由以上樣本的頻率分布,可以估計30萬居民中月均用水量不低于3噸的人數為300000×0.12＝36000.(3)設中位數為x噸.因為前5組的頻率之和為0.04＋0.08＋0.15＋0.21＋0.25＝0.73>0.5.而前4組的頻率之和為0.04＋0.08＋0.15＋0.21＝0.48<0.5.所以2≤x<2.5.由0.50×(x－2)＝0.5－0.48,解得x＝2.04.故可估計居民月均用水量的中位數為2.04噸.22.(2022·新課標全國Ⅰ,19)某公司方案購置1臺機器,該種機器使用三年后即被淘汰.機器有一易損零件,在購進機器時,可以額外購置這種零件作為備件,每個200元.在機器使用期間,如果備件缺乏再購置,那么每個500元.現需決策在購置機器時應同時購置幾個易損零件,為此搜集并整理了100臺這種機器在三年使用期內更換的易損零件數,得下面柱狀圖.記x表示1臺機器在三年使用期內需更換的易損零件數,y表示1臺機器在購置易損零件上所需的費用(單位：元),n表示購機的同時購置的易損零件數.(1)假設n＝19,求y與x的函數解析式；(2)假設要求“需更換的易損零件數不大于n〞的頻率不小于0.5,求n的最小值；(3)假設這100臺機器在購機的同時每臺都購置19個易損零件,或每臺都購置20個易損零件,分別計算這100臺機器在購置易損零件上所需費用的平均數,以此作為決策依據,購置1臺機器的同時應購置19個還是20個易損零件？22.解(1)當x≤19時,y＝3800；當x>19時,y＝3800＋500(x－19)＝500x－5700.所以y與x的函數解析式為y＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3800，x≤19，,500x－5700，x>19，))(x∈N).(2)由柱狀圖知,需更換的零件數不大于18的頻率為0.46,不大于19的頻率為0.7,故n的最小值為19.(3)假設每臺機器在購機同時都購置19個易損零件,那么這100臺機器中有70臺在購置易損零件上的費用為3800,20臺的費用為4300,10臺的費用為4800,因此這100臺機器在購置易損零件上所需費用的平均數為eq\f(1,100)(3800×70＋4300×20＋4800×10)＝4000,假設每臺機器在購機同時都購置20個易損零件,那么這100臺機器中有90臺在購置易損零件上的費用為4000,10臺的費用為4500,因此這100臺機器在購置易損零件上所需費用的平均數為eq\f(1,100)(4000×90＋4500×10)＝4050.比擬兩個平均數可知,購置1臺機器的同時應購置19個易損零件.23.(2022·新課標全國Ⅱ,18)某公司為了解用戶對其產品的滿意度,從A,B兩地區分別隨機調查了40個用戶,根據用戶對產品的滿意度評分,得到A地區用戶滿意度評分的頻率分布直方圖和B地區用戶滿意度評分的頻數分布表.A地區用戶滿意度評分的頻率分布直方圖B地區用戶滿意度評分的頻數分布表滿意度評分分組[50,60)[60,70)[70,80)[80,90)[90,100]頻數2814106(1)在答題卡上作出B地區用戶滿意度評分的頻率分布直方圖,并通過直方圖比擬兩地區滿意度評分的平均值及分散程度(不要求計算出具體值,給出結論即可)；B地區用戶滿意度評分的頻率分布直方圖(2)根據用戶滿意度評分,將用戶的滿意度分為三個等級：滿意度評分低于70分70分到89分不低于90分滿意度等級不滿意滿意非常滿意估計哪個地區用戶的滿意度等級為不滿意的概率大？說明理由.23.解(1)通過兩地區用戶滿意度評分的頻率分布直方圖可以看出,B地區用戶滿意度評分的平均值高于A地區用戶滿意度評分的平均值；B地區用戶滿意度評分比擬集中,而A地區用戶滿意度評分比擬分散.(2)A地區用戶的滿意度等級為不滿意的概率大.