行列式的計算方法及應用畢業論文山西師范大學現代文理學院本科畢業論文行列式的計算方法及應用姓名 張建民 系別 數學與計算機科學專 業 數學與應用數學班 級 1004學 號 1090110403指導教師 王翠紅 答辯日期 成績行列式的計算方法及應用內容摘要科學研究、工程技術和經濟活動中有許多問題可歸結為線性方程組，行列式正是由研究線性方程組產生的，并成為一種重要的數學工具，因此懂得解行列式就非常重要。本文總結了行列式的十一種計算方法，并對每種方法進行例題跟蹤。另外還敘述了行列式在初中代數和解析幾何兩個方面的應用。【關鍵詞】線性方程組行列式初中代數解析幾何CalculatingmethodsofdeterminantanditsapplicationAbstractScientificresearch,engineeringandeconomicactivitiesandtherearealotofproblemscanbeformulatedaslinearequations,thedeterminantisgeneratedbyasystemoflinearequations,andbecomeanimportantmathematicaltool,soitisveryimportanttoknowthesolutiondeterminant?Thispapersummarizeselevenmethodsofcalculatingthedeterminant,andeachmethodareexamplesoftracking?Alsodescribesthedeterminantintheapplicationofthetwoaspectsofjuniorhighschoolalgebraandanalyticgeometry【KeyWords】linearequationsDeterminantjuniorhighschoolalgebraanalyticGeometry目錄TOC\o"1-5"\h\z前言 1\o"CurrentDocument"一、 行列式的計算方法 3（一） 利用行列式定義計算 3（二） 利用行列式的性質計算 4（三） 化三角形法 4（四） 降階法 5（五） 遞推公式法 5（六） 利用范德蒙行列式 7（七） 加邊法 8（八） 數學歸納法 8（九） 連加法 9（十）拆項發 9（十一）析因子法 10\o"CurrentDocument"二、 行列式的應用 10（一） 行列式在代數中的應用 11（二） 行列式在幾何中的應用 12參考文獻 14致謝 15行列式的計算方法及應用學生姓名：張建民指導老師：王翠虹■>■刖言解方程是代數中一個基本問題，特別是在中學所學代數中，解方程占有重要地位。比如說，如果一段導線的電阻為R，它兩端的點位差為V，那么通過這段導線的電流強度為I,就可以用關系式表示IR二V求出來。這就是通常所謂解一元一次方程的問題。在中學所學代數中，我們解過一元、二元、三元以至四元一次方程組。下面討論一般的多元一次方程組，即線性方程組。對于二元線性方程組廠ax+ax二b,J111 122 1ax+ax二b,，2112222當aa-aa豐0時，此方程組有唯一解，即11221221ba-ab ab-abx=—^-22 212，x=― 121.aa-aa2aa-aa1122122111221221稱aa-aa為二級行列式，用符號表示為11221221aa—aa=111211221221aa2122aa1112豐0a2221即balabI112111baabx=2—— ,x=121―|.1aa2aa11121112aaaa2122121221當二級行列式時，該方程組有唯一解,對于三元線性方程組有相仿的結論。設有三元線性方程組TOC\o"1-5"\h\za x +a x + a x =b ,11 1 12 2 13 3 1<a x +a x + a x =b ,21 1 22 2 23 3 2a x +a x + a x =b .31 1 32 2 33 3 3

稱代數式aaa+aaa+aaa—aaa—aaa—aaa為三112233122331132132112332122133132231級行列式，用符號表示為：aaa+aaa+aaa—aaa—aaa—aaa112233122331 132132112332122133132231aaa111213=aaa.212223aaa313233我們有：當三級行列式aaa111213d=aaa豐0212223aaa313233時，上述三元線性方程組有唯一解，解為dddx—-1-,x—T-,x—1d2d3dbaaadaaad1 12 131111311121其中d=baad=adad—aad1 2 22 23221223321222baaadaaad3 32 333133331323把這個結果推廣到n元線性方程組ax+ax+-??+ax—b,1111221nn1ax+ax+?-?+ax—b,<2112222nn2ax+ax+-??+ax—bn1 1n2 2nnnn的情形。為此將要給出n級行列式的定義及計算方法。定義皿n級行列式aa ?…a11121naa ?…a21222naa ?…an1n2nn等于所有取自不同行不同列的n個元素的乘積TOC\o"1-5"\h\zaa…a (5)1j12j2 叭的代數和，這里jj…j是1,2,…,n的一個排列，每一項⑸都按下列規則帶有符12n號：當jj…j是偶排列時，(5)帶有正號，當jj…j是奇排列時，(5)帶負號。12n 12n這一定義可以寫成

