發展學生基本活動經的探索與實踐張丹2013年6月15日16日，在華東師范大學召開了“未來十年中國數學教育展望學術研討會對未來十年中國數學教育進行了展望。這是一件令人興奮的事情。作為一名小學數學教育工作者，自己也有一個展望和期待；期待著“人人都能獲得良好的數學教育這一目標能夠初步實現要實現這個目標首先需要對什么是“良好”刻畫清楚。盡管大家可能對“良好”有著多角度的理解，但使學“獲得適應社會生活和進一步發展所必需的數學的基礎知識基本技能基本思想基本活動經驗發現和提出問題的能力析和解決問題的能力無疑應是“良好”的應有含義之一。于是，展望未來的十年，我們能在基本活動經驗、基本思想、發現與提出問題能力等的構成和培養方面進行較為深入的研究；幫助學生積累基本活動經驗、體會基本思想、發展發現與提出問題能力，成為一線優秀教師的自覺行為。一、對基本活動經的理解基本活動經驗的內涵及包含的內容是什么呢？有關這方面的研究成果并不多這里摘錄一些觀點史寧中指出基本活動經驗包括思維的經驗和實踐的經驗。張奠宙指出數學經驗，依賴所從事的數學活動具有不同的形式。大體上可以有以下不同的類型直接數學活動經（直接聯系日常生活經驗的數學活動所獲得的經驗間接數學活動經驗（創設實際情景構建數學模型所獲得的數學經驗門設計的數學活動經（由純粹的數學活動所獲得的經驗境聯結性數學活動經（通過實際情景意境的溝通借助想象體驗數學概念和數學思想的本質天、景敏指出學活動經驗的內容包括數學思想方法、數學思維方法數學活動過程中的體驗斌指出們還可以將基本活動經驗進一步細化它包括基本的數學操作經驗基本的數學思維活動經（歸納的經驗，數據分析、統計推斷的經驗，幾何推理的經驗等現問題、提出問題、分析問題、解決問題的經驗在以上觀點中筆者贊同基本活動經驗包括思維的經驗和實踐的經驗進一步，可以將思維的經驗細化為相輔相成的兩方面。

第一，通過數學學習發展一般的思維經驗，特別是“從頭到尾”發現問題、提出問題分析問題和解決問題的經驗包括可以發現和提出哪些問題遇到這些問題后可以從哪些角度來分析問題如何制定解決問題的方案并實施解決了這個問題又可以提出哪些新的問題。第二，通過數學學習發展數學的思維的經驗。在“課程標準”修訂中，提出了三個基本思想抽象推理和模型這三個基本思想實際上也代表了數學的三個基本的思維過程人們通過抽象從客觀世界中得到數學的概念和法則建立了數學學科；通過推理，進一步得到更多的結論，促進數學內部的發展；通過建立模型，把數學應用到客觀世界中，架設了數學與外部世界溝通的橋梁。二、運多種途徑，展學生現和提出問的經驗在培養學生發現和提出問題能力的目標上達到共識后要的是如何在數學實踐中加以實現實際上在目前的小學課堂中學生發現和提出問題的機會是非常少的。據筆者對于某一次“公開研討課”的課堂觀察，在12節數學課中竟沒有一個鼓勵學生提出問題的活動然生在課堂中也沒有提出一個問也許他們的心中是有的為此，筆者及帶領的北京市小學數學市級學科帶頭人與骨干教師工作室團隊，初步設計和實踐了鼓勵學生提出問題的四條途徑。1.面臨情境或將要學習的內容，鼓勵學生自主地發現和提出問題在義務教育階段首先需要培養學生的是發現和提出問題的意識和習慣所以最好的途徑是給學生自主提出問題的機會實際上當面臨情境或將要學習的內容時如果給學生比較充分的思考時間他們是可以提出不少很有價值的問題的。例如在對北京市房山區166名六年級學生的抽樣調查中當生面對將要學習的“圓柱”這一學習對象，鼓勵他們提出自己感興趣的研究問題時，他們能夠提出的有意義的數學問題平均數量為個提問涉及的方面排名前三的是：圓柱的測量、圓柱的特征、圓柱與其他圖形的關系。特別地，學生還提出了不少“新穎性的問題比如圓柱有幾類？圓柱是由什么圖形變化而來的？可以怎么制作圓柱？圓柱有周長嗎如果有什么是圓柱的周長？為什么它叫做圓柱？如果在圓柱中間（截一個面積最大的圖形會是什么圖形？如果一個長方體

的表面積和圓柱的表面積一樣，它們的容積相等嗎？2.在解決完一個問題后，利用”方法鼓勵學生提出新的問題布朗和沃爾特（BrownandWalter）得到提出問題一個很有用的方法—“否定假設法what-if-not果它不是這樣的，那有可能是什么呢從原問題出發產生新問題的非常有效的辦法運用這種策略提出問題有兩個關鍵步驟：首先，列出情境信息的特征；而后是學生選擇一些特征加以改變來提出問題比如，一位教師首先鼓勵學生解決如下的問題。亮亮家、芳芳家和學校的位置如圖。星期天要到校參加實踐活動，他們點從家里出發，7點5分同時到達學校。亮亮從家到學校每分鐘走50，芳芳從家到學校每分鐘走40米。亮亮家到芳芳家的距離是多少米？亮亮家