記CA表示事件：“A地區用戶的滿意度等級為不滿意〞；CB表示事件：“B地區用戶的滿意度等級為不滿意〞.由直方圖得P(CA)的估計值為(0.01＋0.02＋0.03)×10＝0.6,P(CB)的估計值為(0.005＋0.02)×10＝0.25.所以A地區用戶的滿意度等級為不滿意的概率大.24.(2022·安徽,17)某企業為了解下屬某部門對本企業職工的效勞情況,隨機訪問50名職工,根據這50名職工對該部門的評分,繪制頻率分布直方圖(如下圖),其中樣本數據分組區間為[40,50),[50,60),…,[80,90),[90,100].(1)求頻率分布直方圖中a的值；(2)估計該企業的職工對該部門評分不低于80的概率；(3)從評分在[40,60)的受訪職工中,隨機抽取2人,求此2人的評分都在[40,50)的概率.24.解(1)因為(0.004＋a＋0.018＋0.022×2＋0.028)×10＝1,所以a＝0.006.(2)由所給頻率分布直方圖知,50名受訪職工評分不低于80的頻率為(0.022＋0.018)×10＝0.4.所以該企業職工對該部門評分不低于80的概率的估計值為0.4.(3)受訪職工中評分在[50,60)的有：50×0.006×10＝3(人),記為A1,A2,A3；受訪職工中評分在[40,50)的有：50×0.004×10＝2(人),記為B1,B2,從這5名受訪職工中隨機抽取2人,所有可能的結果共有10種,它們是{A1,A2},{A1,A3},{A2,A3},{A1,B1},{A1,B2},{A2,B1},{A2,B2},{A3,B1},{A3,B2},{B1,B2}.又因為所抽取2人的評分都在[40,50)的結果有1種,即{B1,B2},故所求的概率為p＝eq\f(1,10).25.(2022·廣東,17)某城市100戶居民的月平均用電量(單位：度),以[160,180),[180,200)，[200,220),[220,240),[240,260),[260,280),[280,300]分組的頻率分布直方圖如圖.(1)求直方圖中x的值；(2)求月平均用電量的眾數和中位數；(3)在月平均用電量為[220,240),[240,260),[260,280),[280,300]的四組用戶中,用分層抽樣的方法抽取11戶居民,那么月平均用電量在[220,240)的用戶中應抽取多少戶？25.解(1)由(0.002＋0.0095＋0.011＋0.0125＋x＋0.005＋0.0025)×20＝1得：x＝0.0075,所以直方圖中x的值是0.0075.(2)月平均用電量的眾數是eq\f(220＋240,2)＝230.因為(0.002＋0.0095＋0.011)×20＝0.45<0.5,所以月平均用電量的中位數在[220,240)內,設中位數為a,由(0.002＋0.0095＋0.011)×20＋0.0125×(a－220)＝0.5得：a＝224,所以月平均用電量的中位數是224.(3)月平均用電量為[220,240]的用戶有0.0125×20×100＝25戶,月平均用電量為[240,260)的用戶有0.0075×20×100＝15戶,月平均用電量為[260,280)的用戶有0.005×20×100＝10戶,月平均用電量為[280,300]的用戶有0.0025×20×100＝5戶,抽取比例＝eq\f(11,25＋15＋10＋5)＝eq\f(1,5),所以月平均用電量在[220,240)的用戶中應抽取25×eq\f(1,5)＝5戶.26.(2022·山東,16)海關對同時從A,B,C三個不同地區進口的某種商品進行抽樣檢測,從各地區進口此種商品的數量(單位：件)如下表所示.工作人員用分層抽樣的方法從這些商品中共抽取6件樣品進行檢測.