a11a21a11a21a12a22a1na2n=E (-1)T(jj…丿；)a a1j12j2 njjj…jan2an1an2an1這里工j1j…jnn級行列式性質：[2]nn表示對所有n級排列求和。（1）把行列式的各行變為相應的列，所得行列式與原行列式相等。（2） 把行列式的兩行（兩列）對調，所得行列式與原行列式絕對值相等，符號相反。（3） 把行列式的某一行（或一列）的所有元素乘以某個數k，等于用數k乘原行列式。（4） 如果行列式某兩行（或兩列）的對應元素成比例，那么行列式等于零。（5） 如果行列式的某一行（一列）的元是二項式，那么這個行列式等于把這些二項式各取一項作成相應行（或列）而其余行（或列）不變的兩個行列式的和。（6） 把行列式某一行（或列）的所有元同乘以一個數k，加到另一行（或一列）的對應元上，所得行列式與元行列式相等。（7） 行列式某一行（或一列）的各元與另一行（或一列）對應元的代數余子式的乘積的和等于零。⑻行列式等于它的任意一行（或一列）的所有元與它們各自對應的代數余子式的乘積的和。一、行列式的計算方法（一）、利用行列式定義計算例1計算行列式00020030D二04005000解：展開式中項的一般形式是aaaa.1j1 2j2 3j3 4j4顯然，如果j豐5，那么a=0，從而這個項都等于零。因此只需考慮j=5的1 1j1 1

那些項；同理，只需考慮j二4,j二3,j二2這些列指標的項。這就是說行列式234不為零的項只有aaaa這一項，而t（3421）二6這一項前面的符號應該是正14233241的。所以D=2?3?4?5=120（二）利用行列式的性質計算例2計算n級行列式cdddcdd=ddcddd…d…d…d…c直到第n列也加到第一列,即得…d…d…d解：這個行列式的特點是每一行有一個元素是c，其余直到第n列也加到第一列,即得…d…d…dc+(n—1)dc+(n—1)dc+(n—1)dc+(n一1)ddd

d

d把第二行到第n行都分別加上第一行的把第二行到第n行都分別加上第一行的-1倍,d= +(n—1)d-就有…d…d…d根據例1得d=L+(n—1)d]c—d)n—1（三）化三角形法化三角形法是利用行列式的性質將原行列式化為上（下）三角形行列式計算的一種方法,它是計算行列式的重要方法之一。因為利用行列式的定義容易計算上（下）三角形行列式。因此,在許多情況下,總是先利用行列式的性質將其作保值變形,再將其化為三角形行列式。例3計算行列式

0 1131-102D二-2301101-102"3飛Dr4=2-01130-13-2031-41-102竺-01130041r4-3r200-2—131-10r+2r3=401100-2r呂r3 4000-43=50-13-25（四）降階法降階法是按某一行（或一列）展開行列式，這樣可以降低一階，更一般地是用拉普拉斯定理，這樣可以降低多階，為了使運算更加簡便，往往是先利用列式的性質化簡，使行列式中有較多的零出現，然后再展開.例5計算行列式1-101012D二23 4 7241解C-C 0241解C-C 0D=30-23C4-2c3120r1二4r3214-12412104-1=(-1)2+323-112212-6=-(-1)3+1=—21r2+2r3（五）、遞推公式法應用行列式的性質，把一個n階行列式表示為具有相同結構的較低階行列式比如，n-1階或n-1階與n-2階等）的線性關系式，這種關系式稱為遞推關系式。根據遞推關系式及某個低階初始行列式（比如二階或一階行列式）的值，

