第六章假設檢驗§6.1問題的提法§6.2一個正態總體的假設檢驗1假設檢驗參數假設檢驗非參數假設檢驗這類問題稱作假設檢驗問題.

在本節中，我們將討論不同于參數估計的另一類重要的統計推斷問題.這就是根據樣本的信息檢驗關于總體的某個假設是否正確.2

若總體分布形式未知,現假設其分布函數為F0(x),問如何用樣本信息判斷該假設是否合理?這類問題稱為非參數假設檢驗問題。

設總體X的分布F(x,θ)的形式已知,但其中參數θ未知.現猜測"θ=θ0",問如何據樣本信息判斷真偽?換種說法:如何判斷一組樣本是否來自分布為F(x,θ0)的總體?這類問題稱為參數假設檢驗問題。3§6.1問題的提法一、假設檢驗的基本原理和方法

小概率原理：小概率事件在一次試驗中幾乎不會發生.若做了一次實驗結果小概率事件發生了，于是認為這種現象不合理.

方法：提出假設，先假定該假設為真，然后利用樣本如果推出了一個不合理現象（即小概率事件發生），矛盾，從而表明該假設不真.4舉例說明該原理的應用.

例某糧食加工廠用自動包裝機包裝大米,每袋標準重量為50kg,由長期實踐表明,袋裝重量(kg)服從正態分布,且標準差σ為1.5kg,某日開工后為檢驗包裝機是否正常,隨機抽取了9袋大米,測得平均凈重為51.1kg,問該機器工作是否正常?(

α

=0.05,α=0.01)如何判斷這個機器工作是否正常呢？

而較大、較小是一個相對的概念,合理的界限在何處？應由什么原則來確定？較小時，可以認為機器工作正常；當-||當較大時,應認為機器工作不正常.-||5

例某糧食加工廠用自動包裝機包裝大米,每袋標準重量為50kg,由長期實踐表明,袋裝重量(kg)服從正態分布,且標準差σ為1.5kg,某日開工后為檢驗包裝機是否正常,隨機抽取了9袋大米,測得平均凈重為51.1kg,問該機器工作是否正常?(

α

=0.05,α=0.01)于是提出假設：H0：（=50）稱H0為原假設（或零假設）；在實際工作中，往往把不想被否定的命題作為原假設.它的對立假設是：稱H1為備選假設（或對立假設）.H1：6

例某糧食加工廠用自動包裝機包裝大米,每袋標準重量為50kg,由長期實踐表明,袋裝重量(kg)服從正態分布,且標準差σ為1.5kg,某日開工后為檢驗包裝機是否正常,隨機抽取了9袋大米,測得平均凈重為51.1kg,問該機器工作是否正常?(

α

=0.05,α=0.01)1.提出假設：H0：（=50）然而這個有關總體的假設還是需要樣本去檢驗其是否成立.若成立,則接受,從而認為機器工作正常；若不成立,則拒絕,認為機器工作不正常.H1：7

例某糧食加工廠用自動包裝機包裝大米,每袋標準重量為50kg,由長期實踐表明,袋裝重量(kg)服從正態分布,且標準差σ為1.5kg,某日開工后為檢驗包裝機是否正常,隨機抽取了9袋大米,測得平均凈重為51.1kg,問該機器工作是否正常?(

α

=0.05,α=0.01)H0：（=50）H1：2.構造用于檢驗H0

的統計量----檢驗統計量.檢驗統計量應滿足兩點要求：分布類型已知；不含未知參數。8

例某糧食加工廠用自動包裝機包裝大米,每袋標準重量為50kg,由長期實踐表明,袋裝重量(kg)服從正態分布,且標準差σ為1.5kg,某日開工后為檢驗包裝機是否正常,隨機抽取了9袋大米,測得平均凈重為51.1kg,問該機器工作是否正常?(

α

=0.05,α=0.01)H0：（=50）H1：在假設成立的前提下有：取檢驗統計量為：成立時.9H0：（=50）H1：3.構造小概率事件(概率α一般都是已知的,取0.01,0.05,0.1等)對于給定的小概率α,有即“”是一個小概率事件.10

例某糧食加工廠用自動包裝機包裝大米,每袋標準重量為50kg,由長期實踐表明,袋裝重量(kg)服從正態分布,且標準差σ為1.5kg,某日開工后為檢驗包裝機是否正常,隨機抽取了9袋大米,測得平均凈重為51.1kg,問該機器工作是否正常?(

α

=0.05,α=0.01)H0：（=50）H1：11

例某糧食加工廠用自動包裝機包裝大米,每袋標準重量為50kg,由長期實踐表明,袋裝重量(kg)服從正態分布,且標準差σ為1.5kg,某日開工后為檢驗包裝機是否正常,隨機抽取了9袋大米,測得平均凈重為51.1kg,問該機器工作是否正常?(

α

=0.05,α=0.01)H0：（=50）H1：4.用樣本檢驗.若一次抽樣后小概率事件發生,則認為不合理,拒絕原假設.因為12

例某糧食加工廠用自動包裝機包裝大米,每袋標準重量為50kg,由長期實踐表明,袋裝重量(kg)服從正態分布,且標準差σ為1.5kg,某日開工后為檢驗包裝機是否正常,隨機抽取了9袋大米,測得平均凈重為51.1kg,問該機器工作是否正常?(

α

=0.05,α=0.01)H0：（=50）H1：13注：1.小概率α,又稱顯著性水平.