地區ABC數量50150100(1)求這6件樣品中來自A,B,C各地區商品的數量；(2)假設在這6件樣品中隨機抽取2件送往甲機構進行進一步檢測,求這2件商品來自相同地區的概率.26.解(1)因為樣本容量與總體中的個體數的比是eq\f(6,50＋150＋100)＝eq\f(1,50),所以樣本中包含三個地區的個體數量分別是：50×eq\f(1,50)＝1,150×eq\f(1,50)＝3,100×eq\f(1,50)＝2.所以A,B,C三個地區的商品被選取的件數分別為1,3,2.(2)設6件來自A,B,C三個地區的樣品分別為A；B1,B2,B3；C1,C2.那么抽取的這2件商品構成的所有根本領件為：{A,B1},{A,B2},{A,B3},{A,C1},{A,C2},{B1,B2},{B1,B3},{B1,C1},{B1,C2},{B2,B3},{B2,C1},{B2,C2},{B3,C1},{B3,C2},{C1,C2},共15個.每個樣品被抽到的時機均等,因此這些根本領件的出現是等可能的.記事件D：“抽取的這2件商品來自相同地區〞,那么事件D包含的根本領件有{B1,B2},{B1,B3},{B2,B3},{C1,C2},共4個.所以P(D)＝eq\f(4,15),即這2件商品來自相同地區的概率為eq\f(4,15).27.(2022·新課標全國Ⅰ,18)從某企業生產的某種產品中抽取100件,測量這些產品的一項質量指標值,由測量結果得如下頻數分布表：質量指標值分組[75,85)[85,95)[95,105)[105,115)[115,125)頻數62638228(1)在下表中作出這些數據的頻率分布直方圖：(2)估計這種產品質量指標值的平均數及方差(同一組中的數據用該組區間的中點值作代表)；(3)根據以上抽樣調查數據,能否認為該企業生產的這種產品符合“質量指標值不低于95的產品至少要占全部產品80%〞的規定？27.解(1)(2)質量指標值的樣本平均數為x＝80×0.06＋90×0.26＋100×0.38＋110×0.22＋120×0.08＝100.質量指標值的樣本方差為s2＝(-20)2×0.06＋(-10)2×0.26＋0×0.38＋102×0.22＋202×0.08＝104.所以這種產品質量指標值的平均數的估計值為100,方差的估計值為104.(3)質量指標值不低于95的產品所占比例的估計值為0.38＋0.22＋0.08＝0.68.由于該估計值小于0.8,故不能認為該企業生產的這種產品符合“質量指標值不低于95的產品至少要占全部產品80%〞的規定.28.(2022·廣東,17)某車間20名工人年齡數據如下表：年齡(歲)工人數(人)191283293305314323401合計20(1)求這20名工人年齡的眾數與極差；(2)以十位數為莖,個位數為葉,作出這20名工人年齡的莖葉圖；(3)求這20名工人年齡的方差.28.解(1)由題可知,這20名工人年齡的眾數是30,極差是40－19＝21.(2)這20名工人年齡的莖葉圖如下圖：(3)這20名工人年齡的平均數為x＝eq\f(1,20)(19＋3×28＋3×29＋5×30＋4×31＋3×32＋40)＝30,∴這20名工人年齡的方差為s2＝eq\f(1,20)eq\i\su(i＝1,20,)(xi－x)2＝eq\f(112＋6×22＋7×12＋5×02＋102,20)＝eq\f(252,20)＝12.6.29.(2022·新課標全國Ⅱ,19)某市為了考核甲、乙兩部門的工作情況,隨機訪問了50位市民.根據這50位市民對這兩部門的評分(評分越高說明市民的評價越高),繪制莖葉圖如下：(1)分別估計該市的市民對甲、乙兩部門評分的中位數；(2)分別估計該市的市民對甲、乙兩部門的評分高于90的概率；(3)根據莖葉圖分析該市的市民對甲、乙兩部門的評價.29.