便可遞推求得所給n階行列式的值，這種計算行列式的方法稱為遞推法。例6計算n階行列式解按第一列展開30—3Dn—2于是有D—3Dn i-3D—3Dn i-3DTOC\o"1-5"\h\zn—1 n—1 n—2 n—2 n—3D—D二3(D—D)二32(D —D)n n—1 n—1 n—2 n-2 n—3…二3n-2(D—D)二3n21從上兩式削去D ，得D=丄(3n+1—1)n—1 n2對于形如「????*1的所謂三角行列式，可直接展開得兩項遞推公式D=aD+pD，然后采用如下一些方法求解。n n—1 n—2方法1如果n較小，則直接遞推計算。方法2用第二數學歸納法：即驗證n=1時結論成立，設n<k結論成立，若證明n=k+1時結論也成立，則對任意自然數結論相應也成立。方法3將D=aD+PD變形為D—pD=q(D—pD)，其中n n—1 n—2 n n—1 n—1 n—2由韋達定理知p和q是一元二次方程x2—(Xx—B=0的兩個根。確定p和q后,令f(x)二D—pD，利用f(n)二qf(n—1)遞推求出f(n)，再由D二pD+f(n)n n—1 n n—1

遞推求出D方法4設D=xn.代入D—aD —pD =0得xn—axn—1—pxn—2=0因此n n n—1 n—2有x2—ax—p=0（稱為特征方程），求出其根x和x（假設x豐x），則1212D=kxn+kxn.這里k,k可通過取n=1和n=2來確定。n 1 1 2 2 1 2例4求n階行列式的值解按第一行展開得D二-解按第一行展開得D二-Dn n-2+Dn—2二0.作特征方程x2+1=0解得x=i,xx=i,x=—i，則12D=a-in+b-(-i)nn當n=1時,D=0，代入(1)式得ia-ib=0;當n二2時,1D=-1，代入（1）得2一a一a一b=一1聯立求解得a（六）利用范德蒙行列式

例7計算行列式11…1x+1x+1… x+112nx2+xx2+x… x2+x1.12.2n nxn—1+xn—2xn—1+xn—2…xn—1+xn—21122nD=解 把第1行的一1倍加到第2行，把新的第2行的一1倍加到第3行，以此類推直到把新的第n-1行的一1倍加到第n行，便得范德蒙行列式x1

x2x1

x21x2x22xnx2n=n(a—a)ij1<j<i<nxnxn-12xn-1

nxn—11其中“n”表示連乘號。

（七）、加邊法計算某些行列式有時特意把原行列式加上一行一列再進行計算，這種計算行列式的方法叫做加邊法。當然，加邊后要保證行列式的值不變，并且要使所得的高一階行列式容易計算。要根據需要和原行列式的特點選取所加的行和列。加法適用于某一行（列）有一個相同的字母外，也可用于其列（行）的元素分別為n-1個元素的倍數的情況。例8計算行列式解給原行列式加邊1000100011+a11111+b11111+d1111一r1111一r+r_L i一1a001c+ca上一10b0i>1-100d1c+cb3 1丄c+cd3 1十)abd1111+一+一+一111abd0a0000b0000da（八）、數學歸納法首先利用不完全歸納法尋找出行列式的猜想值，再用數學歸納法給出猜想的證明。但給定一個行列式要猜想其值是比較困難的，因此數學歸納法一般是用來證明行列式等式。例9計算n階行列式-1-1x+a1二x(x+a)+a12x-10…00x-1…00D=?????n000…x-1aaa…aa+xnn-1n-221解用數學歸納法當n=2時=x2+ax+a假設n=k時，有D二xk+axk—1+axk—2+ +ax+aTOC\o"1-5"\h\zk 1 2 k—1 k則當n二k+1時，把D按第一列展開，得k+1D二xD+Dk+1 k k+1=x(xk+axk—1+—fax+a)+a1 k—1 k k+1=xk+1+axkh fax2+ax+a1 k—1 k k+1（九）連加法如果行列式中某列（行）加上其余各列（行）使該列（行）元素均相等或出現較多零，進而簡化行列式的計算方法稱為連加法。例10計算行列式xaaaaxaaaaxaaaax解它的特點是各列元素之和為（3a+x），因此把各行都加到第一行，然而第一行再提出（3a+x），得D二(3a+x)D二(3a+x)1111axaaaaxaaaax將第一行乘以（-a）分別加到其余各行,化為三角形行列式，則D二(3a+x)1000=(3a+x)(x—a)3（十）拆項發把行列式的某一行（或列）的元素寫成兩數和的形式，然后利用行列式的性質5將原行列式寫成兩行列式之和，進而使行列式簡化以便計算。例11算行列式

