關于平面向量數量積的含義第1頁，共31頁，2023年，2月20日，星期三練習：在中，找出下列向量的夾角：

ABC(1)(2)(3)第2頁，共31頁，2023年，2月20日，星期三

任意兩個向量都可以進行加,減運算,同時兩個向量的和與差仍是一個向量,并且向量的加法運算滿足交換律和結合律.由于任意兩個實數可以進行乘法運算,我們自然會提出,任意兩個向量是否也可以進行乘法運算呢？對此,我們從理論上進行相應分析.引入：第3頁，共31頁，2023年，2月20日，星期三Fs新課引入:

我們學過功的概念,即一個物體在力F的作用下產生位移S(如圖)其中θ是F與S的夾角，那么力F所做的功W，可以用如下式子計算：第4頁，共31頁，2023年，2月20日，星期三平面向量的數量積第5頁，共31頁，2023年，2月20日，星期三定義規定:零向量與任一向量的數量積為0。a·b=

|a||b|cosθ

已知兩個非零向量a

與

b,它們的夾角為θ，我們把數量

|a||b|cosθ叫做a與b的數量積(或內積)，記作:a.b

注意：向量的數量積是一個數量。第6頁，共31頁，2023年，2月20日，星期三

(2)兩向量的數量積是一個數量，而不是向量，符號由夾角決定；定義理解：

(1)a

·

b不能寫成

a×b

,a×b

表示向量的另一種運算．a·b=

|a||b|cosθ第7頁，共31頁，2023年，2月20日，星期三向量的數量積是一個數量，那么它什么時候為正，什么時候為負？思考：a·b=|a||b|cosθ當0°≤θ＜

90°時a·b為正；當90°＜θ≤180°時a·b為負。當θ=90°時a·b為零。第8頁，共31頁，2023年，2月20日，星期三你會變嗎？會用嗎？試試看第9頁，共31頁，2023年，2月20日，星期三OABab平面向量的數量積的幾何意義，過點B作垂直于直線OA，|b|cosθ叫向量b

在a方向上的投影.平面向量的數量積的幾何意義是:|b|cosθ垂足為，則等于的長度與的乘積。第10頁，共31頁，2023年，2月20日，星期三平面向量的數量積的幾何意義OABabBOAabOABabθ為銳角時，|b|cosθ＞0θ為鈍角時，|b|cosθ＜0θ為直角時，|b|cosθ=0θ

為

時,它是|b|0。OABbaOABba

θ為時,它是-|b|180。第11頁，共31頁，2023年，2月20日，星期三重要性質:設是非零向量，方向相同的單位向量，的夾角，則特別地OABθ

abB1第12頁，共31頁，2023年，2月20日，星期三我真的理解了嗎?真假假假⑤⑥真假假真⑧⑦若，，則第13頁，共31頁，2023年，2月20日，星期三第14頁，共31頁，2023年，2月20日，星期三第15頁，共31頁，2023年，2月20日，星期三進行向量數量積計算時,既要考慮向量的模,又要根據兩個向量方向確定其夾角第16頁，共31頁，2023年，2月20日，星期三(1)已知，則向量在向量

上的投影為

。(2)已知△ABC中,當時,ΔABC是

什么三角形？4鈍角三角形(3)已知平面上三點A,B,C滿足

則

的值等于

。?25練習一：第17頁，共31頁，2023年，2月20日，星期三3練習一：A第18頁，共31頁，2023年，2月20日，星期三4.數量積的運算律：⑴交換律:⑵數乘的結合律:⑶分配律:注意:數量積不滿足結合律第19頁，共31頁，2023年，2月20日，星期三(3)

12ABOA1B1C

證明:在平面內取一點，作,，(即)在方向上的投影等于在方向上的投影的和，即即第20頁，共31頁，2023年，2月20日，星期三第21頁，共31頁，2023年，2月20日，星期三例3.-72600變式訓練第22頁，共31頁，2023年，2月20日，星期三例4.注意：兩個向量的數量積是否為零,是判斷相應的兩條直線是否垂直的重要方法之一.第23頁，共31頁，2023年，2月20日，星期三第24頁，共31頁，2023年，2月20日，星期三第25頁，共31頁，2023年，2月20日，星期三練習二：A、梯形B、菱形C、矩形D、正方形(1)在四邊形ABCD

中,AB

·

BC=0,且AB=DC則四邊形ABCD是（）CC第26頁，共31頁，2023年，2月20日，星期三練習二：等邊三角形D(3)在中,已知|AB|=|AC|=1,且則這個三角形的形狀是AB

·

AC=,第27頁，共31頁，2023年，2月20日，星期三()CA.重心、外心、垂心B.重心、外心、內心C.外心、重心、垂心D.外心、重心、內心思考：第28頁，共31頁，2023年，2月20日，星期三重要結論：第29頁，共31頁，2023年，2月20日，星期三小結:本節課我們主要學習了平面向量數量積性質的應用