解(1)由所給莖葉圖知,50位市民對甲部門的評分由小到大排序,排在第25,26位的是75,75,故樣本中位數為75,所以該市的市民對甲部門評分的中位數的估計值是75.50位市民對乙部門的評分由小到大排序,排在第25,26位的是66,68,故樣本中位數為eq\f(66＋68,2)＝67,所以該市的市民對乙部門評分的中位數的估計值是67.(2)由所給莖葉圖知,50位市民對甲、乙部門的評分高于90的比率分別為eq\f(5,50)＝0.1,eq\f(8,50)＝0.16,故該市的市民對甲、乙部門的評分高于90的概率的估計值分別為0.1,0.16.(3)由所給莖葉圖知,市民對甲部門的評分的中位數高于對乙部門的評分的中位數,而且由莖葉圖可以大致看出對甲部門的評分的標準差要小于對乙部門的評分的標準差,說明該市市民對甲部門的評價較高、評價較為一致,對乙部門的評價較低、評價差異較大.(注：考生利用其他統計量進行分析,結論合理的同樣給分.)30.(2022·湖南,17)某企業有甲、乙兩個研發小組.為了比擬他們的研發水平,現隨機抽取這兩個小組往年研發新產品的結果如下：(a,b),(a,eq\x\to(b)),(a,b),(eq\x\to(a),b),(eq\x\to(a),eq\x\to(b)),(a,b),(a,b),(a,eq\x\to(b)),(eq\x\to(a),b),(a,eq\x\to(b)),(eq\x\to(a),eq\x\to(b)),(a,b),(a,eq\x\to(b)),(eq\x\to(a),b),(a,b)其中a,eq\x\to(a)分別表示甲組研發成功和失敗；b,eq\x\to(b)分別表示乙組研發成功和失敗.(1)假設某組成功研發一種新產品,那么給該組記1分,否那么記0分.試計算甲、乙兩組研發新產品的成績的平均數和方差,并比擬甲、乙兩組的研發水平；(2)假設該企業安排甲、乙兩組各自研發一種新產品,試估計恰有一組研發成功的概率.30.解(1)甲組研發新產品的成績為1,1,1,0,0,1,1,1,0,1,0,1,1,0,1,其平均數為x甲＝eq\f(10,15)＝eq\f(2,3)；方差為seq\o\al(2,甲)＝eq\f(1,15)[(1－eq\f(2,3))2×10＋(0－eq\f(2,3))2×5]＝eq\f(2,9).乙組研發新產品的成績為1,0,1,1,0,1,1,0,1,0,0,1,0,1,1,其平均數為x乙＝eq\f(9,15)＝eq\f(3,5)；方差為seq\o\al(2,乙)＝eq\f(1,15)[(1－eq\f(3,5))2×9＋(0－eq\f(3,5))2×6]＝eq\f(6,25).因為x甲＞x乙,seq\o\al(2,甲)＜seq\o\al(2,乙),所以甲組的研發水平優于乙組.(2)記E＝{恰有一組研發成功}.在所抽得的15個結果中,恰有一組研發成功的結果是(a,b),(a,b),(a,b),(a,b),(a,b),(a,b),(a,b),共7個,故事件E發生的頻率為eq\f(7,15).將頻率視為概率,即得所求概率為P(E)＝eq\f(7,15).考點2變量間的的相關關系與統計案例1.(2022·新課標全國Ⅱ,3)根據下面給出的2022年至2022年我國二氧化硫年排放量(單位：萬噸)柱形圖,以下結論中不正確的選項是()A.逐年比擬,2022年減少二氧化硫排放量的效果最顯著B.2022年我國治理二氧化硫排放顯現成效C.2022年以來我國二氧化硫年排放量呈減少趨勢D.2022年以來我國二氧化硫年排放量與年份正相關1.解析從2022年起,將每年的二氧化硫排放量與前一年作差比擬,得到2022年二氧化硫排放量與2022年排放量的差最大,A選項正確；2022年二氧化硫排放量較2022年降低了很多,B選項正確；雖然2022年二氧化硫排放量較2022年多一些,但自2022年以來,整體呈遞減趨勢,即C選項正確；自2022年以來我國二氧化硫年排放量與年份負相關,D選項錯誤.