α

越小,小概率事件越不容易發生,原假設越不容易被拒絕.因此,如果能在α很小的情況下拒絕原假設,則非常具有說服力.

基于這一點,若想保護原假設(即不想原假設被拒絕),則可以選取的α較小.2.不否定H0并不是肯定H0一定對，而只是說差異還不夠顯著，還沒有達到足以否定H0的程度.所以假設檢驗又叫“顯著性檢驗”14W：3.拒絕域.

在假設檢驗過程中,使得小概率事件出現的統計量的取值范圍稱為該假設檢驗的否定域(拒絕域),否定域的邊界稱為該假設檢驗的臨界值.

α/2

α/2Xφ(x)接受域否定域否定域

uα/2-uα/215164.顯著性水平與否定域關系圖

注意:否定域的大小,依賴于顯著性水平的取值,一般說來,顯著性水平越高,即α越小,否定域也越小,這時原假設就越難否定.

α/2

α/2Xφ(x)接受域否定域否定域

uα/2

-uα/216二、假設檢驗的兩類錯誤在假設檢驗中,否定原假設的理由是小概率事件在一次試驗中出現了.但小概率事件并不是不會出現,只是出現的可能性較小.因此,根據小概率原理否定原假設,有可能把本來客觀上正確的假設否定了,造成犯“棄真”的錯誤,稱為第一類錯誤,α就是犯第一類錯誤的概率的最大允許值。另一方面,當原假設不成立時,卻作出接受原假設的結論,造成犯“存偽”的錯誤,稱為第二類錯誤,一般用β表示犯第二類錯誤的概率。1718

◆假設檢驗中犯兩類錯誤的概率:

"棄真"≤α "納偽"=β

◆樣本容量n一定時,α小,β就大,反之,β小,α就大.

◆在進行假設檢驗時,我們采取的原則是:

控制犯第一類錯誤(即α事先給定且很小)的同時使犯第二類錯誤的概率達到最小.

可以通過增加樣本容量的方法使得兩類錯誤的概率同時減小.注：1819三、假設檢驗的一般步驟

第一步:提出待檢驗的原假設H0和對立假設H1;

第二步:選擇檢驗統計量,并找出在假設H0成立條件下,該統計量所服從的概率分布;

第三步:根據所要求的顯著性水平α和所選取的統計量,查概率分布臨界值表,確定臨界值與否定域;

第四步:將樣本觀察值代入所構造的檢驗統計量中,計算出該統計量的值,若該值落入否定域,則拒絕原假設H0,否則接受原假設H0。1920§6.2一個正態總體的假設檢驗

一.已知方差σ2,關于期望μ的假設檢驗二.未知方差σ2,關于期望μ的假設檢驗三.未知期望μ,關于方差σ2的假設檢驗注意:本小節的前提是總體X~N(μ,σ2)201.方差已知,對正態總體均值的檢驗步驟(1)提出待檢假設H0:μ=μ0(μ0已知);(2)構造檢驗統計量.(3)根據檢驗水平a,查表確定臨界值ua/2,使

P(|U|>ua/2)=a,從而得到拒絕域|U|>ua/2

；(4)根據樣本觀察值計算統計量U的值u并與臨界值ua/2比較；(5)若|u|>ua/2則否定H0,否則接收H0。U檢驗法21

例1根據長期經驗和資料的分析,某磚瓦廠生產磚的“抗斷強度”X服從正態分布,方差σ2=1.21.從該廠產品中隨機抽取6塊,測得抗斷強度如下(單位:kg/cm2):32.56,29.66,31.64,30.00,31.87,31.03;檢驗這批磚的平均抗斷強度為32.50kg/cm2是否成立(a=0.05)?22即不能認為這批磚的平均抗斷強度為32.50kg/cm2.232.方差未知,對正態總體均值的檢驗步驟(1)提出待檢假設H0:μ=μ0(μ0已知);(2)構造檢驗統計量.(3)根據檢驗水平a,查表確定臨界值ta(n-1),使

P(|T|>ta(n-1)

)=a,從而得到拒絕域|T|>ta(n-1)

；(4)根據樣本觀察值計算統計量T的值并與臨界值

ta(n-1)比較；(5)若|T|>ta(n-1),則否定H0,否則接收H0。T檢驗法24例2從1975年的新生兒(女)中隨機地抽取20個,測得其平均體重為3160克,樣本標準差為300克.而根據過去統計資料,新生兒(女)平均本重為3140克.問現在與過去的新生兒(女)體重有無顯著差異(假設新生兒體重服從正態分布)?(a=0.01)25即體重無差異。263.總體均值未知,對正態總體方差的檢驗步驟(1)提出待檢假設(2)構造檢驗統計量.χ2檢驗法(3)根據檢驗水平a,查表確定臨界值Xf(x)α/2α/22728例3某煉鐵廠的鐵水含碳量x在正常情況下服從正態分布.現對操作工藝進行了改進,從中抽取5爐鐵水測得含碳量數據如下:4.412,4.052,4.357,4.287,4.683

據此是否可以認為新工藝煉出的鐵水含碳量的方差仍為0.1082(a=0.05).

即不能認為新工藝煉出的鐵水含碳量的方差仍為0.1082.2930