a+九aa1123D—aa+九a1223aaa+尢1233aaa九aa解123123D—aa+尢a+0a+九a1223九223aaa+0aa+123323=a九九+九［(a+九)(a+九)—aa]123 1223323(十一)、析因子法例12算行列式11231D—2—x22323142319—.解 由行列式D定義知為x的4次多項式,又，當x=±1時，1,2行相同，有D=0,所以x二±1為D的根。當x二±2時，3,4行相同，有D二0所以x=±2為D的根。故D有4個1次因式：x+1,x—1,x+2,x—2設D=a(x+1)(x一1)(x+2)(x一2)令x=0，貝0112211122123322113359——12即，a-1-(—1)(—2)=—12,所以a=—3所以D——3(x+1)(x—1)(x+2)(x—2)小結以上是行列式計算常用的方法，在實際計算中，不同的方法適應于不同特征的行列式，如定義法一般適用于0比較多的行列式，利用性質分為直接利用和利用性質化三角形行列式，降階法主要是利用按行(列)展開公式，一般某行或某列含有較多的零元素。每一種方法都有其各自的優點及其獨特之處，因此研究行列式的解法有非常重要的意義。二、行列式的應用行列式是研究數學的重要工具之一，下面主要介紹行列式在代數和幾何兩個方面的應用。（一）、行列式在代數中的應用（1）用行列式解線性方程組如果線性方程組TOC\o"1-5"\h\za x+a x H Fa x =b11 1 12 2 1n n 1a x+a x H Fa x =b/ 21 1 22 2 2n n 2ax+axH Fax=bn11 n22 nnn n（其中x,x,x代表未知量，a（i=1,2,…,m;i=1,2,…,n）代表未知量的1 2 n j系數，b,b，…,b帶表常數項。的系數行列式D豐0，那么，這個方程組有解，1 2 m并且解事唯一的，可表示為DD Dx= 1,x= 2,?…,x= ?-1D2DnD（2）用行列式因式分解利用行列式分解因式的關鍵，是把所給的多項式寫成行列式的形式，并注意行列式的排列規則.下面列舉幾個例子來說明.例13分解因式ab2c3+be2a3+ca2b3一cb2a3一ba2c3一ac2b3.解 原式=abc|（bc2一b2c）+（a2c一ac2）+（ab2一a2b）=abc|bc（c一b）+ac（a一c）+ab（c一b）|c1a1a1=abcbc+ac—abb1c1b1bca1bca 1=abcabc1=abcab一bcc一a0acb1ac一bcb一a0=abc|（ab一bc）（b一a）一（ac一bc）（c一a）|=abc|b（a一c）（b一a）一c（a一b）（c一a）|=abc（a一b）（c一a）（b一c）（3）用行列式證明恒等式我們知道，把行列式的某一行（列）的元素乘以同一數后加到另一行（列）

的對應元素上,行列式不變;如果行列式中有一行(列)的元素全部是零,那么這個行列式等于零.利用行列式的這些性質,我們可以構造行列式來證明等式和不等式.例14已知a+b+c=0,求證a3+b3+c3=3abc證明令D=a3+b3+c3-3abc，則abcD=cababcD=cabbca命題得證。Cba+b+ca+b+c111=(a+b+c)cabbca二0aa+b+cb(二)、行列式在幾何中的應用(1)用行列式表示三角形的面積以平面內三點P以平面內三點P(x,y)，Q(x,y)，1122R(x,y)為頂點的APQR的面積S是3 3xy1111111xyxy1111111xy1222Jxy133■1證明PQ=(X2一x,y一y,°)，121x—xy一y2121x—xy一yPQxPR二(0,0,)3 13 1PR=(x-x,y-y,0)3 13 1將平面P(x,y),Q(x,y),R(x,y)三點擴充到三維空間，其坐標分別1 1 2 2 3 3為(x,y,k)，(x,y,k)，(x,y,k)，其中k為任意常數。由此可得1 1 2 2 3 3APQR面積為S二1|pQ|pRsin<PQ,PR>—x—x2 1x一x3 1y一y2 1y一y3 1TOC\o"1-5"\h\zx一x—2 1x一xy一y21y一y21y一y31xy1ll1111xy1222Jxy1332)用行列式表示直線方程直線通過兩點P(x,y)和Q(x,y)的直線方程為1122x1xx1x2xy1y2y二0.證明由兩點式，我們的直線PQ方程為x-xy-y 4= 2x-xy-y1212將上式展開并化簡，得xy-xy-xy+xy-xy+xy=012122此式可進一步變形為此式為行列式⑴按