應選D.答案D2.(2022·湖北,4)變量x和y滿足關系y＝－0.1x＋1,變量y與z正相關,以下結論中正確的選項是()A.x與y正相關,x與z負相關B.x與y正相關,x與z正相關C.x與y負相關,x與z負相關D.x與y負相關,x與z正相關2.解析因為y＝－0.1x＋1,－0.1<0,所以x與y負相關.又y與z正相關,故可設z＝ay＋b(a>0),所以z＝－0.1ax＋a＋b,－0.1a<0,所以x與z負相關.應選C.答案C(2022·江西,7)某人研究中學生的性別與成績、視力、智商、閱讀量這4個變量的關系,隨機抽查了52名中學生,得到統計數據如表1至表4,那么與性別有關聯的可能性最大的變量是()表1表2性別成績不及格及格總計男61420女102232總計163652性別視力好差總計男41620女122032總計163652表3表4性別閱讀量豐富不豐富總計男14620女23032總計163652性別智商偏高正常總計男81220女82432總計163652成績B.視力C.智商D.閱讀量3.解析因為χeq\o\al(2,1)＝eq\f(52×〔6×22－14×10〕2,16×36×32×20)＝eq\f(52×82,16×36×32×20),χeq\o\al(2,2)＝eq\f(52×〔4×20－16×12〕2,16×36×32×20)＝eq\f(52×1122,16×36×32×20),χeq\o\al(2,3)＝eq\f(52×〔8×24－12×8〕2,16×36×32×20)＝eq\f(52×962,16×36×32×20),χeq\o\al(2,4)＝eq\f(52×〔14×30－6×2〕2,16×36×32×20)＝eq\f(52×4082,16×36×32×20),答案D4.(2022·湖北,6)根據如下樣本數據x345678y4.02.5－0.50.5－2.0－3.0得到的回歸方程為eq\o(y,\s\up6(^))＝bx＋a,那么()A.a＞0,b＜0B.a＞0,b＞0C.a＜0,b＜0D.a＜0,b＞04.解析由散點圖知b<0,a>0,選A.答案A5.(2022·北京,14)高三年級267位學生參加期末考試,某班37位學生的語文成績,數學成績與總成績在全年級中的排名情況如以下圖所示,甲、乙、丙為該班三位學生.從這次考試成績看,①在甲、乙兩人中,其語文成績名次比其總成績名次靠前的學生是________；②在語文和數學兩個科目中,丙同學的成績名次更靠前的科目是________.5.解析①由散點圖可知：越靠近坐標原點O名次越好,乙同學語文成績好,而總成績年級名次靠后；而甲同學語文成績名次比總成績名次差,所以應是乙同學語文成績名次比總成績名次靠前.②丙同學總成績年級名次比數學成績年級名次差,所以丙同學成績名次更靠前的是數學.答案乙數學6.(2022·新課標全國Ⅰ,19)某公司為確定下一年度投入某種產品的宣傳費,需了解年宣傳費x(單位：千元)對年銷售量y(單位：t)和年利潤z(單位：千元)的影響,對近8年的年宣傳費xi和年銷售量yi(i＝1,2,…,8)數據作了初步處理,得到下面的散點圖及一些統計量的值.eq\x\to(x)eq\x\to(y)eq\x\to(w)eq\i\su(i＝1,8,)(xi－eq\x\to(x))2eq\i\su(i＝1,8,)(wi－eq\x\to(w))2eq\i\su(i＝1,8,)(xi－eq\x\to(x))·(yi－eq\x\to(y))eq\i\su(i＝1,8,)(wi－eq\x\to(w))·(yi－eq\x\to(y))46.65636.8289.81.61469108.8表中wi＝eq\r(xi),eq\x\to(w)＝eq\f(1,8)eq\i\su(i＝1,8,w)i.