學校

芳芳家通過獨立思考合作交流師生共同整理了上面問題中所包含的信息同時出發、相對而行、在一條直線上行走、行走的速度、行走的時間、關于相遇的情境等。接著，教師提出問題能把其中的一個信息進行改變，從而再提出一個問題嗎？”于是，學生改變信息，思考“如果不是在一條直線上行駛，會怎么樣呢如果不是相對而行，會怎么樣呢果不是同時到達，會怎么樣呢產生一個又一個的新問題。3.在學習完所學內容后，鼓勵學生提出進一步想要研究的問題與前面提到的第1點相類似在學習完所有內容后鼓勵學生提出進一步想要研究的問題。比如，在學習“質數與合數”內容后，教師鼓勵學生提出自己感興趣的問題。下面，就是部分學生提出的“有趣”問題：⑴學習質數和合數有什么用？⑵有沒有一個辦法，能更快速地找到質數？⑶質數有沒有公式？⑷有沒有最大的質數？

⑸合數的因數是不是有無限多？⑹2與3差13與5差，與7差2，11與7差?是否有一定的規律？⑺哥德巴赫猜想研究的是什么？4.設計專門的活動，鼓勵學生發現和提出問題“綜合與實踐是一類以問題為載體、以學生自主參與為主的學習活動現并選擇可以研究的問題并清晰地加以表述無疑是其中重要的一環因此教師可以鼓勵學生通過自主發現、小組甄選、討論分析、清晰表述等過程，從生活中、學習中發現和提出具有挑戰性的問題。教師還可以安排一些專門的活動，鼓勵學生思考并討論：自己提出的問題是什么意思？什么是一個合理的問題？什么是一個數學問題？一個問題的基本結構是什么？大家所提的問題有幾類？你是怎樣想到這個問題的，是什么啟發了你？鼓勵學生積累發現和提出問題的經驗。三、設思維鏈，鼓學生“頭到尾”地考問題如前所述，通過數學學習需要發展學生“從頭到尾”發現問題、提出問題、分析問題和解決問題的經驗在此過程中學生的思維構成了一根有內在邏輯的鏈條，即“思維鏈以往的小學教學中，不少的課堂是缺乏“思維鏈”的，使得學生的思維斷斷續續，甚至迷失在大量的活動中。比如，看下面一個常見的“圓錐體積”的課堂活動設計。活動1活動2

通過情境，引入圓錐體積，提出需要得到體積公式。操作活動要求學生將“空心”圓錐學具中填滿沙子不斷倒入等底等高的“空心”圓柱學具中，學生發現一共可以倒3次而倒滿。活動3

由相應的圓柱體積公式導出圓錐體積公式。上面的三個活動看似層層深入實際上卻忽視了學生真實的思考路徑在活動2中學生不知為什么要做這個操作活動更像是一個簡單操作者而不是一個積極思考者。于是，可以設計如下的問題系列，促使學生形成“思維鏈問題1要想得到圓錐的體積，你準備如何做？

學生可能會提出兩種方法：物理測量的方法；類比以前學過的圓柱體積。問題2猜想圓錐的體積與什么有關？不少學生會根據下圖，猜想圓錐的體積是等底等高的圓柱體積的二分之一。問題3驗證你的猜想，即完成上面提到的活動問題4提出進一步的問題。有的學生會提出為什么不是二分之一呢？有的學生會提出為什么是三分之一呢？教師根據實際情況鼓勵學生客商討論或課下延伸思考。以上“思維鏈可以是教師通過問題系列加以引導如果是學生能夠自我形成就更好了當然這需要長期的實踐實際上上面的活動也體現了數學地思維的經驗如如何推理的經驗—通過類比推理進行猜想過操作驗證猜想。四、設核心活動，現活動蘊含的教育值、順學生的思維徑史寧中指出基本活動經驗是指學生親自或間接經歷了活動過程而獲得的經驗可見設計核心活動使學生經歷活動過程是積累活動經驗的重要途徑需

要指出的是，這些“活動”都必須有明確的數學內涵和數學目的，體現數學的本質，才能稱得上是“數學活動數學活動中，學生大致需要經過“經歷、內化、概括、遷移”的過程，充分調動數學思維，將活動所得不斷內化和概括，最終遷移到其他的活動和學習中。要設計出有價值的數學活動離不開對于活動所蘊含的教育價值知識之間的實質聯系學生思維水平和思維路徑的深入了解這不由又引起筆者對于未來十年小學教學教育的又一展望：——基于教育價值的深入分析、知識之間的實質聯系、學生思維水平和思路路徑深入了解的課程內容和活動設計的整體構建將初步形成。——一些更好地體現教育價值的課程建構已經完成并經過了實驗的初步檢驗。比如，基于數據分析觀念發展的統計課程的建構；突出直觀、發展推理、滲透動態觀點的幾何課程的建構代數思維的早期滲透與整體建構真正體現應用意識的解決問題課程的建構。——基于證據的學生思維水平和思維路徑的成果不斷涌現在一些核心內容上初步形成中國小學生數學學習的規律。——以上成果體現在新一輪的課程標準的制定中。總之無論是活動當時得到的經驗還是活動之后通過反思得到的經驗還是受別人啟發而得出的經驗是學生本人摸索出的經驗還