(1)根據散點圖判斷,y＝a＋bx與y＝c＋deq\r(x)哪一個適宜作為年銷售量y關于年宣傳費x的回歸方程類型？(給出判斷即可,不必說明理由)(2)根據(1)的判斷結果及表中數據,建立y關于x的回歸方程；(3)這種產品的年利潤z與x,y的關系為z＝0.2y－x.根據(2)的結果答復以下問題：①年宣傳費x＝49時,年銷售量及年利潤的預報值是多少？②年宣傳費x為何值時,年利潤的預報值最大？附：對于一組數據(u1,v1),(u2,v2),…,(un,vn),其回歸直線v＝α＋βu的斜率和截距的最小二乘估計分別為eq\o(β,\s\up6(^))＝eq\f(\i\su(i＝1,n,)ui－\x\to(u)vi－\x\to(v),\i\su(i＝1,n,)ui－\x\to(u)2),eq\o(α,\s\up6(^))＝eq\x\to(v)－eq\o(β,\s\up6(^))eq\x\to(u).6.解(1)由散點圖可以判斷,y＝c＋deq\r(x)適宜作為年銷售量y關于年宣傳費x的回歸方程類型.(2)令w＝eq\r(x),先建立y關于w的線性回歸方程,由于eq\o(d,\s\up6(^))＝＝eq\f(108.8,1.6)＝68,eq\o(c,\s\up6(^))＝y－eq\o(d,\s\up6(^))w＝563－68×6.8＝100.6,所以y關于w的線性回歸方程為eq\o(y,\s\up6(^))＝100.6＋68w,因此y關于x的回歸方程為eq\o(y,\s\up6(^))＝100.6＋68eq\r(x).(3)①由(2)知,當x＝49時,年銷售量y的預報值eq\o(y,\s\up6(^))＝100.6＋68eq\r(49)＝576.6,年利潤z的預報值eq\o(z,\s\up6(^))＝576.6×0.2－49＝66.32.②根據(2)的結果知,年利潤z的預報值eq\o(z,\s\up6(^))＝0.2(100.6＋68eq\r(x))－x＝－x＋13.6eq\r(x)＋20.12.所以當eq\r(x)＝eq\f(13.6,2)＝6.8,即x＝46.24時,eq\o(z,\s\up6(^))取得最大值.故年宣傳費為46.24千元時,年利潤的預報值最大.7.(2022·重慶,17)隨著我國經濟的開展,居民的儲蓄存款逐年增長.設某地區城鄉居民人民幣儲蓄存款(年底余額)如下表：年份20222022202220222022時間代號t12345儲蓄存款y(千億元)567810(1)求y關于t的回歸方程eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))t＋eq\o(a,\s\up6(^))；(2)用所求回歸方程預測該地區2022年(t＝6)的人民幣儲蓄存款.附：7.解(1)列表計算如下itiyiteq\o\al(2,i)tiyi11515226412337921448163255102550∑153655120這里n＝5,t＝eq\f(1,n)eq\i\su(i＝1,n,t)i＝eq\f(15,5)＝3,y＝eq\f(1,n)eq\i\su(i＝1,n,y)i＝eq\f(36,5)＝7.2.又ltt＝lty＝從而＝eq\f(lty,ltt)＝eq\f(12,10)＝1.2,a^＝y－b^t＝7.2－1.2×3＝3.6,故所求回歸方程為y^＝1.2t＋3.6.(2)將t＝6代入回歸方程可預測該地區2022年的人民幣儲蓄存款為y^＝1.2×6＋3.6＝10.8(千億元).回歸方程eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))t＋eq\o(a,\s\up6(^))中,eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(\i\su(i＝1,n,t)